【推荐】专题04 圆与方程(导学案)-2017-2018学年上学期期末复习备考高二数学(文)黄金讲练x

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【推荐】专题04 圆与方程(导学案)-2017-2018学年上学期期末复习备考高二数学(文)黄金讲练x

一、 学习目标 1、 通过复习帮助同学们系统掌握本章知识;‎ ‎2、通过习题帮助同学们熟悉相关知识在解题中的应用。‎ 二、知识梳理 ‎1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。‎ ‎2、圆的方程 ‎(1)标准方程,圆心,半径为r;‎ ‎(2)一般方程 当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为 当时,表示一个点; 当时,方程不表示任何图形。‎ ‎(3)求圆方程的方法:‎ 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,‎ 需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;‎ 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。‎ ‎3、直线与圆的位置关系:‎ 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断:‎ ‎(1)设直线,圆,圆心到l的距离为,则有;;‎ ‎(2)设直线,圆,先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之后令 其中的判别式为,则有;;‎ 注:如果圆心的位置在原点,可使用公式去解直线与圆相切的问题,其中表示切点坐标,r表示半径。‎ ‎ (3)过圆上一点的切线方程:‎ ‎ ①圆x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为 (课本命题).‎ ‎ ②圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广).‎ ‎4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。‎ 设圆,‎ 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。‎ 当时两圆外离,此时有公切线四条;‎ 当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;‎ 当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;‎ 当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;‎ 当时,两圆内含; 当时,为同心圆。‎ ‎5、空间直角坐标系 ‎(1)定义:如图,是单位正方体.以A为原点,‎ 分别以OD,O,OB的方向为正方向,建立三条数轴。‎ 这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.‎ ‎(1)O叫做坐标原点 2)x 轴,y轴,z轴叫做坐标轴. 3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。‎ ‎(2)右手表示法: 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时,可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向,食指指向为y轴正向,中指指向则为z轴正向,这样也可以决定三轴间的相位置。‎ ‎(3)任意点坐标表示:空间一点M的坐标可以用有序实数组来表示,有序实数组 叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作(x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标)‎ ‎(4)空间两点距离坐标公式:‎ 三、典型例题 例1.求圆心在直线3x+4y-1=0上,且经过两圆x2+y2-x+y-2=0与x2+y2=5的交点的圆的方程.‎ ‎【方法规律】用待定系数法设圆的方程(圆系方程或一般方程或标准方程),根据条件求系数。‎ 变式练习1.圆心在直线5x-3y=8上,且圆与两坐标轴均相切,求此圆的标准方程.‎ ‎【答案】(x-4)2+(y-4)2=16或(x-1)2+(y+1)2=1.‎ 例2.已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线l过点P(2,3)且与圆M交于A,B两点,且|AB|=2,求直线l的方程.‎ ‎【解析】(1)当直线l存在斜率时,设直线l的方程为y-3=k(x-2),‎ 即kx-y+3-2k=0.示意图如图,作MC⊥AB于C. ‎ 在Rt△MBC中,|BC|=|AB|=,|MB|=2, 故|MC|==1,‎ 由点到直线的距离公式得=1,‎ 解得k=. 故直线l的方程为3x-4y+6=0.‎ ‎(2)当直线l的斜率不存在时,其方程为x=2,且|AB|=2,所以符合题意.‎ 综上所述,直线l的方程为3x-4y+6=0或x=2.‎ ‎【方法规律】解决有关圆的问题时,注意几何意义的运用。‎ 变式练习2.已知圆C与圆x2+y2-2x=0相外切,并且与直线x+y=0相切于点Q(3,-),求圆C的方程.‎ ‎【答案】(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36.‎ ‎【解析】设所求圆C的方程为( x-a)2+(y-b)2=r2,‎ 圆心C(a,b)与Q(3,-)的连线垂直于直线x+y=0,且斜率为.‎ 由题意得解得或 ‎∴所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36.‎ 例3.如图,圆O1与圆O2的半径都是1,|O1O2|=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM,PN,(M,N分别为切点),使得|PM|=|PN|,试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程. ‎ 变式练习3.等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.‎ ‎【解析】设另一端点C的坐标为(x,y) .依题意,得|AC|=|AB|.‎ 由两点间距离公式,得=,‎ 整理得(x-4)2+(y-2)2=10.‎ 这是以点A(4,2)为圆心,以为半径的圆,如图所示,又因为A、B、C为三角形的三个顶点,所以A、B、C三点不共线.即点B、C不能重合且B、C不能为圆A的一直径的两个端点.‎ 因为点B、C不能重合,所以点C不能为(3,5).‎ 又因为点B、C不能为一直径的两个端点,所以≠4.且≠2,即点C不能为(5,-1).‎ 故端点C的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10(除去点(3,5)和(5,-1)).‎ 综上,它的轨迹是以点A(4,2)为圆心,为半径的圆,但除去(3,5)和(5,-1)两点.‎ 例4. 已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.求:‎ ‎(1)的最大值和最小值;(2)y-x的最大值和最小值;(3)x2+y2的最大值和最小值.‎ ‎【方法规律】求、y-x、x2+y2的最值,联想其几何意义。‎ 变式练习4.若实数x,y满足x2+y2+8x-6y+16=0,求x+y的最小值.‎ ‎【答案】-3-1.‎ ‎【解析】原方程化为(x+4)2+(y-3)2=9, 设x+y=b,则y=-x+b,‎ 可见x+y的最小值就是过圆(x+4)2+(y-3)2=9上的点作斜率为-1的平行线中,纵截距b的最小值,此时,直线与圆相切,‎ 由点到直线的距离公式得=3.解得b=3-1或b=-3-1,‎ 所以x+y的最小值为-3-1.‎ 四、课堂练习 ‎1.圆的半径为 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由圆,通过配方可得.所以圆的半径为.故选B.‎ ‎2.直线与圆的位置关系为 ‎ A. 相切 B. 相交但不过圆心 C. 直线过圆心 D.相离 ‎【答案】B ‎【解析】圆 的圆心,圆心到直线的距离,所以直线与圆相交但不过圆心。故选B。‎ ‎3.以原点O为圆心且截直线3x+4y+15=0所得弦长为8的圆的方程是________.‎ ‎【答案】x2+y2=25‎ ‎【解析】原点O到直线的距离d==3,设圆的半径为r,∴r2=32+42=25,∴圆的方程是x2+y2=25.‎ ‎4.一直线过点,被圆截得的弦长为8,求此弦所在的直线方程。‎ ‎【答案】(1) (2)‎ 五、课后练习 ‎1.圆心在轴上,半径为1,且过点的圆的方程为 ( )‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据圆的标准方程,因为圆心在轴上,排除C;又经过点,代入剩余选项得只有A正确。另解:设圆的方程为,将点代入得,所以方程为。故选A。‎ ‎2.经过圆x2+y2=10上一点M(2,)的切线方程是(  )‎ A.x+y-10=0 B.x-2y+10=0‎ C.x-y+10=0 D.2x+y-10=0‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵点M(2,)在圆x2+y2=10上,kOM=,∴过点M的切线的斜率为k=-.‎ 故切线方程为y-=-(x-2).即2x+y-10=0.故选D。‎ ‎3.过点(2,1)的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程为(  )‎ A.3x-y-5=0 B.3x+y-7=0‎ C. x+3y-5=0 D.x-3y+1=0‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意知所求直线通过圆心(1,-2),由直线的两点式方程,得=,即3x-y-5=0.故选A。‎ ‎4.已知圆C1:(x+2)2+(y-2)2=2,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为(  )‎ A.(x+3)2+(y-3)2=2‎ B.(x-1)2+(y+1)2=2‎ C.(x-2)2+(y+2)2=2‎ D.(x-3)2+(y+3)2=2‎ ‎【答案】D ‎5.已知圆与圆相内切,则实数m的值为 .‎ ‎【答案】1或121‎ ‎【解析】圆的圆心为,半径为,圆的圆心为,半径为6,由两圆外切可知或 ‎6.若x,y∈R,且x=,则的取值范围是________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】x=⇔x2+y2=1(x≥0),此方程表示半圆,如图,设P(x,y)是半圆上的点,则表示过点P(x,y),Q(-1,-2)两点直线的斜率.设切线QA的斜率为k,则它的方程为y+2=k(x+1).从而由=1,解得k=.又kBQ=3,∴所求范围是. ‎ ‎7.求经过两点A(-1,4),B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程.‎ ‎8.如图,已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M、N两点,Q是MN的中点,直线l与l1相交于点P.‎ ‎(1)求圆A的方程;‎ ‎(2) 当|MN|=时,求直线l的方程。‎ ‎【答案】x+y-13=0和3x-y-16=0‎
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