2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册课时分层作业：3

2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册课时分层作业：3

www.ks5u.com 课时分层作业(二十二)　‎ ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎ ‎ 一、选择题 ‎1．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(1,3)∪(3，＋∞)‎ C．(－∞，－3)∪(－3,0) D．(1,3)‎ B　[由 消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.‎ 若直线与椭圆有两个公共点，‎ 则 解得 由＋＝1表示椭圆，知m>0且m≠3.‎ 综上可知，m>1且m≠3，故选B.]‎ ‎2．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为(　　)‎ A． B． C． D． B　[易求得直线AB的方程为y＝(x＋)．‎ 由消去y并整理，得7x2＋12x＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 由弦长公式，得|AB|＝·|x1－x2|＝·＝.]‎ ‎3．在椭圆＋＝1内，过点M(1,1)且被该点平分的弦所在的直线方程为(　　)‎ A．9x－16y＋7＝0 B．16x＋9y－25＝0‎ C．9x＋16y－25＝0 D．16x－9y－7＝0‎ C　[设弦的两个端点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则有＋＝1，＋＝1，两式相减，又x1＋x2＝y1＋y2＝2，‎ 因此＋＝0，即＝－，所求直线的斜率是－，‎ 弦所在的直线方程是y－1＝－(x－1)，即9x＋16y－25＝0，故选C.]‎ ‎4．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)‎ A． B． C． D． C　[如图所示，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则有 ‎|F1F2|＝|PF2|，∠PF1F2＝∠F2PF1＝30°‎ 所以∠PF2A＝60°，∠F2PA＝30°，所以|PF2|＝2|AF2|＝2＝3a－2c.‎ 又因为|F1F2|＝2c，所以，2c＝3a－2c，所以e＝＝.]‎ ‎5．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)‎ A．＋＝1 B．＋＝1‎ C．＋＝1 D．＋＝1‎ D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率k＝＝， 两式相减得＋＝0，即＋＝0⇔＋××＝0，即a2＝2b2，‎ c2＝9，a2＝b2＋c2，解得：a2＝18，b2＝9，方程是＋＝1，故选D.]‎ 二、填空题 ‎6．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．‎ 　[由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程组 解得A(0，－2)，B，‎ ‎∴S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝.]‎ ‎7．设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右两个焦点，过F1作斜率为1的直线，交C于A、B两点，则|AF2|＋|BF2|＝________.‎ 　[由＋＝1知，焦点F1(－1,0)，所以直线l：y＝x＋1，代入＋＝1得3x2＋4(x＋1)2＝12，即7x2＋8x－8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ ‎∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，故|AB|＝|x1－x2|＝·＝.‎ 由定义有，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，‎ 所以|AF2|＋|BF2|＝4×2－＝.]‎ ‎8．椭圆C：＋y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA1斜率的取值范围是[1,2]，那么直线PA2斜率的取值范围是________．‎ 　[由椭圆C：＋y2＝1的方程可得a2＝2，b2‎ ‎＝1，由椭圆的性质可知：k·k＝－，∴k＝，∵k∈[1,2]，则k∈.]‎ 三、解答题 ‎9．设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点．‎ ‎(1)求实数b的取值范围；‎ ‎(2)当b＝1时，求|AB|.‎ ‎[解]　(1)将y＝x＋b代入＋y2＝1，‎ 消去y并整理，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.①‎ 因为直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点，所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2＞0，‎ 解得－＜b＜.‎ 所以b的取值范围为(－，)．‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0.‎ 解得x1＝0，x2＝－.‎ 所以y1＝1，y2＝－.‎ 所以|AB|＝＝.‎ ‎10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)当△AMN的面积为时，求实数k的值．‎ ‎[解]　(1)由题意得 解得c＝，b＝，‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，‎ 设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，‎ x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 所以|MN|＝|x1－x2|‎ ‎＝ ‎＝，‎ 又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离 d＝，‎ 所以△AMN的面积为S＝|MN|·d ‎＝，‎ 由＝，‎ 化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.‎ ‎11．(多选题)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)(　　)‎ A．必在圆x2＋y2＝1外 B．必在圆x2＋y2＝上 C．必在圆x2＋y2＝2内 D．必在圆x2＋y2＝上 ABC　[e＝⇒＝⇒c＝，＝⇒＝⇒＝⇒b＝a.‎ ‎∴ax2＋bx－c＝0⇒ax2＋ax－＝0⇒x2＋x－＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，‎ ‎∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋1＝.‎ ‎∵1＜＜2，‎ ‎∴点P在圆x2＋y2＝1外，在x2＋y2＝上，在x2＋y2＝2内，故应选ABC.]‎ ‎12．已知椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，直线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为(　　)‎ A． B． C． D． A　[设直线与椭圆在第一象限内的交点为A(x，y)，则y＝x 由|AB|＝2c，可知|OA|＝＝c，即＝c，‎ 解得x＝c，‎ 所以A，把点A代入椭圆方程得到＋＝1，整理得8e4－18e2＋9＝0，即(4e2－3)(2e2－3)＝0，因0＜e＜1，所以可得e＝.]‎ ‎13．(一题两空)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e＝，则椭圆方程为________，若直线l交椭圆于M，N两点，且△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则直线l方程为________．‎ ＋＝1　6x－5y－28＝0　[由题意得b＝4，又e2＝＝＝1－＝，解得a2＝20.‎ ‎∴椭圆的方程为＋＝1.∴椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，‎ 设线段MN的中点为Q(x0，y0)，‎ 由三角形重心的性质知＝2，从而(2，－4)＝2(x0－2，y0)，‎ 解得x0＝3，y0＝－2，所以点Q的坐标为(3，－2)．‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，‎ 且＋＝1，＋＝1，‎ 以上两式相减得＋＝0，‎ ‎∴kMN＝＝－·＝－×＝，‎ 故直线的方程为y＋2＝(x－3)，即6x－5y－28＝0.]‎ ‎14．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．‎ 　[∵⊥，∴点M在以F1F2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，∴c＜b，∴c2＜b2＝a2－c2，即2c2＜a2，∴＜，即＜.又e＞0，∴0＜e＜.]‎ ‎15．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，下顶点为B，过A、O、B(O为坐标原点)三点的圆的圆心坐标为.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若∠BMN＝60°，求点M的坐标．‎ ‎[解]　(1)依题意知A(a,0)，B(0，－b)，‎ ‎∵△AOB为直角三角形，∴过A、O、B三点的圆的圆心为斜边AB的中点，‎ ‎∴＝，－＝－，即a＝，b＝1，‎ ‎∴椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由(1)知B(0，－1)，依题意知直线BN的斜率存在且小于0，‎ 设直线BN的方程为y＝kx－1(k＜0)，‎ 则直线BM的方程为：y＝－x－1，‎ 由消去y得(1＋3k2)x2－6kx＝0，‎ 解得：xN＝，yN＝kxN－1，‎ ‎∴|BN|＝＝ ‎＝|xN|‎ ‎∴|BN|＝|xN－xB|＝·，‎ 在y＝－x－1中，令y＝0得x＝－k，即M(－k,0)‎ ‎∴|BM|＝，‎ 在Rt△MBN中，∵∠BMN＝60°，∴|BN|＝|BM|，‎ 即·＝·，‎ 整理得3k2－2|k|＋1＝0，‎ 解得|k|＝，∵k＜0，∴k＝－，∴点M的坐标为.‎