专题45 古典概型-高考全攻略之备战2018年高考数学（文）考点一遍过

专题45 古典概型-高考全攻略之备战2018年高考数学（文）考点一遍过

考点45古典概型 ‎（1）理解古典概型及其概率计算公式.‎ ‎（2）会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.‎ 一、基本事件 在一次试验中，可能出现的每一个基本结果叫做基本事件.‎ 基本事件有如下特点：‎ ‎（1）任何两个基本事件是互斥的.‎ ‎（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.‎ 二、古典概型的概念及特点 把具有特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.‎ 三、古典概型的概率计算公式 ‎.‎ 四、必记结论 ‎（1）古典概型中的基本事件都是互斥的．‎ ‎（2）在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时，易忽视它们是否是等可能的．‎ 考向一 古典概型的概率求解 ‎1.求古典概型的基本步骤：‎ ‎(1)算出所有基本事件的个数n.‎ ‎(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.‎ ‎(3)代入公式，求出P(A)．‎ ‎2.求解古典概型的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件.‎ 基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择. ‎3.对于求较复杂事件的古典概型的概率问题，可以将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求对立事件的概率，再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率.‎ ‎4.解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.‎ 典例1甲盒子装有分别标有数字1，2，3，4的4张卡片，乙盒子装有分别标有数字2，5的2张卡片，若从两个盒子中各随机地摸取出1张卡片，则2张卡片上的数字为相邻数字的概率为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B 典例2 某校高一、高二、高三分别有400人、350人、350人.为调査该校学生的学习情况,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本.已知从高一的同学中抽取8人.‎ ‎(1)求样本容量的值和从高二抽取的人数；‎ ‎(2)若从高二抽取的同学中选出2人参加某活动,已知高二被抽取的同学中有2名女生,求至少有1名女同学被选中的概率.‎ ‎【解析】(1)由题意可得,解得,‎ 从高二抽取人.‎ 从这7位同学中任选2人,有女生的有:,共 11 种,‎ 故至少有1名女同学被选中的概率为. ‎ ‎1．在中任取个不同的数,则这个数的和小于的概率为          ．‎ ‎2．近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,与此同时,相关管理部门推出了针对电商商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品好评率为对服务好评率为其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．‎ ‎(1)是否可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关?‎ ‎(2)若针对商品的好评率,采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易,并从中选择两次交易进行客户回访,求只有一次好评的概率．‎ 注:‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎.‎ 考向二用随机模拟估计概率 用随机模拟估计概率的关键是用相应的整数表示试验的结果，然后按实际需要将所得的随机数分为若干个一组（比如试验要求随机抽取三个球就三个数据一组），明晰所求事件的特点后去找符合要求的数据组，即可求解概率.‎ 典例3已知小李每次打靶命中靶心的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率.先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定0,1,2,3表示命中靶心,4,5,6,7,8,9表示未命中靶心,再以每三个随机数为一组,代表三次打靶的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:‎ ‎321　421　191　925　271　932　800　478　589　663‎ ‎531　297　396　021　546　388　230　113　507　965‎ 据此估计,小李三次打靶恰有两次命中的概率为 A．0.25 B．0.30‎ C．0.35 D．0.40‎ ‎【答案】B ‎3．袋子中有四个小球，分别写有“甲、乙、丙、丁”四个字，从中任取一个小球，取到“丙”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示取出小球上分别写有“甲、乙、丙、丁”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：‎ ‎13　24　12　32　43　14　24　32　31　21‎ ‎23　13　32　21　24　42　13　32　21　34‎ 据此估计，直到第二次就停止的概率为 A． B．‎ C． D．‎ ‎1．甲、乙两人有三个不同的学习小组A,B,C可以参加,若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组,则两人参加同一个小组的概率为 A． B．‎ C． D．‎ ‎2．现有2个正方体,3个三棱柱,4个球和1个圆台,从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率为 A． B．‎ C． D．‎ ‎3．袋中共有6个除颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球,从袋中任取两个球,则两个球的颜色为一白一黑的概率等于 A． B．‎ C． D．‎ ‎4．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中；5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：‎ ‎137  966  191  925  271  932  812  458  569  683‎ ‎431  257  393  027  556  488  730  113  537  989‎ 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 A．0.40 B．0.30 ‎ C．0.35 D．0.25‎ ‎5．从集合中随机选取一个数记为,从集合中随机选取一个数记为,则直线不经过第四象限的概率为 A． B．‎ C． D．‎ ‎6．运行如图所示的程序框图,设输出数据构成的集合为,从集合中任取一个元素,则函数是增函数的概率为 A． B．‎ C． D．‎ ‎7．2017年1月18日支付宝集福活动又来了,假定每次扫福都能得到一张福卡(福卡一共有五种:爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福),且得到每一种类型福卡的概率相同,若小张已经得到了富强福、和谐福、友善福,则小张再扫两次可以集齐五福的概率为___________.‎ ‎8．已知集合A={-2,3,5,7},从A中随机抽取两个不同的元素a,b,作为复数z=a+bi(i为虚数单位)的实部和虚部.则复数z在复平面内的对应点位于第一象限的概率为___________. ‎ ‎9．某中学有一调查小组为了解假期期间本校学生白天在家的时间情况,从全校学生中抽取120人,统计他们平均每天在家的时间(在家时间超过4小时的就认为具有“宅”属性,否则就认为不具有“宅”属性).‎ 具有“宅”属性 不具有“宅”属性 男生 ‎20‎ ‎50‎ 女生 ‎10‎ ‎40‎ 采用分层抽样的方法从具有“宅”属性的学生中抽取一个6人的样本,若从这6人中随机选取3人做进一步的调查,则选取的3人中至少有1名女生的概率为___________.‎ ‎10．广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物,也是城市精神文明建设成果的一个重要象征.2016年某校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查,随机抽取了40名广场舞者进行调查,‎ 将他们按年龄分成6段后得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎(l)计算这40名广场舞者中年龄分布在的人数;‎ ‎(2)若从年龄在中的广场舞者任取2名,求这两名广场舞者中恰有一人年龄在的概率.‎ ‎11．某市为了了解高三学生的身体综合素质,从甲、乙两所学校(两所学校的高三学生人数均按365计算)各抽取20名学生的数据作为样本,将综合素质分进行统计,如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).总分在35分以下(不包括35分)的为需要加强训练的学生;35~75分之间的为需要提高训练的学生;75分以上(不包括75分)的为运动健儿.‎ ‎(1)以这20名学生的身体综合素质分来估计全校365名高三学生的身体状况,则甲、乙两所学校中分别约有多少名需要加强训练和需要提高训练的高三学生?‎ ‎(2)从两所学校共抽取的40名高三学生中综合素质分在[60,80]内的学生中随机抽取2名,求抽取的2名高三学生均为运动健儿的概率.‎ ‎1．（2017天津文科）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A． B．‎ C． D．‎ ‎2．（2017新课标全国Ⅱ文科）从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A． B．‎ C． D．‎ ‎3．（2016新课标全国Ⅰ文科）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A． B．‎ C． D．‎ ‎4．（2016新课标全国Ⅲ文科）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A． B．‎ C． D．‎ ‎5．（2016北京文科）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为 A． B．‎ C． D．‎ ‎6．（2017山东文科）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.‎ ‎（1）若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；‎ ‎（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.‎ ‎7．（2016山东文科）某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：‎ ‎①若，则奖励玩具一个；‎ ‎②若，则奖励水杯一个；‎ ‎③其余情况奖励饮料一瓶.‎ 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.‎ ‎（1）求小亮获得玩具的概率；‎ ‎（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.‎ 变式拓展 ‎1．【答案】‎ ‎【解析】在中任取个不同的数，有，共种不同的取法，其中，“个数的和小于”包含，共2种不同的取法，‎ 则这个数的和小于的概率为.‎ ‎2．【解析】(1)由题意可得关于商品评价和服务评价的列联表:‎ 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 ‎80‎ ‎40‎ ‎120‎ 对商品不满意 ‎70‎ ‎10‎ ‎80‎ 合计 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ 计算得的观测值为 所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关．‎ ‎,,,，共计10种情况．‎ 其中只有一次好评的情况是共计6种情况．‎ 因此,只有一次好评的概率为．‎ ‎3．【答案】B ‎【解析】由题意知在20组随机数中表示第二次就停止的有13　43　23　13　13，共5组随机数，故所求概率为.‎ 考点冲关 ‎1．【答案】A ‎【解析】甲、乙两人参加三个不同的学习小组共包含个基本事件,‎ 其中两人参加同一个小组包含个基本事件,‎ 则所求概率为.故选A．‎ ‎2．【答案】C ‎【解析】共有10个几何体,其中旋转体有5个,所以从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率为.‎ ‎3．【答案】B ‎【解析】将1个红球,2个白球和3个黑球分别记为a1,b1,b2,c1,c2,c3,‎ 从袋中任取两个球的基本事件有:(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a1,c3),(b1,b2),( b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),‎ ‎(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3)，共15种.‎ 满足两个球的颜色为一白一黑的有6种,‎ 故所求概率为.‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】由题意，得在20组模拟数据中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的数据有137、191、271、932、812、393，共6个数据，‎ 则该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为.故选B．‎ ‎5．【答案】A ‎6．【答案】C ‎【解析】该程序的运行过程如下:x=-3,输出,输出,输出,输出,输出,输出,输出y=15,程序结束,‎ 故A={3,0,-1,8,15},‎ 其中有3个元素可使得函数是增函数,‎ 故所求概率为.‎ ‎7．【答案】‎ ‎【解析】再扫两次得到福卡的所有情况有(爱国福,爱国福)、(爱国福,富强福)、(爱国福,和谐福)、(爱国福,友善福)、(爱国福,敬业福)、(富强福,爱国福)、(富强福,富强福)、(富强福,和谐福)、(富强福,友善福)、(富强福,敬业福)、(和谐福,爱国福)、(和谐福,富强福)、(和谐福,和谐福)、(和谐福,友善福)、(和谐福,敬业福)、(友善福,爱国福)、(友善福,富强福)、(友善福,和谐福)、(友善福,友善福)、(友善福,敬业福)、(敬业福,爱国福)、(敬业福,富强福)、(敬业福,和谐福)、(敬业福,友善福)、(敬业福,敬业福),共25种,‎ 记“小张再扫两次可以集齐五福”为事件M,则事件M包含的情况有(爱国福,敬业福)、(敬业福,爱国福),共2种,‎ 根据古典概型的概率计算公式可得所求概率为P(M)=.‎ ‎8．【答案】‎ ‎9．【答案】‎ ‎【解析】记事件M为“选取的3人中至少有1名女生”,则事件为“选取的3人都是男生”.‎ 采用分层抽样的方法从具有“宅”属性的学生中抽取一个6人的样本,其中男生有4人,编号分别为a,b,c,d,女生有2人,编号分别为A,B．‎ 从6人中随机选取3人的基本事件有{a,b,c},{a,b,d},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,d},{a,c,A},{a,c,B},{a,d,A},‎ ‎{a,d,B},{a,A,B},{b,c,d},{b,c,A},{b,c,B},{b,d,A},{b,d,B},{b,A,B},{c,d,A},{c,d,B},{c,A,B},{d,A,B},共20个.‎ 事件所含的基本事件分别为{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},共4个,‎ 所以事件的概率为P()=,‎ 所以事件M的概率为P(M)=1-P()=1-.‎ ‎10．【解析】(1)由表中数据知,这40名广场舞者中年龄分布在的人数为.‎ ‎(2)由直方图可知,年龄在的有2人,分别记为在的有4人,分别记为.‎ 现从这6人中任选两人,共有如下15种选法:‎ ‎,,,‎ 其中恰有1人在的有8种,‎ 故这两名广场舞者中恰有一人年龄在的概率为.‎ ‎ (2)在抽取的40名高三学生的样本数据中,身体综合素质分在[60,80]内的有6名,而身体综合素质分在(75,80]内的有3名,分别记为D1,D2,D3,身体综合素质分在[60,75]内的有3名,分别记为d1,d2,d3,‎ 则从这6名高三学生中随机抽取2名共有15种结果:(D1,D2),(D1,D3),(D2,D3),(d1,d2),(d1,d3),(d2,d3),(D1,d1),‎ ‎(D1,d2),(D1,d3),(D2,d1),(D2,d2),(D2,d3),(D3,d1),(D3,d2),(D3,d3).‎ 记“抽取的2名高三学生均为运动健儿”为事件M,则其包含的结果有3种:(D1,D2),(D1,D3),(D2,D3).‎ 故抽取的2名高三学生均为运动健儿的概率为P(M)=.‎ 直通高考 ‎1．【答案】C ‎【解析】选取两支彩笔的方法有：红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，含有红色彩笔的选法有：红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，由古典概型的概率计算公式，可得所求概率．故选C．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查古典概型及其概率计算，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，然后找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数，代入公式即可得解．‎ ‎2．【答案】D ‎【解析】如下表所示，表中的点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数：‎ 总计有25种情况，满足条件的有10种.‎ 所以所求概率为.‎ ‎【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法：‎ ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】从4种颜色的花中任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛有4种种法，故所求概率为，选C．‎ ‎4．【答案】C ‎5．【答案】B ‎【解析】从5名学生中随机选出2人有10种选法，甲被选中的情况有4种，‎ 故所求概率为，故选B．‎ ‎6．【解析】（1）由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：‎ ‎，共个.‎ 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：‎ ‎,共个，‎ 则所求事件的概率为：.‎ ‎（2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：‎ ‎，共个，‎ 包含但不包括的事件所包含的基本事件有：，共个，‎ 所以所求事件的概率为：.‎ ‎【名师点睛】(1)对于事件A的概率的计算,关键是要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一,本试验是否是等可能的；第二,本试验的基本事件数有多少个；第三,事件A是什么,它包含的基本事件有多少个.‎ ‎(2)如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所包含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A中的基本事件数,利用公式P(A)＝求出事件A的概率,这是一个形象、直观的好方法,但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏.‎ 则事件包含的基本事件共有个，即 所以 即小亮获得玩具的概率为.‎ ‎（2）记“”为事件，“”为事件.‎ 则事件包含的基本事件共有个，即 所以 事件包含的基本事件共个，即 所以 因为所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.‎ ‎ ‎