2021高三数学人教B版一轮学案：第八章 第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系

2021高三数学人教B版一轮学案：第八章 第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系

www.ks5u.com 第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 最新考纲 考情分析 ‎1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．‎ ‎2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．‎ ‎3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.‎ ‎1.本节是高考中的重点考查内容，主要涉及直线与圆的位置关系、弦长问题、最值问题等．‎ ‎2．常与椭圆、双曲线、抛物线交汇考查，有时也与对称性等性质结合考查．‎ ‎3．题型以选择、填空为主，有时也会以解答题形式出现，属中低档题.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 知识点一　　直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，‎ 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，‎ d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.‎ 直线与圆的位置关系的常用结论 ‎(1)当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径长所表示的线段构成一个直角三角形．‎ ‎(2)弦长公式|AB|＝|xA－xB|‎ ‎＝.‎ 知识点二　　圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，‎ 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．‎ 两圆相交时公共弦的方程求法：‎ 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①‎ 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②‎ 若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.‎ ‎1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　×　)‎ ‎(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　×　)‎ ‎(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　×　)‎ ‎(4)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　√　)‎ ‎2．小题热身 ‎(1)已知直线y＝mx与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，则m值为(　D　)‎ A．±　　　B．± C．±　　　D．±1‎ 解析：将y＝mx代入x2＋y2－4x＋2＝0，得(1＋m2)x2－4x＋2＝0，因为直线与圆相切，所以Δ＝(－4)2－4(1＋m2)×2＝8(1－m2)＝0，解得m＝±1.‎ ‎(2)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　B　)‎ A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 解析：两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.∵3－24，‎ ‎∴点M在圆C外部．‎ 当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，‎ 即x－3＝0.又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．‎ 当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，‎ 即kx－y＋1－3k＝0，‎ 则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，‎ 解得k＝.‎ ‎∴切线方程为y－1＝(x－3)，‎ 即3x－4y－5＝0.‎ 综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.‎ ‎∴|MC|＝＝，‎ ‎∴过点M的圆C的切线长为＝＝1.∴x＝3时，切线长为1.‎ 方法技巧 (1)判断直线与圆的位置关系的常见方法 ‎①几何法：利用d与r的关系.‎ ‎②代数法：联立方程之后利用Δ判断.‎ ‎③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.‎ 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.‎ (2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.‎ (3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.‎ ‎1．(方向1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　A　)‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 解析：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．‎ ‎2．(方向2)(2020·昆明市教学质量检测)已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，C为圆心．若△ABC为等边三角形，则a的值为(　D　)‎ A．1 B．±1‎ C. D．± 解析：圆的方程可以化为x2＋(y－3)2＝3，圆心为C(0,3)，半径为，根据△ABC为等边三角形可知AB＝AC＝BC＝，所以圆心C(0,3)到直线y＝ax的距离d＝×＝，所以＝⇒2＝⇒a＝±.‎ ‎3．(方向2)(2020·成都市第二次诊断性检测)已知a∈R且为常数，圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点(1,2)的直线l与圆C相交于A，B两点．当∠ACB最小时，直线l的方程为2x－y＝0，则a的值为(　B　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ 解析：圆的方程配方，得(x＋1)2＋(y－a)2＝1＋a2，圆心为C(－1，a)，当弦AB长度最短时，∠ACB最小，此时圆心C与定点(1,2)的连线和直线2x－y＝0垂直，所以×2＝－1，a＝3.‎ ‎4．(方向3)若直线y＝x＋b与曲线x＝恰有一个公共点，则b的取值范围是(　D　)‎ A．(－1,1] B．{－}‎ C．{－，2} D．(－1,1]∪{－}‎ 解析：‎ 由x＝知，曲线表示半圆，如图所示，当－10)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　B　)‎ A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 解析：∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，‎ ‎∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，‎ 圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝，由几何知识得2＋()2＝a2，解得a＝2.‎ ‎∴M(0,2)，r1＝2.‎ 又圆N的圆心坐标N(1,1)，半径r2＝1，‎ ‎∴|MN|＝＝，‎ r1＋r2＝3，r1－r2＝1.‎ ‎∴r1－r2<|MN|

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