2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（天津卷）

2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（天津卷）

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数 学（理工类）‎ ‎ ‎ ‎ 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。 ‎ ‎ 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎ 祝各位考生考试顺利！‎ 第I卷 注意事项：‎ ‎·1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎2.本卷共8小题，每小题5分，共40分 参考公式：‎ 如果事件 A，B 互斥，那么 ·如果事件 A，B 相互独立，‎ ‎ P(A∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．‎ 柱体的体积公式V 柱体=Sh 锥体的体积公式V = V=1/3Sh ‎ 其中 S 表示柱体的底面积 其中 S 表示锥体的底面积，‎ h 表示柱体的高． h 表示锥体的高．‎ ‎ ‎ 第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分. ‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合 ‎ A∩C u B=‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（2）设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为 ‎（A）3（B）4（C）18（D）40‎ ‎（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为 ‎（A） （B）6（C）14（D）18‎ ‎（4）设 ，则“ ”是“ ”的 ‎（A）充分而不必要条件 ‎（B）必要而不充分条件 ‎（C）充要条件 ‎（D）既不充分也不必要条件 ‎（5）如图，在圆 中， 是弦 的三等分点，弦分别经过点 .若 ‎ ，则线段 的长为 ‎（A） （B）3（C） （D） ‎ ‎（6）已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（7）已知定义在 上的函数 （ 为实数）为偶函数，记 ，则 的大小关系为 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D） ‎ ‎（8）已知函数 函数 ，其中 ，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ 第II卷 注意事项：‎ ‎1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.‎ ‎2、本卷共12小题，共计110分. ‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎（9） 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数的值为 .‎ ‎（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：），‎ 则该几何体的体积为 . ‎ ‎（11）曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 .‎ ‎（12）在 的展开式中， 的系数为 .‎ ‎（13）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则 的值为 .‎ ‎（14）在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上, .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎15.（本小题满分13分）已知函数，‎ ‎(I)求最小正周期；‎ ‎(II)求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎16. （本小题满分13分）‎ 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.‎ ‎(I)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；‎ ‎(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.‎ ‎17. （本小题满分13分）‎ 如图，在四棱柱中，侧棱,,,‎ ‎,且点M和N分别为的中点.‎ ‎(I)求证： MN∥平面ABCD ‎(II)求二面角的正弦值；‎ ‎(III)设E为棱上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段的长 ‎18. （本小题满分13分）‎ 已知数列满足，且成等差数列.‎ ‎(I)求q的值和的通项公式；‎ ‎(II)设，求数列的前n项和.‎ ‎19. （本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆截得的线段的长为c，.‎ ‎(I)求直线FM的斜率；‎ ‎(II)求椭圆的方程；‎ ‎(III)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围.‎ ‎20. （本小题满分14分）‎ 已知函数，其中.‎ ‎(I)讨论的单调性；‎ ‎(II)设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；‎ ‎(III)若关于的方程有两个正实根，求证： .‎ ‎2015年普通高等学校招生全套统一考试（天津卷）‎ 数学（理工类）参考解答 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分。‎ ‎（1）A （2）C （3）B （4）A ‎（5）A （6）D （7）C （8）D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分30分。‎ ‎（9）-2 （10） （11）‎ ‎（12） （13）8 （14）‎ 三、解答题 ‎ （15）本小题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识。考查基本运算能力。满分13分。‎ ‎ （I）解：由已知，有 ‎=‎ ‎ ‎ 所以，的最小正周期T=‎ ‎(II)解：因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，.所以，在区间上的最大值为，最小值为.‎ ‎（16）本小题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.‎ ‎ （I）解：由已知，有 所以，事件A发生的概率为.‎ ‎（II）解：随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.‎ 所以，随见变量的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ 随机变量的数学期望 ‎（17）本小题主要考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分13分.‎ ‎ 如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得,,,‎ ‎,.‎ 又因为M,N分别为和的中点，‎ 得,.‎ ‎ (I)证明：依题意，可得为平面的一个法向量. =.由此可得=0，又因为直线平面，所以∥平面.‎ ‎ （II）解：，.设为平面的法向量，则 即不妨设，可得.‎ ‎ 设为平面DE 法向量，则又，得 不妨设z=1，可得.‎ ‎ 因此有，于是.‎ ‎ 所以，二面角的正弦值为。‎ ‎（III）解：依题意，可设，其中，则，从而。又为平面的一个法向量，由已知，得 ‎=，整理得，又因为，解得.‎ ‎ 所以，线段的长为.‎ ‎(18)本小题主要考查等比数列及其前n项和公式、等差中项等基础知识。考查数列求和的基本方法、分类讨论思想和运算求解能力.满分13分.‎ ‎ （I）解：由已知，有，即，所以.又因为，故，由，得.‎ ‎ 当时，；‎ ‎ 当时，.‎ ‎ 所以，的通项公式为 ‎（II）解：由（I）得.设的前n项和为，则 ‎ ，‎ ‎ ，‎ 上述两式相减，得 ‎ ，‎ ‎ 整理得，.‎ ‎ 所以，数列的前n项和为，.‎ ‎（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识.考查用代数方法研究 曲线的性质，考查运算求解能力，以及用函数与方程思想解决问题的能力。满分14分.‎ ‎（I）解：由已知有，又由，可得.‎ 设直线的斜率为，则直线的方程为.由已知，有+，解得.‎ ‎（II）解：由（I）得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去y，整理得，解得，或.因为点M在第一象限，可得M的坐标为.有，解得，所以椭圆的方程为.‎ ‎（III）解：设点P的坐标为，直线FP的斜率为，得，即，‎ 与椭圆方程联立消去，整理得.又由已知，得，解得，或.‎ ‎ 设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得.‎ ‎ ①当时，有，因此，于是，得.‎ ‎ ②当时，有，因此，于是，得.‎ ‎ 综上，直线的斜率的取值范围是.‎ ‎（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法.考查分类讨论思想、函数思想和划归思想.考查综合分析问题和解决问题的能力。满分14分.‎ ‎ （I）解：由=，可得==，其中，且.‎ 下面分两种情况讨论：‎ ‎ （1）当为奇数时.‎ ‎ 令=0，解得，或.‎ ‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎-‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎ ‎ ‎ 所以，在，上单调递减，在内单调递增。‎ ‎（2）当为偶数时.‎ ‎ 当，即时，函数单调递增；‎ ‎ 当，即时，函数单调递减.‎ ‎ 所以，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（II）证明：设点的坐标为，则，.曲线在点处的切线方程为，即.令，即，则.‎ ‎ 由于在上单调递减，故在上单调递减.又因为，所以当时，，当时，，所以在内单调递增，在上单调递减，所以对于任意的正实数，都有，即对于任意的正实数，都有.‎ ‎（III）证明：不妨设.由（II）知.设方程的根为，可得，当时，在上单调递减.又由（II）知，可得.‎ 类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，，即对于任意的，.‎ 设方程的根为，可得.因为在上单调递增，且，因此.‎ 由此可得.‎ 因为，所以，故.‎ 所以，.‎ ‎ ‎