2012年高考数学真题分类汇编E 不等式（文科）
E 不等式
E1 不等式的概念与性质
10．B11、B12、E1[2012·浙江卷] 设a>0，b>0，e是自然对数的底数( )
A．若ea＋2a＝eb＋3b，则a>b
B．若ea＋2a＝eb＋3b，则a
b
D．若ea－2a＝eb－3b，则aeb＋3b，令函数f(x)＝ex＋3x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵f(a)>f(b)，∴a>b，A正确，B错误；
由ea－2a＝eb－3b，有ea－2ab，当a，b∈(ln2，＋∞)时，由f(a)0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)>0}，则A∩B＝( )
A．(－∞，－1) B.
C. D．(3，＋∞)
1．D [解析] 本题考查集合的表示、集合交集运算和一元一次、一元二次不等式求解．
因为A＝{x|3x＋2>0}＝＝，
B＝{x|x<－1或x>3}＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，
所以A∩B＝(3，＋∞)，答案为D.
6．D3、E1[2012·北京卷] 已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是( )
A．a1＋a3≥2a2
B．a＋a≥2a
C．若a1＝a3，则a1＝a2
D．若a3>a1，则a4>a2
6．B [解析] 本题考查等比数列通项、简单不等式性质与均值不等式．
对于A选项，当数列{an}首项为负值，公比为负值时明显不成立，比如an＝(－1)n，a1＋a3＝－2<2a2＝2，故A错误；对于B选项，a ＋ a≥2|a1 a3 | ＝ 2a，明显成立，故B正确；对于C选项，由a1＝a3＝a1q2只能得出等比数列公比q2＝1，q＝±1，当q＝－1时，a1≠a2，故C错误；对于选项D，由a3>a1可得a1(q2－1)>0，而a4－a2＝a2(q2－1)＝a1q(q2－1)的符号还受到q符号的影响，不一定为正，也就得不出a4>a2，故D错误．
E2 绝对值不等式的解法
9．E2[2012·天津卷] 集合A＝中的最小整数为________．
9．－3 [解析] 将|x－2|≤5去绝对值得－5≤x－2≤5，解之得－3≤x≤7，∴x的最小整数为－3.
E3 一元二次不等式的解法
13．E3[2012·江苏卷] 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．
13．9 [解析] 本题考查二次函数的解析式以及性质和一元二次不等式的解法．解题突破口为二次函数的性质及三个“二次”之间的关系．
由条件得a2－4b＝0，从而f(x)＝2，
不等式f(x)0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)>0}，则A∩B＝( )
A．(－∞，－1) B.
C. D．(3，＋∞)
1．D [解析] 本题考查集合的表示、集合交集运算和一元一次、一元二次不等式求解．
因为A＝{x|3x＋2>0}＝＝，
B＝{x|x<－1或x>3}＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，
所以A∩B＝(3，＋∞)，21．B12、E3[2012·广东卷] 设00}，B＝{x∈R|2x2－3(1＋a)x＋6a>0}，D＝A∩B.
(1)求集合D(用区间表示)；
(2)求函数f(x)＝2x3－3(1＋a)x2＋6ax在D内的极值点．
21．解：(1)x∈D⇔x>0且2x2－3(1＋a)x＋6a>0.
令h(x)＝2x2－3(1＋a)x＋6a，
Δ＝9(1＋a)2－48a＝3(3a－1)(a－3)．
①当0，∴B＝R.
于是D＝A∩B＝A＝(0，＋∞)．
②当a＝时，Δ＝0，此时方程h(x)＝0有唯一解
x1＝x2＝＝＝1，
∴B＝(－∞，1)∪(1，＋∞)．
于是D＝A∩B＝(0,1)∪(1，＋∞)．
③当00，此时方程h(x)＝0有两个不同的解
x1＝，
x2＝.
∵x10，
∴B＝(－∞，x1)∪(x2，＋∞)．
又∵x1>0⇔a>0，
∴D＝A∩B＝(0，x1)∪(x2，＋∞)．
(2)f′(x)＝6x2－6(1＋a)x＋6a＝6(x－1)(x－a)．
当0a且x1<<1，
x2＝
＝
>＝1，
∴a∈D,1∉D.
由表可得，x＝a为f(x)在D内的极大值点．
答案为D.
2．E3[2012·重庆卷] 不等式<0的解集为( )
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(－2,1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
2．C [解析] 原不等式等价于(x－1)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜1，选C.
[点评] 分式不等式通常转化为整式不等式来解，其主要转化途径：(1)>0⇔f(x)g(x)>0；(2)<0⇔f(x)g(x)<0.
10．A1、E3、B6[2012·重庆卷] 设函数f(x)＝x2－4x＋3，g(x)＝3x－2，集合M＝{x∈R|f(g(x))>0|，则N＝{x∈R|g(x)<2}，则M∩N为( )
A．(1，＋∞) B．(0,1)
C．(－1,1) D．(－∞，1)
10．D [解析] 因为f(g(x))＝[g(x)]2－4g(x)＋3，所以解关于g(x)不等式[g(x)]2－4g(x)＋3＞0，得g(x)＜1或g(x)＞3，即3x－2＜1或3x－2＞3，解得x＜1或x＞log35，所以M＝(－∞，1)∪(log35，＋∞)，又由g(x)＜2，即3x－2＜2,3x＜4，解得x＜log34，所以N＝(－∞，log34)，故M∩N＝(－∞，1)，选D.
E4 简单的一元高次不等式的解法
11．E4[2012·江西卷] 不等式>0的解集是________．
11．{x|－33} [解析] 原不等式可化为(x＋3)(x－3)(x－2)>0，利用穿针引线法可得{x|－33}．
17．B12、E4[2012·重庆卷] 已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.
(1)求a，b的值；
(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．
17．解：因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b.
由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16.
故有
即化简得
解得a＝1，b＝－12.
(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c；
f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)．
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；
当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．
由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x2＝2处取得极小值f(2)＝c－16.
由题设条件知16＋c＝28，得c＝12.
此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4，
因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.
E5 简单的线性规划问题
2．E5[2012·天津卷] 设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－2y的最小值为( )
A．－5 B．－4
C．－2 D．3
2．B [解析] 概括题意画出可行域如图．
当目标函数线过可行域内点A(0,2)时，目标函数有最小值z＝0×3－2×2＝－4.
8．E5[2012·四川卷] 若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋4y的最大值是( )
A．12 B．26
C．28 D．33
8．C [解析] 由已知，画出可行域如图，
可知当x＝4，y＝4时，z＝3x＋4y取得最大值，
最大值为28.
10．E5[2012·上海卷] 满足约束条件|x|＋2|y|≤2的目标函数z＝y－x的最小值是________．
10．－2 [解析] 考查简单的线性规划问题，此题的难点是如何正确画出可行域．
画图可知，约束条件表示的区域是一个平行四边形区域，四个顶点分别是(0,1)，(2,0)(0，－1)(－2,0)．通过平移参照直线y－x＝0，可知在(2,0)处取得最小值，zmin＝0－2＝－2.
9．E5[2012·辽宁卷] 设变量x，y满足则2x＋3y的最大值为( )
A．20 B．35
C．45 D．55
9．D [解析] 本小题主要考查线性规划．解题的突破口为作出可行域，借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．
不等式组表示的区域如图1－1所示，令z＝2x＋3y，目标函数变为y＝－x＋，故而当截距越大，z的取值越大，故当直线z＝2x＋3y经过点A时，z最大，由于⇒故而A的坐标为(5,15)，代人z＝2x＋3y，得到zmax＝55，即2x＋3y的最大值为55.
5．E5[2012·课标全国卷] 已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是( )
A．(1－，2) B．(0,2)
C．(－1,2) D．(0,1＋)
5．A [解析] 由正三角形的性质可求得点C，作出△ABC表示的可行域(如下图所示不含△ABC的三边)．
可知当直线z＝－x＋y经过点C(1＋，2)时，z＝－x＋y取得最小值，且zmin＝1－；当直线z＝－x＋y经过点B(1,3)时，z＝－x＋y取得最大值，且zmax＝2.因为可行域不含△ABC的三边，故z＝－x＋y的取值范围是.故选A.
5．E5[2012·广东卷] 已知变量x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最小值为( )
A．3 B．1
C．－5 D．－6
5．C [解析] 作出可行域，如图所示．
目标函数变形为：y＝－x＋z，平移目标函数线，显然当直线经过图中A点时，z最小，由 得A(－1，－2)，所以zmin＝－1－4＝－5.所以选择C.
10．E5[2012·福建卷] 若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为( )
A．－1 B．1 C. D．2
10．B [解析] 根据约束条件画出可行域如下图所示，
根据题意，显然当直线y＝2x与直线y＝－x＋3相交，交点的横坐标即为m的最大值，解方程组：解得x＝1.所以当m≤1时，直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件，所以m的最大值为1.
14．E5[2012·全国卷] 若x，y满足约束条件则z＝3x－y的最小值为________．
14．－1 [解析] 本小题主要考查线性规划最优解的应用，解题的突破口是正确作出可行域和平移目标函数曲线．
利用不等式组，作出可行域，则目标函数直线过(0,1)时，z取最小值－1.
8．E5[2012·安徽卷] 若x，y满足约束条件则z＝x－y的最小值是( )
A．－3 B．0 C. D．3
8．A [解析] 作出不等式组 表示的可行域(如图所示的△ABC的边界及内部)．平移直线z＝x－y，易知当直线z＝x－y经过点C(0,3)时，目标函数z＝x－y取得最小值，即zmin＝－3.
14．E5[2012·浙江卷] 设z＝x＋2y，其中实数x，y满足则z的取值范围是________．
14．[答案]
[解析] 约束条件得到的可行域为下图中的四边形ABCO及其内部，由目标函数z＝x＋2y可得y＝－x＋，直线x＋2y－z＝0平移通过可行域时，截距在B点取得最大值，在O点取得最小值，B点坐标为， 故z∈.
21．B9、B12、E5[2012·陕西卷] 设函数f(x)＝xn＋bx＋c(n∈N＋，b，c∈R)．
(1)设n≥2，b＝1，c＝－1，证明：f(x)在区间内存在唯一零点；
(2)设n为偶数，|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，求b＋3c的最小值和最大值；
(3)设n＝2，若对任意x1，x2∈[－1,1]有|f(x1)－f(x2)|≤4，求b的取值范围．
21．解：(1)当b＝1，c＝－1，n≥2时，f(x)＝xn＋x－1.
∵ff(1)＝×1＜0.
∴f(x)在内存在零点．
又当x∈时，f′(x)＝nxn－1＋1＞0，
∴f(x)在上是单调递增的，
∴f(x)在内存在唯一零点．
(2)解法一：由题意知即
由图像知，b＋3c在点(0，－2)取到最小值－6，
在点(0,0)取到最大值0，
∴b＋3c的最小值为－6，最大值为0.
解法二：由题意知
－1≤f(1)＝1＋b＋c≤1，即－2≤b＋c≤0，①
－1≤f(－1)＝1－b＋c≤1，即－2≤－b＋c≤0，②
①×2＋②得
－6≤2(b＋c)＋(－b＋c)＝b＋3c≤0，
当b＝0，c＝－2时，b＋3c＝－6；当b＝c＝0时，b＋3c＝0，
所以b＋3c的最小值为－6，最大值为0.
解法三：由题意知
解得b＝，c＝，
∴b＋3c＝2f(1)＋f(－1)－3.
又∵－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，
∴－6≤b＋3c≤0，
所以b＋3c的最小值为－6，最大值为0.
(3)当n＝2时，f(x)＝x2＋bx＋c.
对任意x1，x2∈[－1,1]都有|f(x1)－f(x2)|≤4等价于f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值之差M≤4.据此分类讨论如下：
①当＞1，即|b|＞2时，M＝|f(1)－f(－1)|＝2|b|＞4，与题设矛盾．
②当－1≤－＜0，即0＜b≤2时，
M＝f(1)－f＝2≤4恒成立．
③当0≤－≤1，即－2≤b≤0时，
M＝f(－1)－f＝2≤4恒成立．
综上可知，－2≤b≤2.
注：②，③也可合并证明如下：
用max{a，b}表示a，b中的较大者．
当－1≤－≤1，即－2≤b≤2时，
M＝max{f(1)，f(－1)}－f
＝＋－f
＝1＋c＋|b|－
＝2≤4恒成立．
3．E5、K3[2012·北京卷] 设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )
A. B.
C. D.
3．D [解析] 本题考查了线性规划、圆的概念、圆的面积公式以及几何概型公式等基础知识．
如图所示，P＝＝＝.
14．E5[2012·湖北卷] 若变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值是________．
14．[答案] 2
[解析] 作出不等式组 所表示的可行域，如下图阴影部分所示(含边界)．
可知当直线z＝2x＋3y经过直线x＋y＝1与直线3x－y＝3的交点M(1,0)时，z＝2x＋3y取得最小值，且zmin＝2.
6．E5[2012·山东卷] 设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是( )
A. B.
C．[－1,6] D.
6．A [解析] 本题考查简单的线性规划问题，考查数据处理能力，容易题．
可行域为如图所示阴影部分．
当目标函数线l移至可行域中的A点(2,0)时，目标函数有最大值z＝3×2－0＝6；当目标函数线l移至可行域中的B点时，目标函数有最小值z＝3×－3＝－.
E6 基本不等式
9．E6[2012·浙江卷] 若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )
A. B.
C．5 D．6
9．C [解析] 本题考查利用基本不等式求最值，考查学生观察、变形判断的能力．
由x>0，y>0，x＋3y＝5xy得＋＝1，则3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋＋≥＋2＝5，当且仅当＝即x＝1，y＝时等号成立．
10．E6、E8[2012·陕西卷] 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( )
A．a＜v＜ B．v＝
C.＜v＜ D．v＝
10．A [解析] 由小王从甲地往返到乙地的时速为a和b，则全程的平均时速为v＝＝，又∵a1时，f(x)<(x－1)；
(2)当11时，
g′(x)＝＋－<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减．
又g(1)＝0，有g(x)<0，即
f(x)<(x－1)．
(证法二)
由均值不等式，当x>1时，21时，f(x)<(x－1)．
(2)(证法一)
记h(x)＝f(x)－，由(1)得
h′(x)＝＋－
＝－<－
＝
令g(x)＝(x＋5)3－216x，则当10时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．
21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
若a>0，则当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；
当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，
所以，f(x)在(－∞，lna)单调递减，在(lna，＋∞)单调递增．
(2)由于a＝1，所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1.
故当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等价于
k<＋x (x>0)． ①
令g(x)＝＋x，
则g′(x)＝＋1＝.
由(1)知，函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)单调递增．而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，＋∞)存在唯一的零点．故g′(x)在(0，＋∞)存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．
当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0.所以g(x)在(0，＋∞)的最小值为g(α)．
又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．
由于①式等价于k0，f(x)单调递增；
而在上，f′(x)<0，f(x)单调递减．
故f(x)在(0，＋∞)上的最大值为f＝
n＝.
(3)证明：令φ(t)＝lnt－1＋(t＞0)，则φ′(t)＝－＝(t＞0)．
在(0,1)上，φ′(t)＜0，故φ(t)单调递减；
而在(1，＋∞)上，φ′(t)＞0，φ(t)单调递增．
故φ(t)在(0，＋∞)上的最小值为φ(1)＝0.所以φ(t)＞0(t＞1)，
即lnt＞1－(t＞1)．
令t＝1＋，得ln＞，即lnn＋1＞lne，
所以n＋1＞e，即＜.
由(2)知，f(x)≤＜，故所证不等式成立．
9．A2、E8[2012·湖北卷] 设a，b，c∈R＋，则“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的( )
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要的条件
9．A
[解析] 先考察充分性：
当abc＝1时，＋＋＝＋＋＝＋＋，
又因为2(a＋b＋c)＝(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥2＋2＋2(当且仅当a＝b＝c＝1时取等号)，
即＋＋＝＋＋≤a＋b＋c，故充分性成立；
再考察必要性：
取a＝b＝c＝3，显然有＋＋≤a＋b＋c，但abc≠1，故必要性不成立．应选A.
E9 单元综合
17．E9[2012·江苏卷] 如图1－5，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y
轴垂直于地平面，单位长度为1 km，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
图1－5
17．解：(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，
故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10 km.
(2)因为a>0，所以
炮弹可击中目标⇔存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立
⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根
⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0
⇔a≤6.
所以当a不超过6 km时，可击中目标．
16．E9[2012·四川卷] 设a，b为正实数，现有下列命题：
①若a2－b2＝1，则a－b<1；
②若－＝1，则a－b<1；
③若|－|＝1，则|a－b|<1；
④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.
其中的真命题有________．
(写出所有真命题的编号)
16．①④ [解析] 由a2－b2＝1，所以a2＝1＋b2＞1，又a是正实数，故a＞1，进而a＋b＞1，
分解因式得(a＋b)(a－b)＝1，
∴a－b＝＜1.①正确．
由－＝1且a、b是正实数，可得a－b＝ab，不能保证小于1，如b＝，a＝2，
此时a－b＝ab＝＞1.②错误．
由|－|＝1，取a＝4，b＝1可知|a－b|＝3＞1，故③错误．
由|a3－b3|＝1，不妨设a＞b，即a3－b3＝1，于是a3＝1＋b3，因为a、b都是正实数，
故a3＝1＋b3＞1⇒a＞1，
于是(a－b)(a2＋ab＋b2)＝1⇒a－b＝＜1，从而④正确．
21．H10、E9[2012·四川卷] 如图1－6，动点M与两定点A(－1,0)、B(1,0)构成△MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C.
图1－6
(1)求轨迹C的方程；
(2)设直线y＝x＋m(m>0)与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|<|PR|，求的取值范围．
21．解：(1)设M的坐标为(x，y)，当x＝－1时，直线MA的斜率不存在；当x＝1时，直线MB的斜率不存在．
于是x≠1且x≠－1，此时，MA的斜率为，MB的斜率为，
由题意，有·＝4，
化简可得，4x2－y2－4＝0.
故动点M的轨迹C的方程为4x2－y2－4＝0(x≠1且x≠－1)．
(2)由消去y，可得3x2－2mx－m2－4＝0.(*)
对于方程(*)，其判别式Δ＝(－2m)2－4×3(－m2－4)＝16m2＋48>0，而当1或－1为方程(*)的根时，m的值为－1或1，
结合题设(m>0)可知，m>0，且m≠1.
设Q、R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，则xQ，xR为方程(*)的两根．
因为|PQ|<|PR|，所以|xQ|<|xR|，xQ＝，xR＝.
所以＝＝＝
1＋.
此时>1，且≠2.
所以1<1＋<3，且1＋≠，
所以1<＝<3，且＝≠.
综上所述，的取值范围是∪.
22．B14、E9、J3、D5[2012·四川卷] 已知a为正实数，n为自然数，抛物线y＝－x2＋与x轴正半轴相交于点A.设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．
(1)用a和n表示f(n)；
(2)求对所有n都有≥成立的a的最小值；
(3)当06·.
首先证明：当06x.
设函数g(x)＝6x(x2－x)＋1,00.
故g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)min＝g＝>0.
所以，当00，即得>6x.
由06ak，从而
＋＋…＋
＝＋＋…＋>6(a＋a2＋…＋an)
＝6·
＝6·.
