数学卷·2018届湖南省衡阳八中高二理科实验班上学期第五次月考（2017-01）

数学卷·2018届湖南省衡阳八中高二理科实验班上学期第五次月考（2017-01）

衡阳八中2016年下期高二年级第五次月考试卷 数学（试题卷）‎ 注意事项：‎ ‎1.本卷为衡阳八中高二年级理科实验班第五次月考试卷，分两卷。其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。‎ ‎2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。‎ ‎3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。‎ ‎★预祝考生考试顺利★‎ 第I卷 选择题（每题5分，共60分）‎ 本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。‎ ‎1.已知命题，函数的值大于．若是真命题，则命题可以是（ ）‎ A．，使得 B．“”是“函数在区间上有零点”的必要不充分条件 C．是曲线的一条对称轴 D．若，则在曲线上任意一点处的切线的斜率不小于 ‎2.函数的单调递减区间是（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎3.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是( )‎ A．方程x2+ax+b=0没有实根 B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根 C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根 D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根 ‎4.某工厂为了调查工人文化程度与月收入之间的关系，随机调查了部分工人，得到如下表所示的数据：（单位：人）‎ 月收入2000元以下 ‎ ‎ 月收入2000元及以上 ‎ 总计 ‎ 高中文化以上 ‎ 10‎ ‎ 45‎ ‎ 55‎ 高中文化及以下 ‎ ‎ 20‎ ‎ 30‎ ‎ 50‎ 总计 ‎ ‎ 30‎ ‎ 75‎ ‎ 105‎ 由上表中的数据计算，得，则我们有多大把握认为“文化程度与月收入有关系”（　　）‎ A．1% B．99% C．5% D．95%‎ ‎5.已知三棱锥的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足，，,则三棱锥的侧面积的最大值为 ‎ A． B．1 C．2 D．4‎ ‎6.函数y=x2cosx（）的图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.椭圆：（a＞b＞0），左右焦点分别是F1，F2，焦距为2c，若直线与椭圆交于M点，满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即 ‎（），试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为（ ）‎ ‎（A） 400 ( B ) 500 (C) 600 (D) 800‎ ‎9.设函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）=，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，e2+] B．（0，e2+] ‎ C．（e2+，+∞] D．（﹣e2﹣，e2+]‎ ‎10.已知过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的中心的直线交双曲线于点A，B，在双曲线C上任取与点A，B不重合的点P，记直线PA，PB，AB的斜率分别为k1，k2，k，若k1k2＞k恒成立，则离心率e的取值范围为（　　）‎ A．1＜e＜ B．1＜e≤ C．e＞ D．e≥‎ ‎11.已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 A. 13万件 B. 11万件 C. 9万件 D. 7万件 ‎12.椭圆=1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得A1点在平面B1A2B2上的射影恰好为椭圆的右焦点C，则该CA1的长度为（　　）‎ A．4 B. C．2 D．‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.（1﹣x）（1+x）6的展开式中x3系数为　 　．‎ ‎14.复数z=（i虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为　　．‎ ‎15.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为　 　．‎ ‎16.圆心在抛物线上，并且和该抛物线的准线及轴都相切的圆的标准方程为 ．‎ 三.解答题（共6题，共70分）‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 已知命题p：函数的定义域为R，命题q：关于x的方程的两个实根均大于3.若“p或q”为真，“p且q“为假，求实数a的取值范围．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 某市为了了解高二学生物理学习情况，在34所高中里选出5所学校，随机抽取了近千名学生参加物理考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示. ‎ ‎（1）将34所高中随机编号为01，02，…，34，用下面的随机数表选取5组数抽取参加考试的五所学校.选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次取两个数字，则选出来的第4所学校的编号是多少？‎ ‎49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20‎ ‎96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77‎ ‎04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06‎ ‎（2）求频率分布直方图中的值，试估计全市学生参加物理考试的平均成绩；‎ ‎（3）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为，求的分布列及数学期望.‎ ‎（注：频率可以视为相应的概率）‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，CD与平面ABDE所成角的正弦值为．‎ ‎（1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥面DBC；‎ ‎（2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（8，﹣4），P（2，t）（t＜0）在抛物线y2=2px（p＞0）上．‎ ‎（1）求p，t的值；‎ ‎（2）过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线AM上．若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1+k2=2k3，求点C的坐标．‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），定义h（x）=max{f（x），g（x）}=．‎ ‎（1）求函数f（x）的极值；‎ ‎（2）若g（x）=xf'（x），且存在x∈[1，2]使h（x）=f（x），求实数a的取值范围；‎ ‎（3）若g（x）=lnx，试讨论函数h（x）（x＞0）的零点个数．‎ 选做题 考生从22、23中任选一题作答，共10分。‎ ‎22.已知：动点P、Q都在曲线C：（t为参数）上，对应参数分别为t=α与t=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．‎ ‎（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 衡阳八中2016年下期高二年级理科实验班第五次月考数学参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A A D C B B A A D C D ‎13.5‎ ‎14.‎ ‎15.16π ‎16.‎ ‎17.‎ 若真，则， -----------------2分 若真，令，‎ 则应满足-------4分 ‎ ‎-----------6分 又由题意可得p真q假或p假q真-------------7分 ‎(1)若p真q假，则------------9分 ‎ ‎（2）若p假q真，则--------11分 综上可得，a的取值范围是------------12分 ‎18.（1）16；（2）；（3）‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ……………………………10分 ‎ 所以 ．‎ ‎（或，所以．）…………………12分 ‎19.‎ ‎（1）证明：取AB的中点O，连结OC，OD．‎ ‎∵DB⊥平面ABC，DB⊂面ABD，根据直线和平面垂直的判定定理得，面ABD⊥平面ABC．‎ 取AB的中点O，连结OC，OD．‎ ‎∵△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，‎ 根据平面和平面垂直的性质定理得则OC⊥面ABD，‎ ‎∴OD是CD在平面ABDE上的射影，‎ ‎∴∠CDO即是CD与平面ABDE所成角．‎ ‎∴sin∠CDO=，而OC=，‎ ‎∴CD=2，∴BD=2．（2分）‎ 取ED的中点为M，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OM为z轴建立如图空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），，（4分）‎ 取BC的中点为G，则G（，，0），则AG⊥面BCD，因为，‎ 所以，所以EF⊥面DBC．（6分）‎ ‎（2）解：由上面知：BF⊥面DEC，‎ 又，‎ 取平面DEC的一个法向量 设平面BCE的一个法向量，则 又，‎ 所以，令x=1，则y=，z=2．（9分）‎ 由此得平面BCE的一个法向量．‎ 则，所以二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值为．（12分）‎ ‎20.‎ ‎（1）将点A（8，﹣4）代入y2=2px，‎ 得p=1，‎ 将点P（2，t）代入y2=2x，得t=±2，‎ 因为t＜0，所以t=﹣2． （5分） ‎ ‎（2）依题意，M的坐标为（2，0），‎ 直线AM的方程为y=﹣x+，‎ 联立抛物线方程y2=2x，并解得B（，1），‎ 所以k1=﹣，k2=﹣2，‎ 代入k1+k2=2k3得，k3=﹣，‎ 从而直线PC的方程为y=﹣x+，‎ 联立直线AM：y=﹣x+，‎ 并解得C（﹣2，）．（12分）‎ ‎21.‎ ‎（1）∵函数f（x）=ax3﹣3x2+1，‎ ‎∴f'（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2）…‎ 令f'（x）=0，得x1=0或，∵a＞0，∴x1＜x2，‎ 列表如下：‎ x ‎（﹣∞，0）‎ ‎0‎ f'（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎∴f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为 …3分 ‎（2）g（x）=xf'（x）=3ax3﹣6x2，∵存在x∈[1，2]使h（x）=f（x），‎ ‎∴f（x）≥g（x）在x∈[1，2]上有解，即ax3﹣3x2+1≥3ax3﹣6x2在x∈[1，2]上有解，‎ 即不等式在x∈[1，2]上有解，…‎ 设，∵对x∈[1，2]恒成立，‎ ‎∴在x∈[1，2]上单调递减，∴当x=1时，的最大值为4，‎ ‎∴2a≤4，即a≤2 …7分 ‎（3）由（1）知，f（x）在（0，+∞）上的最小值为，‎ ‎①当，即a＞2时，f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，[]‎ ‎∴h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上无零点 …8分 ‎②当，即a=2时，f（x）min=f（1）=0，又g（1）=0，‎ ‎∴h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上有一个零点 …9分 ‎③当，即0＜a＜2时，设φ（x）=f（x）﹣g（x）=ax3﹣3x2+1﹣lnx（0＜x＜1），‎ ‎∵，∴φ（x）在（0，1）上单调递减，‎ 又，∴存在唯一的，使得φ（x0）=0．‎ Ⅰ．当0＜x≤x0时，‎ ‎∵φ（x）=f（x）﹣g（x）≥φ（x0）=0，∴h（x）=f（x）且h（x）为减函数，‎ 又h（x0）=f（x0）=g（x0）=lnx0＜ln1=0，f（0）=1＞0，∴h（x）在（0，x0）上有一个零点；…10分 Ⅱ．当x＞x0时，‎ ‎∵φ（x）=f（x）﹣g（x）＜φ（x0）=0，∴h（x）=g（x）且h（x）为增函数，‎ ‎∵g（1）=0，∴h（x）在（x0，+∞）上有一个零点；‎ 从而h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上有两个零点 …11分 综上，当0＜a＜2时，h（x）有两个零点；当a=2时，h（x）有一个零点；当a＞2时，h（x）有无零点…12分 ‎22.‎ ‎（Ⅰ）依题意有P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），‎ 因此M（cosα+cos2α，sinα+sin2α）‎ M的轨迹的参数方程为 ‎（Ⅱ）M点到坐标原点的距离 当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点 ‎23.（1）；（2）或.‎