【数学】2019届一轮复习人教A版正弦定理和余弦定理学案
第七节正弦定理和余弦定理
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R，(R为△ABC外接圆半径)
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos_C
变形形式(边角转化)
a＝2Rsin A，b＝2RsinB，c＝2Rsin C；
sin A＝，sinB＝，sin C＝；
a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C
cos A＝；cosB＝；cos C＝
2．三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)；
(2)S＝bcsin A＝acsinB＝absin C；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( )
(2)在△ABC中，若sin A>sinB，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( )
(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．( )
(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsin B－asin A＝ asin C，则cosB为( )
A. B. C. D.
解析：选B ∵bsin B－asin A＝asin C，且c＝2a，∴b＝a，∴cos B＝＝＝.
3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有( )
A．无解 B．两解
C．一解 D．解的个数不确定
解析：选B ∵＝，
∴sinB＝sin A＝sin 45°＝.
又∵a
0，于是有cos B<0，B为钝角，△ABC是钝角三角形．
5．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.
解析：由正弦定理，得sin B＝＝＝，
因为0°＜B＜180°，
所以B＝45°或135°.
因为b＜c，所以B＜C，故B＝45°，
所以A＝180°－60°－45°＝75°.
答案：75°
6．在△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．
解析：由余弦定理知72＝52＋BC2－2×5×BC×cos 120°，
即49＝25＋BC2＋5BC，解得BC＝3.
故S△ABC＝AB·Bcsin B＝×5×3×＝.
答案：
[考什么·怎么考]
利用正、余弦定理解三角形是高考的重点和热点内容，主要考查利用两个定理求三角形的边的长度、角的大小等，既有灵活多变的小题，也有考查能力的大题，试题多为中低档题.
考法(一) 正弦定理解三角形
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b，A＝2B，则cos B等于( )
A. B. C. D.
解析：选C 因为a＝b，A＝2B，所以由正弦定理可得＝，所以＝，所以cos B＝.
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a>b，则B＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由正弦定理得，
sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，
所以sin Acos C＋sin Ccos A＝，
即sin(A＋C)＝，所以sin B＝.
已知a>b，所以B不是最大角，所以B＝.
3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________.
解析：因为sin B＝且B∈(0，π)，
所以B＝或B＝，
又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝，
又a＝，由正弦定理得＝，
即＝，解得b＝1.
答案：1
[题型技法] 利用正弦定理可解决两类问题
基本类型
一般解法
已知两角及其中一角的对边，如A，B，a
①由A＋B＋C＝180°，求出C；
②根据正弦定理，得＝及＝，求出边b，c
已知两边及其中一边所对的角，如a，b，A
①根据正弦定理，经讨论求B；
②求出B后，由A＋B＋C＝180°，求出C；
③再根据正弦定理＝，求出边c.
[提醒] 也可以根据余弦定理，列出以边c为元的一元二次方程c2－(2bcos A)c＋(b2－a2)＝0，根据一元二次方程的解法，求边c，然后应用正弦定理或余弦定理，求出B，C
考法(二) 余弦定理解三角形
4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cos C＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B 由题意得，b2＝ac＝2a2，
即b＝a，∴cos C＝＝＝－.
5．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为( )
A. B.
C. D．3
解析：选B 由题意得cos A＝＝＝，
∴sin A＝ ＝，
∴边AC上的高h＝ABsin A＝.
6．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝________.
解析：由2bcosB＝acos C＋ccos A及余弦定理，得
2b·＝a·＋c·，
整理得，a2＋c2－b2＝ac，
所以2accosB＝ac＞0，cosB＝.
又0＜B＜π，所以B＝.
答案：
[题型技法] 利用余弦定理可解决两类问题
已知两边和它们的夹角，如a，b，C
①根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，求出边c；
②根据cos A＝，求出A；
③根据B＝180°－(A＋C)，求出B.
求出第三边后，也可用正弦定理求角，这样往往可以使计算简便，应用正弦定理求角时，为了避开讨论(因为正弦函数在区间(0，π)上是不单调的)，应先求较小边所对的角，它必是锐角
已知三边
可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由A＋B＋C＝180°，求出第三个角；
由余弦定理求出一个角后，也可以根据正弦定理求出第二个角，但仍然是先求较小边所对的角
[怎样快解·准解]
1．避免失误准解题
(1)应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍．
(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断．
2．运用知识结论巧解题
(1)三角形的内角和定理A＋B＋C＝π，由此可得到sin A＝sin(B＋C)，cos A＝－cos(B＋C)，tan A＝－tan(B＋C)；sin＝cos，cos＝sin.
(2)内角A，B，C成等差数列⇔B＝60°，A＋C＝120°.
(3)在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.
(4)△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列，且a，b，c成等比数列．
(5)在△ABC中，A>B⇔sin A>sin B⇔cos Acos B，sin B>cos C，sin C>cos A等．
考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
利用正、余弦定理判断三角形的形状主要是考查三角形是哪类特殊的三角形，在高考中考查频率不高，一般以选择题、填空题的形式出现，难度中等.
[典题领悟]
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
解析：选C ∵＝，∴＝，∴b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC是等边三角形．
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
解析：选D 因为c－acos B＝(2a－b)cos A，
C＝π－(A＋B)，
所以由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin B·cos A，
所以sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin B＝sin A，
所以A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，
所以△ABC为等腰或直角三角形．
[解题师说]
1．判定三角形形状的2种常用途径
2．判定三角形形状的3个注意点
(1)“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；
(2)“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系；
(3)还要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．
[冲关演练]
1．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝＝，则该三角形的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
解析：选A 因为＝，由正弦定理得＝，所以sin 2A＝sin 2B.由＝，可知a≠b，所以A≠B.又A，B∈(0，π)，所以2A＝180°－2B，即A＋B＝90°，所以C＝90°，于是△ABC是直角三角形．
2．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin2 ＝，则△ABC的形状一定是________．
解析：由题意，得＝，即cos B＝，又由余弦定理，得＝，整理得a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形．
答案：直角三角形
正弦定理和余弦定理的应用比较广泛，也比较灵活，在高考中常与求三角形面积或取值范围结合进行考查.有时是求三角形面积，有时是以三角形面积作为已知条件出现，求与三角形有关的量的取值范围，此时难度较大.有关面积问题的考查，在高考中客观题和解答题均有可能考查，属于中档题.
[典题领悟]
(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.
❶
(1)求sinBsin C；
(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．
❸ ❷
[学审题]
①看到△ABC的面积为想到三角形的面积公式，即可求出sin Bsin C的值；
②看到要求△ABC的周长想到求a＋b＋c的值；
③看到cos Bcos C的值想到第(1)问已求出sin Bsin C的值，可求得A的值，借助余弦定理可求得b＋c.
解：(1)由题设得acsin B＝，
即csin B＝.
由正弦定理得sin Csin B＝.
故sin Bsin C＝.
(2)由题设及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，
即cos(B＋C)＝－.
所以B＋C＝，故A＝.
由题设得bcsin A＝，即bc＝8.
由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，
得b＋c＝.
故△ABC的周长为3＋.
[解题师说]
与三角形面积有关问题的解题模型
[冲关演练]
1．(2018·云南第一次统一检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝，a＝，sin2B＝2sin Asin C，则△ABC的面积S＝( )
A. B．3
C. D．6
解析：选B 由sin2B＝2sin Asin C及正弦定理，得b2＝2ac，①
又B＝，所以a2＋c2＝b2.②
联立①②解得a＝c＝，所以S＝××＝3.
2．(2018·安徽两校阶段性测试)如图，在△ABC中，AB＝2，cos B＝，点D在线段BC上．
(1)若∠ADC＝，求AD的长；
(2)若BD＝2DC，△ACD的面积为，求的值．
解：(1)在△ABC中，∵cos B＝，∴sin B＝.
在△ABD中，＝，
又AB＝2，∠ADB＝，sin B＝，∴AD＝.
(2)∵BD＝2DC，
∴S△ABD＝2S△ADC，S△ABC＝3S△ADC，
又S△ADC＝，∴S△ABC＝4，
∵S△ABC＝AB·Bcsin B，
即4＝×2×BC×，∴BC＝6.
∵S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，
S△ADC＝AC·ADsin∠CAD，
S△ABD＝2S△ADC，
∴＝2·，
在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，
∴AC＝4，
∴＝2·＝4.
(一)普通高中适用作业
A级——基础小题练熟练快
1．在△ABC中，若＝，则B的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选B 由正弦定理知，＝，∴sin B＝cos B，∴B＝45°.
2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
解析：选C 由正弦定理得＝，
∴sin B＝＝＝>1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
3．(2018·南昌模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2A＝sin A，bc＝2，则△ABC的面积为( )
A. B.
C．1 D．2
解析：选A 由cos 2A＝sin A，得1－2sin2A＝sin A，解得sin A＝(负值舍去)，由bc＝2，可得△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×＝.
4．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝，a＝3，S△ABC＝2，则b的值为( )
A．6 B．3
C．2 D．2或3
解析：选D 因为S△ABC＝bcsin A＝2，
所以bc＝6，
又因为sin A＝，
所以cos A＝，又a＝3，
由余弦定理得9＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.
5．在△ABC中，2acos A＋bcos C＋ccos B＝0，则角A的大小为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由余弦定理得2acos A＋b·＋c·＝0，即2acos A＋a＝0，
∴cos A＝－，A＝.
6．(2017·山东高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是( )
A．a＝2b B．b＝2a
C．A＝2B D．B＝2A
解析：选A 由题意可知sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin(A＋C)，即2sin Bcos C＝sin Acos C，又cos C≠0，故2sin B＝sin A，由正弦定理可知a＝2b.
7．在△ABC中，AB＝，A＝75°，B＝45°，则AC＝________.
解析：C＝180°－75°－45°＝60°，
由正弦定理得＝，
即＝，解得AC＝2.
答案：2
8．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，A＝，b2sin C＝4sin B，则△ABC的面积为________．
解析：因为b2sin C＝4sin B，
所以b2c＝4b，所以bc＝4，
S△ABC＝bcsin A＝×4×＝2.
答案：2
9．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________.
解析：∵3sin A＝2sin B，∴3a＝2b.
又a＝2，∴b＝3.
由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴c2＝22＋32－2×2×3×＝16，
∴c＝4.
答案：4
10．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cos A＝，c－a＝2，b＝3，则a＝________.
解析：由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bccos A⇒a2＝9＋(a＋2)2－2·3·(a＋2)·⇒a＝2.
答案：2
B级——中档题目练通抓牢
1．在△ABC中，若＝3，b2－a2＝ac，则cos B的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由题意知，c＝3a，b2－a2＝ac＝c2－2accos B，所以cos B＝＝＝.
2．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
解析：选C 法一：由余弦定理可得a＝2b·，
因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c，
从而△ABC为等腰三角形．
法二：由正弦定理可得sin A＝2sin Bcos C，
因此sin(B＋C)＝2sin Bcos C，
即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
于是sin(B－C)＝0，因此B－C＝0，即B＝C，
故△ABC为等腰三角形．
3．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B 因为sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，
所以sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0，
所以sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，整理得sin C(sin A＋cos A)＝0.因为sin C≠0，
所以sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－1，
因为A∈(0，π)，所以A＝，
由正弦定理得sin C＝＝＝，
又0＜C＜，所以C＝.
4．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sin A，sin B，sin C成等差数列，且a＝2c，则cos A＝________.
解析：因为sin A，sin B，sin C成等差数列，所以2sin B＝sin A＋sin C．由正弦定理得a＋c＝2b，又a＝2c，可得b＝c，所以cos A＝＝＝－.
答案：－
5．已知△ABC中，AC＝4，BC＝2，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，则的值为________．
解析：在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，即28＝16＋AB2－4AB，解得AB＝6(AB＝－2舍去)，则cos∠ABC＝＝，BD＝AB·cos∠
ABC＝6×＝，CD＝BC－BD＝2－＝，所以＝6.
答案：6
6．(2018·贵州适应性考试)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B＝4，bsin A＝3.
(1)求tan B及边长a的值；
(2)若△ABC的面积S＝9，求△ABC的周长．
解：(1)在△ABC中，acos B＝4，bsin A＝3，
两式相除，有＝＝tan B＝，
由sin2B＋cos2B＝1，＝，
得cos B＝，又因为acos B＝4，所以a＝5.
(2)由(1)知，sin B＝，
由S＝acsin B＝×5×c＝9，得c＝6.
由b2＝a2＋c2－2accos B＝25＋36－2×5×6×＝13，
得b＝.
故△ABC的周长为11＋.
7．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
解：(1)由已知可得tan A＝－，所以A＝.
在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos ，
即c2＋2c－24＝0.
解得c＝4(负值舍去)．
(2)由题设可得∠CAD＝，
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝－＝.
故△ABD的面积与△ACD的面积的比值为
＝1.
又△ABC的面积为×4×2×sin＝2，
所以△ABD的面积为.
C级——重难题目自主选做
(2018·昆明质检)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BD＝，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2.
(1)求AD的长；
(2)求△CBD的面积．
解：(1)由已知S△ABD＝AB·BD·sin∠ABD＝×2××sin∠ABD＝2，可得sin∠ABD＝，又∠BCD＝2∠ABD，所以∠ABD∈，所以cos∠ABD＝.
在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD，可得AD2＝5，所以AD＝.
(2)由AB⊥BC，得∠ABD＋∠CBD＝，
所以sin∠CBD＝cos∠ABD＝.
又∠BCD＝2∠ABD，
所以sin∠BCD＝2sin∠ABD·cos∠ABD＝，
∠BDC＝π－∠CBD－∠BCD＝π－－2∠ABD＝－∠ABD＝∠CBD，
所以△CBD为等腰三角形，即CB＝CD.
在△CBD中，由正弦定理＝，
得CD＝＝＝，
所以S△CBD＝CB·CD·sin∠BCD＝×××＝.
(二)重点高中适用作业
A级——保分题目巧做快做
1.在△ABC中，A＝45°，C＝105°，BC＝，则AC为( )
A.－1 B．1
C．2 D.＋1
解析：选B 因为A＝45°，C＝105°，
所以B＝180°－C－A＝30°，
由正弦定理得AC＝＝＝1.
2．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝，a＝3，S△ABC＝2，则b的值为( )
A．6 B．3
C．2 D．2或3
解析：选D 因为S△ABC＝bcsin A＝2，
所以bc＝6，又因为sin A＝，所以cos A＝，又a＝3，由余弦定理得9＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.
3．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
解析：选C 法一：由余弦定理可得a＝2b·，
因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c，
从而△ABC为等腰三角形．
法二：由正弦定理可得sin A＝2sin Bcos C，
因此sin(B＋C)＝2sin Bcos C，
即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
于是sin(B－C)＝0，因此B－C＝0，即B＝C，
故△ABC为等腰三角形．
4．(2018·合肥质检)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acos B＝2，则△ABC的外接圆面积为( )
A．4π B．8π
C．9π D．36π
解析：选C 由余弦定理得b·＋a·＝2.即＝2，整理得c＝2，由cos C＝得sin C＝，再由正弦定理可得2R＝＝6，所以△ABC的外接圆面积为πR2＝9π.
5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( )
A．3 B.
C. D．3
解析：选C ∵c2＝(a－b)2＋6，∴a2＋b2－c2＝2ab－6，
又cos C＝＝＝，∴ab＝6，
∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.
6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________.
解析：∵3sin A＝2sin B，∴3a＝2b.
又a＝2，∴b＝3.
由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴c2＝22＋32－2×2×3×＝16，
∴c＝4.
答案：4
7．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，A＝，b2sin C＝4sin B，则△ABC的面积为________．
解析：因为b2sin C＝4sin B，
所以b2c＝4b，所以bc＝4，
S△ABC＝bcsin A＝×4×＝2.
答案：2
8．已知△ABC中，AC＝4，BC＝2，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，则的值为________．
解析：在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，即28＝16＋AB2－4AB，解得AB＝6(AB＝－2，舍去)，则cos∠ABC＝＝，BD＝AB·cos∠ABC＝6×＝，CD＝BC－BD＝2－＝，所以＝6.
答案：6
9.(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.
(1)求cos B；
(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.
解：(1)由题设及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2 ，
即sin B＝4(1－cos B)，
故17cos2B－32cos B＋15＝0，
解得cos B＝或cos B＝1(舍去)．
(2)由cos B＝，得sin B＝，
故S△ABC＝acsin B＝ac.
又S△ABC＝2，则ac＝.
由余弦定理及a＋c＝6得
b2＝a2＋c2－2accos B
＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)
＝36－2××
＝4.
所以b＝2.
10．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
解：(1)由已知可得tan A＝－，所以A＝.
在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos ，
即c2＋2c－24＝0.
解得c＝4(负值舍去)．
(2)由题设可得∠CAD＝，
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝－＝.
故△ABD的面积与△ACD的面积的比值为
＝1.
又△ABC的面积为×4×2×sin＝2，
所以△ABD的面积为.
B级——拔高题目稳做准做
1.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cos C，则c等于( )
A．2 B．2
C．4 D．3
解析：选B 因为＝＝＝1，所以2cos C＝1，所以C＝60°.
因为S△ABC＝2，所以absin C＝2，所以ab＝8.
因为a＋b＝6，
所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝62－3×8＝12，所以c＝2.
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin A－sin B＝sin C,3b＝2a,2≤a2＋ac≤18，设△ABC的面积为S，p＝a－S，则p的最大值是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 在△ABC中，由sin A－sin B＝sin C结合正弦定理可得，c＝3a－3b，再根据3b＝2a,2≤a2＋ac≤18，可得a＝c,1≤a≤3，由余弦定理可得b2＝＝a2＋a2－2a·acos B⇒
cos B＝，可得sin B＝，所以S＝acsin B＝a2，故p＝a－S＝a－a2，根据二次函数的图象可得，当a＝时，p取得最大值.
3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果△ABC的面积等于8，a＝5，tan B＝－，那么＝________.
解析：∵tan B＝－，
∴sin B＝，cos B＝－，
又S△ABC＝acsin B＝2c＝8，
∴c＝4，∴b＝＝，
∴＝＝.
答案：
4.(2018·洛阳统考)在△ABC中，B＝30°，AC＝2 ，D是AB边上的一点，CD＝2，若∠ACD为锐角，△ACD的面积为4，则BC＝________.
解析：依题意得S△ACD＝CD·AC·sin∠ACD＝2·sin∠ACD＝4，解得sin∠ACD＝.
又∠ACD是锐角，因此cos ∠ACD＝.
在△ACD中，AD＝＝4.由正弦定理得，＝，
即sin A＝＝.
在△ABC中，＝，即BC＝＝4.
答案：4
5.(2018·湖北七市联考)如图，已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝120°.
(1)若c＝1，求△ABC面积的最大值；
(2)若a＝2b，求tan A.
解：(1)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos 120°＝1，
∴a2＋b2＋ab＝1≥2ab＋ab＝3ab，
当且仅当a＝b时取等号，∴ab≤，
故S△ABC＝absin C＝ab≤，
即△ABC面积的最大值为.
(2)∵a＝2b，∴由正弦定理得sin A＝2sin B，
又C＝120°，故A＋B＝60°，
∴sin A＝2sin(60°－A)＝cos A－sin A，
∴cos A＝2sin A，∴tan A＝.
6.(2018·昆明质检)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BD＝，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2.
(1)求AD的长；
(2)求△CBD的面积．
解：(1)由已知S△ABD＝AB·BD·sin∠ABD＝×2××sin∠ABD＝2，可得sin∠ABD＝，
又∠BCD＝2∠ABD，所以∠ABD∈，
所以cos∠ABD＝.
在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD，可得AD2＝5，
所以AD＝.
(2)由AB⊥BC，得∠ABD＋∠CBD＝，
所以sin∠CBD＝cos∠ABD＝.
又∠BCD＝2∠ABD，所以sin∠BCD＝2sin∠ABD·cos∠ABD＝，
∠BDC＝π－∠CBD－∠BCD＝π－－2∠ABD＝－∠ABD＝∠CBD，
所以△CBD为等腰三角形，即CB＝CD.
在△CBD中，由正弦定理＝，
得CD＝＝＝，
所以S△CBD＝CB·CD·sin∠BCD＝×××＝.
A组
1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足＝，则A＝( )
A. B.
C. D.或
解析：选B 由＝，结合正弦定理，得＝，整理得b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝，由A为三角形的内角，知A＝.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＝1，B＝，tan A＝2，则a＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由题意知，sin A＝，由＝，得＝，解得a＝.
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A＝2sin Bsin C，且BC边上的高为，则＋的最大值为( )
A．2 B.
C．2 D．4
解析：选C 由sin A＝2sin Bsin C，根据正弦定理，得a2＝2bcsin A，代入cos A＝中，得b2＋c2＝2bc(cos A＋sin A)，所以＋＝2(cos A＋sin A)＝2sinA＋，当A＝时，＋取得最大值2.
4．(2018·江西丰城中学测试)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＋
b＝，△ABC的面积为sin C，sin A＋sin B＝sin C，则C的值为________．
解析：由△ABC的面积为absin C＝sin C，得ab＝.
又a＋b＝且sin A＋sin B＝sin C，
所以a＋b＝c，c＝1，
所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝2－2×＝，
则cos C＝＝＝，故C＝.
答案：
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足b2－a2＝ac，则－的取值范围是________．
解析：由余弦定理得b2－a2＝(a2＋c2－2accos B)－(b2＋c2－2bccos A)＝a2－b2＋2c(bcos A－acos B)，即b2－a2＝c(bcos A－acos B)＝ac⇒bcos A－acos B＝a⇒sin(B－A)＝sin A⇒B＝2A.又△ABC为锐角三角形，所以
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