数学理卷·2018届江西省南昌三中高二上学期期末考试（解析版）

数学理卷·2018届江西省南昌三中高二上学期期末考试（解析版）

南昌三中2016-2017学年度上学期期末考试 高二数学（理）试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 若复数（为虚数单位，）的实部为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】.实部为,所以.‎ 故选C.‎ ‎2. 函数y＝xe－x，x∈的最小值为(　　)．‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，有最小值，且，故选A.‎ 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用函数的单调性求函数在闭区间上的最值.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.‎ ‎3. 与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是(　　)．‎ A. 2x－y＋3＝0 B. 2x－y－1＝0‎ C. 2x－y＋1＝0 D. 2x－y-3＝0‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可设切线方程为，‎ 联立方程，‎ 得，.‎ 解得，‎ 所以切线方程为. 综上所述，答案为B.‎ ‎4. 设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的 ( ) 条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】A ‎【解析】由，得，‎ 由，得 当时，，满足充分性；‎ 当，可以，即必要性不成立，‎ 所以是的充分不必要条件，故选A.‎ ‎5. 下列判断错误的是（ ）‎ A. 若为假命题，则至少之一为假命题 B. 命题“”的否定是“”‎ C. “若且，则”是真命题 D. “若，则”的否命题是假命题 ‎【答案】C ‎【解析】A. 若为假命题，则p，q至少之一为假命题，正确；‎ B. “”的否定是“”，正确；‎ C.是真命题不一定正确,例如当时；‎ D. 若am2f(b) C. f(a)＝f(b) D. f(|a|)>f(b)‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，‎ 所以,解得.‎ ‎ ‎ 而,则即.‎ 故选B.‎ ‎9. 已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】当时,,解得,函数有两个零点，不符合题意，应舍去；‎ 当a>0时,令，,解得或，列表如下：‎ ‎∵而，‎ ‎∴存在,使得,不符合条件：存在唯一的零点,且>0，应舍去。‎ 当时,，,解得或，列表如下：‎ 而时,→−∞，‎ ‎∴存在>0,使得，‎ ‎∵存在唯一的零点,且0，‎ ‎∴极小值f()>0,化为a2>4，‎ ‎∵a<0，∴a<−2.‎ 综上可知：a的取值范围是(−∞,−2).‎ 故选：A.‎ 点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，‎ ‎（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；‎ ‎（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；‎ ‎（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.‎ ‎10. 已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是（　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由于，‎ ‎∴，‎ ‎∴,故为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，‎ 又当时,，排除C，只有A适合，‎ 故选：A.‎ 点睛：判断函数图象一般是研究函数的性质，一般有：奇偶性，单调性，极限值，端点值或是特殊点.‎ ‎11. 已知函数的定义域为导函数为，则满足的实数x的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，‎ ‎∴函数f(x)在定义域(−2,2)内为增函数，‎ 由，可得.‎ ‎∴函数f(x)为定义域上的奇函数且在x=0处有定义。‎ 由，得 则，解得：.‎ ‎∴满足f(1+x)+f(x−x2)>0的实数x的取值范围是(,1).‎ 故选B.‎ 点睛：本题属于利用函数性质解不等式，一般步骤为，先研究函数的奇偶性及单调性，再将要解的不等式变为两个函数的大小，进而结合函数的性质，求解自变量的关系即可.‎ ‎12. 已知定义域为R奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：利用条件构造函数，∴，∵是定义在实数集R上的奇函数，∴是定义在实数集R上的偶函数，当时，，∴此时函数单调递增．∵，，，又，∴．故选A．‎ 考点：利用导数判断函数的单调性来比较大小.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）‎ ‎13. 设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（ex）=x+ex，则f′（1）=___________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】设ex＝t，则x＝ln t(t>0)，‎ ‎∴f(t)＝ln t＋t，∴f′(t)＝＋1，‎ ‎∴f′(1)＝2.‎ ‎14. 若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是______．‎ ‎【答案】a>3或a<-1‎ ‎【解析】∵“∃x∈R,使得 ‎∴有两个不等实根 ‎∴.‎ ‎∴a<−1或a>3‎ 故答案为：(−∞,−1)∪(3,+∞)‎ ‎15. 已知函数f(x)＝mx2＋ln x－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为________．‎ ‎【答案】m≥1‎ ‎【解析】试题分析：函数定义域为，，函数为增函数则，转化为对恒成立，即解得．‎ 考点：导数判断函数的单调性.‎ ‎【易错点晴】由两个初等函数的加减构成新的函数的单调性一般情况下都采用求导的方法，由将题转化成二次函数在给定的范围内恒成立的问题．含参二次函数恒成立可采用分类讨论的形式来解决．本题是函数部分的常见题，很容易找到解决的方法.导数是高考的重难点，一般用于判断单调性、极值、最值等。本题难度适中.‎ ‎16. 已知函数f(x)＝mx3＋nx2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行，若f(x)在区间上单调递减，则实数t的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ 由.‎ 又，‎ ‎.‎ ‎.‎ 令,即，‎ 函数f(x)的单调减区间是(−2,0).‎ ‎∵f(x)在区间上单调递减，‎ 则实数t的取值范围是 故答案为.‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17. 求由曲线y＝与y＝x3所围成的封闭图形的面积 ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：先确定交点坐标，可得积分区间，再利用定积分求面积即可．‎ 试题解析：‎ 由曲线和曲线可得交点坐标为(0,0),(1,1)，则 曲线和曲线围成的封闭图形的面积为 ‎.‎ 故答案为：.‎ 点睛：定积分的计算一般有三个方法：‎ ‎（1）利用微积分基本定理求原函数；‎ ‎（2）利用定积分的几何意义，利用面积求定积分；‎ ‎（3）利用奇偶性对称求定积分，奇函数在对称区间的定积分值为0‎ ‎18. 已知p：指数函数f(x)＝(2a－6)x在R上是单调减函数；q：关于x的方程x2－3ax＋2a2＋1＝0的两根均大于3，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(，3]∪∪上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1）a＝2，b＝－4，c＝5；（2）最大值为13，最小值为.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用题意求得实数a,b,c的值可得函数f(x)的表达式为f(x)＝x3＋2x2－4x＋5‎ ‎(2)结合(1)的解析式和导函数研究原函数的性质可得y＝f(x)在上的最大值为13，最小值为.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，‎ 得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，‎ 当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0；①‎ 当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，‎ 可得4a＋3b＋4＝0.②‎ 由①②解得a＝2，b＝－4，‎ 又切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4.‎ ‎∴1＋a＋b＋c＝4.∴c＝5.‎ ‎(2)由(1)，得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，‎ ‎∴f′(x)＝3x2＋4x－4.‎ 令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝，‎ ‎∴f′(x)<0的解集为，即为f(x)的减区间．‎ 上的最大值为13，最小值为.‎ ‎20. 已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，点P(0,1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.‎ ‎(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；‎ ‎(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）M.；（2）点Q的坐标为(0，)或(0，－).‎ ‎【解析】试题分析：（I）根据椭圆的几何性质得出，求解即可． （II）讲问题转化为方程＝|xM||xN|，求坐标即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由题意得解得a2＝2，故椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ 设M(xM,0)．因为m≠0，所以－1＜n＜1.直线PA的方程为y－1＝x.‎ 所以xM＝，即M.‎ ‎(2)因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m，－n)．‎ 设N(xN,0)，则xN＝.“存在点Q(0，yQ)使得∠OQM＝∠ONQ”，等价于“存在点Q(0，yQ)使得”，即yQ满足＝|xM||xN|.‎ 因为xM＝，xN＝，＋n2＝1.‎ 所以＝|xM||xN|＝＝2.所以yQ＝或yQ＝－.‎ 故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ，点Q的坐标为(0，)或(0，－)．‎ ‎21. 函数 ‎(1)若函数，求函数的极值；‎ ‎(2)若在恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）没有极小值；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）在递增,在递减,没有极小值；（2）由在恒成立等价于在恒成立，利用导数求出的最大值，只需即可．‎ 试题解析：（1），定义域 由得, 由得,在递增,在递减,没有极小值．‎ ‎（2）由在恒成立，整理得在恒成立,设, 则,‎ 时,,且,‎ 时,,设 在递增,又使得 时,,时,,‎ 时,,时,．‎ 函数在递增,递减,递增,‎ 又 ‎，时，,‎ ‎,即的取值范围是 考点：1、利用导数研究函数的极值及最值；2、不等式恒成立问题．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性、求函数的极值以及不等式恒成立问题，属于难题．求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程 求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值．‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，为极点，点.‎ ‎（1）求经过点的圆的极坐标方程；‎ ‎（2）以极点为坐标原点，极轴为的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程为（是参数，为半径），若圆与圆相切，求半径的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出圆C1的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程； （2）将圆C2化成普通方程，根据两圆外切列出方程解出．‎ 试题解析：‎ ‎（1）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，‎ 点，过三点的圆的普通方程是 即，化为极坐标方程为 即；‎ ‎（2）圆的参数方程（是参数，为半径）化为普通方程是 则圆与圆的圆心距,‎ 当圆与圆相切时，则有或，‎ 解得或.‎ ‎ ‎