2018-2019学年河北省张家口市高二下学期阶段测试（6月)数学（理)试题 解析版

2018-2019学年河北省张家口市高二下学期阶段测试（6月)数学（理)试题 解析版

河北省张家口市2018-2019学年高二下学期阶段测试（6月)数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知，是虚数单位，若，则（ ）‎ A．1或 B．或 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数，则，可得，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，复数，则，‎ 所以，所以，即或，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了共轭复数的概念，以及复数的运算的应用，其中解答中熟记共轭复数的概念，以及复数的乘法运算，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎2．有三个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中的一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学不在同一个兴趣小组的情况有（ ）种 A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由有三个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中的一个小组，则这两位同学不在同一个兴趣小组共有种，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，有三个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中的一个小组，‎ 则这两位同学不在同一个兴趣小组共有种，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，利用排列、组合式子，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎3．直线（为参数）的倾斜角是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线的参数方程，可得（为参数）进而得到，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，直线（为参数），可得（为参数）‎ 设直线的倾斜角为，‎ 则，所以，‎ 即直线的倾斜角为，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线的倾斜角的计算，以及直线的参数方程的应用，其中解答中熟记直线的斜率与倾斜角的关系，合理消去参数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎4．已知，则（ ）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，即可求解的值，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，二项式，‎ 令，可得，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二项展开式的系数和的计算，其中解答中根据二项展开式的形式，合理复数，准确计算是解答的关键，着重考查了赋值思想，以及计算与求解能力，属于基础题．‎ ‎5．将直线变换为直线的一个伸缩变换为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设伸缩变换的公式为，则，代入直线的方程，变换后的方程与直线的一致性，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，设伸缩变换的公式为，则 代入直线的方程，可得，‎ 要使得直线和直线的方程一致，‎ 则且，解得，‎ 所以伸缩变换的公式为，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了图形的伸缩变换公式的求解及应用，其中解答中熟记伸缩变换公式的形式，代入准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎6．若10件产品中包含8件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，记事件A为“取出的2件产品中存在1件不是一等品”，事件B为“取出的2件中，1件是一等品，1件不是一等品”，再根据条件概率的计算公式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，记事件A为“取出的2件产品中存在1件不是一等品”，事件B为“取出的2件中，1件是一等品，1件不是一等品”，‎ 则，‎ 所以，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，合理利用条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎7．函数在上的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数的导数，得出函数的单调性，即可求解函数的最大值，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 当时，，函数单调递增；‎ 当时，，函数单调递减，‎ 所以当，函数取得最大值，最大值为，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数在函数中的应用，其中解答中利用导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎8．已知离散型随机变量的分布如下，若随机变量，则的数学期望为（ ）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0.4‎ A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．3.8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据离散型随机变量的分布列的性质，求得，再由期望的公式，求得，‎ 最后根据随机变量，则，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据离散型随机变量的分布列的性质，可得，解得，‎ 所以数学期望为，‎ 又由随机变量，所以，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了随机变量的分布列的性质，以及数学期望的计算，其中解答中熟记离散型随机变量的分布列的性质，以及利用期望的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎9．在极坐标系中，设圆与直线 交于两点，则以线段为直径的圆的极坐标方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先把极坐标方程化为直角坐标方程，进一步求出圆心坐标和半径，再把直角坐标方程化为极坐标方程，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，圆化为直角坐标方程，可得，‎ 直线化为直角坐标方程，可得，‎ 由直线与圆交于两点，把直线代入圆，解得或，‎ 所以以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径为，‎ 则圆的方程为，即，‎ 又由，代入可得，‎ 即，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆的标准方程的求解，其中解答中把极坐标方程互为直角坐标方程，得到以线段为直径的圆的标准方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎10．在一次共有10000名考生的某市高二的联考中，这些学生的数学成绩服从正态分布，且.若按成绩分层抽样的方式抽取100份试卷进行分析，应从120分以上的试卷中抽取（ ）‎ A．20份 B．15份 C．10份 D．5份 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合正态分布曲线的对称性，求得120分以上的概率，进而可求解120分以上的抽取的份数，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，数学成绩服从正态分布，且，‎ 根据正态分布曲线的对称性，可得，‎ 所以，‎ 所以按成绩分层抽样抽取100份试卷时，应从120分以上的试卷中抽取份，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正态分布的应用，其中解答中熟记正态分布曲线的性质，合理应用正态分布曲线的对称性求得相应的概率是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算与求解能力，属于基础题．‎ ‎11．设曲线 （为参数）与轴的交点分别为，点是曲线上的动点，且点不在坐标轴上，则直线与的斜率之积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由曲线的参数方程，求得曲线的普通方程为，可设，，再根据斜率公式，得到，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，曲线 （为参数），所以曲线的普通方程为，‎ 又由曲线与轴的交点分别为，点是曲线上的动点，且点不在坐标轴上，‎ 可设，‎ 则直线与的斜率之积：‎ ‎，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线的斜率公式的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程的互化公式，利用直线的斜率公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎12．已知函数，其中，若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数的导数，根据函数在区间不单调，所以函数在上有实数根，且无重根，即，求得函数的值域，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 因为函数在区间不单调，所以函数在上有实数根，且无重根，‎ 由，即，可得，‎ 即 令，则，记，‎ 则在上单调递减，在上单调递增，‎ 又由，所以，即，‎ 可得，‎ 又因为当时，在上有两个相等的实数根（舍去），‎ 所以实数的取值范围是，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的单调性与导数的关系的应用，其中解答中函数在区间不单调，即函数在上有实数根，且无重根，转化为是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如表），‎ 零件数个 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 加工时间 ‎62‎ ‎75‎ ‎81‎ ‎89‎ 由最小二乘法求得回归直线方程.由于后期没有保存好，导致表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为____‎ ‎【答案】53‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设表格中的模糊不清的数据为，可得，，把代入回归直线的方程，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 设表格中的模糊不清的数据为，可得，‎ 把代入回归直线的方程中，可得，解得，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了回归直线方程的应用问题，其中解答中回归直线方程的基本特征，正确求解样本中心是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎14．在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程为____（用极坐标书写）.‎ ‎【答案】和 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 圆的极坐标方程可化为直角坐标方程为，求得与圆相切且垂直与轴的直线方程分别为和，化为极坐标方程，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，圆的极坐标方程，可化为直角坐标方程为，‎ 表示以为圆心，以为半径的圆，‎ 其中与圆相切且垂直与轴的直线方程分别为和，‎ 则两切线对应的极坐标方程分别为和，‎ 故答案为：和．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆的方程的应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎15．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，…，则第7行第3个数（从左往右数）为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据每个数是它下一行左右相邻的两数的和，先求出第三行的第2个数，再求出两行的第3个数，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 设第行的第个数为，‎ 由题意可得，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中认真审题，通过观察归纳得到各数之间的关系是解答本题的关键，着重考查了观察能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎16．若曲线上有个点到曲线的距离为，则的值为____.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据极坐标与直角坐标的互化公式，可得圆的直角坐标方程和直线的直角坐标方程，求得圆心到直线的距离，再根据直线与圆的位置关系，即可判定，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，曲线化为直角坐标方程为，表示以坐标原点为圆心，以为半径的圆，又由曲线可得，所以直角坐标方程为，‎ 所以圆心到直线的距离为，‎ 所以圆上由三个点到直线的距离等于，故．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，以及熟练应用直线与圆的位置关系是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知为复数，均为实数（其中为虚数单位），且复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可设，则，根据为实数，可得，得到复数，再由复数在复平面上对应的点在第二象限，列出不等式组，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意为复数，和均为实数，‎ 可设，则，‎ 因为为实数，可得，解得，复数.‎ 复数，‎ 复平面上对应的点在第二象限，可得：，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的运算，以及复数表示的应用，其中解答中复数的运算法则，合理应用复数的表示列出不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎18．某工厂每月生产某种产品四件，经检测发现，工厂生产该产品的合格率为 ‎，已知生产一件合格品能盈利100万元，生产一件次品将会亏损50万元，假设该产品任何两件之间合格与否相互没有影响．‎ ‎（1）若该工厂制定了每月盈利额不低于250万元的目标，求该工厂达到盈利目标的概率；‎ ‎（2）求工厂每月盈利额的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1）0.9947 （2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）得到合格产品的件数的所有可能结果，得出相应的月盈利额的取值为，，，求得相应的概率，即可求得每月盈利额不低于万元的概率；‎ ‎（2）由（1）得到工厂每月盈利额的分布列，利用期望的公式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，工厂每月生产的四件产品中，合格产品的件数的所有可能结果是：0，1，2，3，4，则相应的月盈利额的取值为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以每月盈利额不低于250万元的概率为．‎ ‎（2）工厂每月盈利额的分布列为 ‎100‎ ‎250‎ ‎400‎ 期望为 ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了离散型随机变量的分布列及其数学期望的求解，其中解答中认真审题，得到月盈利额随机变量的取值，准确求解其相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎19．将圆上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的4倍，得曲线.‎ ‎（1）写出的参数方程；‎ ‎（2）设直线与的交点为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点与垂直的直线的极坐标方程.‎ ‎【答案】（1）的参数方程为（为参数）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依题意，得，代入，得，即曲线的方程，进而得出故的参数方程；‎ ‎（2）联立方程组，求得线段的中点坐标为，及直线斜率为，利用直线的点斜式方程，求得直线的方程，进而得到直线的极坐标方程．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设为圆上的点，在已知变换下所得曲线上的点设，‎ 依题意，得，由得，即曲线的方程为，‎ 故的参数方程为（为参数）．‎ ‎（2）由，解得或，‎ 不妨设，则线段的中点坐标为，所求直线斜率为，‎ 于是所求直线方程为，化为极坐标方程，并整理得．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了图形的伸缩变换公式的应用，以及参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，其中解答中熟记互化公式，以及伸缩变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎20．大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的．根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关．为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，其中喜欢盲拧的30人中男性22人，女性人数正好等于男性不喜欢盲拧人数．‎ ‎（1）请完成下面的列联表 喜欢盲拧 不喜欢盲拧 总计 男 女 总计 并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？‎ ‎（2）现邀请其中20名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如下表所示．‎ 成功完成时间（分钟）‎ 人数 ‎10‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎2‎ 现从表中成功完成时间在和这两组内的7名男生中任意抽取2人对他们的盲拧情况进行视频记录，求2人成功完成时间恰好在同一组内的概率.‎ 附参考公式及参考数据：，其中 ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，得出的列联表，利用独立性检验的公式，求得的值，即可得到结论．‎ ‎（2）由7名男生中任意抽取2人共种结果，其中2人成功完成时间恰好在同一组内分为两种情形，共有种结果，利用古典概型的概率计算公式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，可得的列联表：‎ 喜欢盲拧 不喜欢盲拧 总计 男 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 女 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 总计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 由表中数据可得，‎ 故能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢盲拧与性别有关.‎ ‎（2）由题意，7名男生中任意抽取2人共：种结果.‎ 其中2人成功完成时间恰好在同一组内分为两种情形：完成时间都在或都在共有种结果，‎ 故2人成功完成时间恰好在同一组内的概率为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了独立性检验的应用，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中认真审题，得出的列联表，准确计算，以及合理利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎21．设函数在点处的切线方程是 ‎（1）求实数的值.‎ ‎（2）若方程有唯一实数解，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得函数的导数，根据题设条件，得到，，即可求解；‎ ‎（2）由方程有唯一实数解，得有唯一实数解，‎ 设，利用导数得到函数的单调性与最小值，再由有唯一解，转化为，设函数，再由至多有一解，得到，代入方程组，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，函数，则，‎ 当时，，所以，‎ 又由，解得.‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 因为方程有唯一实数解，‎ 所以有唯一实数解，‎ 设，则，‎ 令，则，‎ 因为，所以，方程有两异号根，设为，‎ 当时，，在上单调递减；‎ 当时，，在上单调递增，‎ 当时，取最小值，‎ 当时，，当时，，‎ 因为有唯一解，所以，则，即，‎ 因为，所以，（*）‎ 设函数，‎ 因为当时，是增函数，所以至多有一解，‎ 因为，所以方程（*）的解为，‎ 代入方程组解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究方程的根问题，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ ‎22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）；以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出当时的普通方程及的直角坐标方程；‎ ‎（2）设曲线与交于两点，若，求的值.‎ ‎【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，得到的参数方程，两式作差，即可得到曲线普通方程；再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线的直角坐标方程．‎ ‎（2）把直线的参数方程代入，得，利用直线参数方程中参数的几何意义，求得，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，的参数方程为，‎ 两式作差得；‎ 又由，得，即.‎ 所以曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）把代入，得.‎ 则，‎ 所以，‎ 即，因为，所以或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，以及合理利用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（1）若恒成立，求的最小值；‎ ‎（2）若，求不等式的解集.‎ ‎【答案】（1）1（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，由绝对值三角不等式可得函数的最小值为，得到，即可求解；‎ ‎（2）分类讨论，即可求解不等式的解集．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）利用绝对值的三角不等式，得到，‎ 故，所以的最小值是1；‎ ‎（2）①当时，，得，故，‎ ‎②当时，，得，故，‎ ‎③当时，，得，故，‎ 综上，不等式解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，以及熟练应用绝对值的三角不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎