【数学】2019届一轮复习人教A版一元二次不等式及其解法学案

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

【数学】2019届一轮复习人教A版一元二次不等式及其解法学案

第2讲 一元二次不等式及其解法 板块一 知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1 一元二次不等式的解法 ‎1.将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0).‎ ‎2.计算相应的判别式.‎ ‎3.当Δ≥0时,求出相应的一元二次方程的根.‎ ‎4.利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.‎ 考点2 三个二次之间的关系 ‎[必会结论]‎ ‎1.ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是:a>0且b2-‎4ac<0(x∈R).‎ ‎2.ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是:a<0且b2-‎4ac<0(x∈R).‎ ‎[考点自测]                      ‎ ‎1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(  )‎ ‎(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.(  )‎ ‎(3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.(  )‎ ‎(4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-‎4ac≤0.(  )‎ 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×‎ ‎2.[课本改编]不等式(x-1)(2-x)≥0的解集为(  )‎ A.{x|1≤x≤2} B.{x|x≤1或x≥2}‎ C.{x|12}‎ 答案 A 解析 因为(x-1)(2-x)≥0,所以(x-2)(x-1)≤0,所以结合二次函数的性质可得1≤x≤2.故选A.‎ ‎3.[2018·辽阳统考]不等式≤0的解集是(  )‎ A.(-∞,-1)∪(-1,2] B.[-1,2]‎ C.(-∞,-1)∪[2,+∞) D.(-1,2]‎ 答案 D 解析 ≤0⇔(x+1)(x-2)≤0,且x≠-1,即x∈(-1,2].故选D.‎ ‎4.若不等式ax2+bx+c>0的解集为(-4,1),则不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0的解集为(  )‎ A. B.(-∞,1)∪ C.(-1,4) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)‎ 答案 A 解析 由不等式ax2+bx+c>0的解集为(-4,1),‎ 知a<0且-4,1是方程ax2+bx+c=0的两根.‎ ‎∴-4+1=-,且-4×1=,即b=‎3a,c=-‎4a.则所求不等式转化为‎3a(x2-1)+a(x+3)-‎4a>0,‎ 即3x2+x-4<0,解得-1;‎ ‎②当01时,其解为0,其解为x<或x>1.‎ 综上所述a=0时,不等式解集为{x|x>1};‎ ‎01时,不等式解集为;‎ a<0时,不等式解集为;‎ 当a=1时,不等式解集为∅.‎ 触类旁通 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 ‎(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.‎ ‎(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的关系.‎ ‎(3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.‎ ‎【变式训练1】 解不等式:(1)≥-1;‎ ‎(2)x2-(a2+a)x+a3>0.‎ 解 (1)将原不等式移项通分得≥0,‎ 等价于 所以原不等式的解集为.‎ ‎(2)原不等式化为(x-a)(x-a2)>0,‎ ‎①当a2-a>0,即a>1或a<0时,‎ 原不等式的解为x>a2或xa;‎ ‎③当a2-a=0,即a=0或a=1时,‎ 原不等式的解为x≠a.‎ 综上①②③得a>1或a<0时不等式解集为 ‎{x|x>a2或xa};‎ 当a=0或a=1时,不等式解集为{x|x≠a}.‎ 考向 一元二次不等式恒成立问题                      ‎ 例2 [2018·正定模拟]已知函数f(x)=mx2-mx-1.‎ ‎(1)若对于x∈R,f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围;‎ ‎(2)若对于x∈[1,3],f(x)<5-m恒成立,求实数m的取值范围.‎ 解 (1)当m=0时,f(x)=-1<0恒成立.‎ 当m≠0时,则即-40,∴m<对于x∈[1,3]恒成立,‎ 只需求的最小值,记g(x)=,x∈[1,3],‎ 记h(x)=x2-x+1=2+,‎ h(x)在x∈[1,3]上为增函数,则g(x)在[1,3]上为减函数,‎ ‎∴[g(x)]min=g(3)=,∴m<.‎ 所以m的取值范围是.‎ ‎ 本例中(1)变为:若f(x)<0对于m∈[1,2]恒成立,求实数x的取值范围.‎ 解 设g(m)=mx2-mx-1=(x2-x)m-1,其图象是直线,当m∈[1,2]时,图象为一条线段,‎ 则即 解得0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-∞,-2) B.(-2,+∞)‎ C.(-6,+∞) D.(-∞,-6)‎ 答案 A 解析 不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-‎ ‎4x-2)max,令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),∴g(x)0时的情形.‎ ‎2.f(x)>0的解集即为函数y=f(x)的图象在x轴上方的点的横坐标的集合,充分利用数形结合思想.‎ ‎3.简单的分式不等式可以等价转化,利用一元二次不等式解法进行求解.‎ 满分策略 ‎1.对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论a=0时的情形.‎ ‎2.当Δ<0时,ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R还是∅由a 确定,要注意区别.‎ ‎3.含参数的不等式要注意选好分类标准,避免盲目讨论.‎ 板块三 启智培优·破译高考 数学思想系列 7——转化与化归思想在不等式中的应用 ‎[2018·江苏模拟]已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是________.‎ 答案 a> 解析 不等式可变形为a>=x-x,‎ 令x=t,则t>0.‎ ‎∴y=x-x=t-t2=-2+,因此当t=时,y取最大值,故实数a的取值范围是a>.‎ 板块四 模拟演练·提能增分                     ‎ ‎[A级 基础达标]‎ ‎1.[2018·潍坊模拟]函数f(x)=的定义域是(  )‎ A.(-∞,1)∪(3,+∞) B.(1,3)‎ C.(-∞,2)∪(2,+∞) D.(1,2)∪(2,3)‎ 答案 D 解析 由题意知即 故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3).故选D.‎ ‎2.关于x的不等式x2+px-2<0的解集是(q,1),则p+q的值为(  )‎ A.-2 B.-‎1 C.1 D.2‎ 答案 B 解析 依题意得q,1是方程x2+px-2=0的两根,q+1=-p,即p+q=-1.故选B.‎ ‎3.[2018·郑州模拟]已知关于x的不等式>0的解集是(-∞,-‎ ‎1)∪,则a的值为(  )‎ A.-1 B. C.1 D.2‎ 答案 D 解析 由题意可得a≠0且不等式等价于a(x+1) (x-)>0,由解集的特点可得a>0且=,故a=2.故选D.‎ ‎4.[2018·福建模拟]若集合A={x|ax2-ax+1<0}=∅,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(0,4) B.[0,4) C.(0,4] D.[0,4]‎ 答案 D 解析 由题意知a=0时,满足条件.‎ a≠0时,由得00,∴x<-1或x>1.故选A.‎ ‎6.不等式(2x-1)(1-|x|)<0成立的充要条件是(  )‎ A.x>1或x< B.x>1或-1 答案 B 解析 原不等式等价于或 ‎∴或 ‎∴x>1或-10)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 由条件知x1,x2为方程x2-2ax-‎8a2=0的两根,则x1+x2=‎2a,x1x2=-‎8a2.故(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=(‎2a)2-4×(-‎8a2)=‎36a2=152,得a=.故选A.‎ ‎8.[2018·青岛模拟]不等式2x2-3|x|-35>0的解集为________.‎ 答案 {x|x<-5或x>5}‎ 解析 2x2-3|x|-35>0⇔2|x|2-3|x|-35>0⇔(|x|-5)(2|x|+7)>0⇔|x|>5或|x|<-(舍)⇔x>5或x<-5.‎ ‎9.已知关于x的不等式ax2+2x+c>0的解集为,则不等式-cx2+2x-a>0的解集为________.‎ 答案 (-2,3)‎ 解析 依题意知, ‎∴解得a=-12,c=2,∴不等式-cx2+2x-a>0,即为-2x2+2x+12>0,即x2-x-6<0,解得-20且g(1)>0,即解得x<1或x>3.‎ ‎[B级 知能提升]‎ ‎1.[2018·保定模拟]若不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是(  )‎ A. B. C.(1,+∞) D. 答案 A 解析 由Δ=a2+8>0,知方程恒有两个不等实根,又知两根之积为负,所以方程必有一正根、一负根.‎ 于是不等式在区间[1,5]上有解,只需满足f(5)>0,即a>-.故选A.‎ ‎2.[2018·辽宁模拟]若不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为(  )‎ A.(-3,0) B.[-3,0)‎ C.[-3,0] D.(-3,0]‎ 答案 D 解析 当k=0时,显然成立;当k≠0时,即一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,‎ 则解得-30,∴当x=-1时,f(x)min=,‎ 由题意,得=,∴a=.‎ ‎∴x2-x-2-<0,即(2x+1)(2x-3)<0,-0.‎ ‎(1)求f(x)在[0,1]内的值域;‎ ‎(2)若ax2+bx+c≤0的解集为R,求实数c的取值范围.‎ 解 (1)因为当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0,当x∈(-3,2)时,f(x)>0,‎ 所以-3,2是方程ax2+(b-8)x-a-ab=0的两根,可得所以a=-3,b=5,‎ f(x)=-3x2-3x+18=-32+18.75,‎ 函数图象关于x=-对称,且抛物线开口向下,所以在区间[0,1]上f(x)为减函数,所以函数的最大值为f(0)=18,最小值为f(1)=12,‎ 故f(x)在[0,1]内的值域为[12,18].‎ ‎(2)由(1)知,不等式ax2+bx+c≤0化为-3x2+5x+c≤0,因为二次函数y=-3x2+5x+c的图象开口向下,要使-3x2+5x+c≤0的解集为R,只需 即25+‎12c≤0⇒c≤-,所以实数c的取值范围为.‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档