数学理卷·2018届云南省昆明一中高三第一次摸底测试（2017

数学理卷·2018届云南省昆明一中高三第一次摸底测试（2017

昆明第一中学2018届高中新课标高三第一次摸底测试 理科数学 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.如图，正方形内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知（其中是虚数单位），则（ ）‎ A．1 B．0 C． D． 2‎ ‎4.设函数的图象关于直线对称，则的值为（ ）‎ A．3 B．2 C. 1 D．-1‎ ‎5.二项式展开式中的常数项为（ ）‎ A．10 B．-10 C. 5 D．-5‎ ‎6.设数列的前项和为，若成等差数列，则的值是（ ）‎ A．-243 B．-242 C.-162 D．243‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，若输出的值为9，则判断框中可填入（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.设为正数，且，当时，的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.一个正方体挖去一个多面体所得的几何体的三视图如图所示，其中正视图、左视图和俯视图均为边长等于2的正方形，这个几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.已知函数（），且，当取最小值时，以下命题中假命题是（ ）‎ A．函数的图象关于直线对称 ‎ B．是函数的一个零点 ‎ C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位得到 ‎ D．函数在上是增函数 ‎11.已知抛物线的焦点为，准线为，点，线段交抛物线于点，若，则（ ）‎ A．3 B．4 C.6 D．7‎ ‎12.已知数列的前项和为，且，，则数列中的为（ ）‎ A．20480 B．49152 C. 60152 D．89150‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知向量，，，则 ．‎ ‎14.若实数满足不等式组，则的最大值为 ．‎ ‎15.已知双曲线的中心为坐标原点，点是双曲线的一个焦点，过点作渐近线的垂线，垂足为，直线交轴于点，若，则双曲线的方程为 ．‎ ‎16.体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为线段的中点，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中，分别是角的对边，且，‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎18. 如图，在直三棱柱中，，，点分别为的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎19. 某市为了解本市2万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布，现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，绘制出如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）估算该校50名学生成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）求这50名学生成绩在内的人数；‎ ‎（3）现从该校50名考生成绩在的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名（从高到低）在全市前26名的人数记为，求的分布列和数学期望.‎ 参考数据：若，则，‎ ‎20. 已知动点满足：.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设过点的直线与曲线交于两点，点关于轴的对称点为（点与点不重合），证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标.‎ ‎21. 已知函数，，（其中，为自然对数的底数，……）.‎ ‎（1）令，若对任意的恒成立，求实数的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 极坐标系中，为极点，半径为2的圆的圆心坐标为.‎ ‎（1）求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）设直角坐标系的原点与极点重合，轴非负关轴与极轴重合，直线的参数方程为（为参数），由直线上的点向圆引切线，求线线长的最小值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式解集非空，求实数的取值范围.‎ 昆明一中全国联考第一期参考答案 参考答案（理科数学）‎ 命题、审题组教师 杨昆华 李文清 孙思应 梁云虹 王在方 卢碧如 凹婷波 吕文芬 陈泳序 一、选择题 ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C C A B B A C D C B B 1. 解析：集合，，所以，选B.‎ 2. ‎ 解析：设正方形边长为，则圆半径为1.此时正方形面积为.图中黑色部分面积为.则此点取自黑色部分的概率为，选C.‎ 3. 解析：因为，所以，选C.‎ 4. 解析： 所以 ，选A.‎ 5. 解析：通项，令，所以，所以常数项为，选B.‎ 6. 解析：据题意得，当时，，所以；当时，，即，即，所以数列是首项，公比的等比数列，所以，选B.‎ 7. 解析：模拟执行如图所示的程序框图知，该程序的功能是计算，选A.‎ 8. 解析：可令，则，，由得，选 C.‎ 1. 解析：将三视图还原可得下图，所以，选D.‎ 2. 解析：，由得，即，由知的最小值是2，当取得最小值时，.由可得出：函数的图象关于直线对称，A为真；‎ 由可得出：是函数的一个零点，B为真；‎ 将函数的图象向左平移个单位得到的图象，所以C为假；‎ 由复合函数单调性可得在上是增函数，所以D为真，选C.‎ 3. 解析：由已知为的三等分点，作于（如图），则，所以，所以，选B.‎ 1. 解析：由有，解得，故，又 ，于是，因此数列是以为首项，公比为的等比数列.得，于是，因此数列是以为首项，为公差的等差数列，解得，.所以，选B.‎ 二、填空题 2. 解析：因为，所以 ，即，所以 所以.‎ 3. 解析：如图，在点处取得最大值.‎ 4. 解析：设双曲线的方程为：，由已知得：，所以，而，所以，，所以双曲线的方程：‎ 5. 设，则，因为体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为 的球的球面上，所以，得.由，得或（舍），所以.由题意知点为线段的中点，从而在△中，，，解得.所以当截面垂直于时，截面圆的半径为，故截面圆面积最小值为.‎ 三、解答题 1. 解：（Ⅰ）由得出：， ‎ 由及正弦定理可得出：，所以， ‎ 再由知，所以为锐角，， ‎ 所以 ‎ ‎（Ⅱ）由及可得出，‎ 所以. ‎ 2. 解：（Ⅰ）证明：连接，，点，分别为， 的中点，所以为△的一条中位线，，‎ 平面，平面， ‎ 所以平面. ‎ ‎（Ⅱ）设，则，， ，‎ 由，得，解得，‎ 由题意以点为坐标原点，为轴，为轴，‎ 为轴建立空间直角坐标系.‎ 可得，，，，‎ 故，， ， ，‎ 设为平面的一个法向量，则 ‎，得，同理可得平面的一个法向量为，‎ 设二面角的平面角为，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，二面角的余弦值为. ‎ ‎ ‎ 1. 解：（Ⅰ） ‎ ‎（Ⅱ）. ‎ ‎（Ⅲ），则.‎ ‎.‎ 所以该市前名的学生听写考试成绩在分以上.‎ 上述名考生成绩中分以上的有人.‎ 随机变量.于是 ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 的分布列：‎ 数学期望. ‎ 1. 解：（Ⅰ）由已知，动点到点，的距离之和为，‎ 且，所以动点的轨迹为椭圆，而，，所以，‎ 所以，动点的轨迹的方程：. ‎ ‎（Ⅱ）设，，则，由已知得直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为：‎ 由　得，‎ 所以，， ‎ 直线的方程为：，所以，‎ 令，则，‎ 所以直线与轴交于定点.　　　　　　　　　　 ‎ 2. 解：（Ⅰ）因为 所以，‎ 由对任意的恒成立，即，‎ 由，‎ ‎（1）当时，，的单调递增区间为，‎ 所以时，，‎ 所以不满足题意.‎ ‎（2）当时，由，得 时， ，时，，‎ 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 所以的最小值为 . ‎ 设，所以，① ‎ 因为 令得，‎ 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，‎ 所以，②‎ 由①②得，则. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，‎ 令（，）则，‎ 所以，‎ 所以 ‎，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以的最小值为. ‎ 第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ 1. 解：（Ⅰ）设是圆上任意一点，‎ 如图，连接，并延长与圆交于点，‎ 当点异于，时，连接、，‎ 直角△中，，‎ 即，‎ 当点与，重合时，也满足上式，所求圆的极坐标方程为. ‎ ‎（Ⅱ）直线的普通方程为，圆心到直线的距离为，‎ ‎，所以直线与圆相离，‎ 故切线长的最小值为. ‎ 1. 解：（Ⅰ）由可化为：‎ 或或 解得：或或，所以，不等式解集为. ‎ ‎（Ⅱ）因为 所以，即的最小值为，‎ 要不等式解集非空，需，‎ 从而，解得或，‎ 所以的取值范围为. ‎