数学（理）卷·2019届内蒙古赤峰二中高二上学期第三次（12月）月考（2017-12）

数学（理）卷·2019届内蒙古赤峰二中高二上学期第三次（12月）月考（2017-12）

赤峰二中 2016 级高二上学期第三次月考 理科数学试题 一、选择题（每题5分共60分） 1 复数 的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 2 若 ， ，则 是 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3 若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）． A. B. C. D. 4 设函数 在 上可导，其导函数为 ，如图是函数 的 图象，则 的极值点是( ) A. 极大值点 ，极小值点 B. 极小值点 ，极大值点 C. 极值点只有 D. 极值点只有 5 如图是一个几何体的三视图（尺寸的长度单位为 ），则它的体积是（ ） . A. B. C. D. 6 若函数 在区间 单调递增，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. i i 21 2 − + i5 3− i− i i5 3 : 1p x > 1: 1q x < p q 2 2 2 2 1x y a b − = 3 2y x= ± 2y x= ± 1 2y x= ± 2 2y x= ± ( )f x R ( )'f x )(xfx ′ ( )f x 2x = − 0x = 2x = − 0x = 2x = − 0x = cm 3cm 1 1 侧视图正视图 3 2 3 3 3 18 2 3 18+ 3 ( ) 21 2 xf x ke x= − ( )0,+∞ k 1 ,e  +∞   ( )0,+∞ 1 ,e  +∞  [ )0,+∞ 7 已知点 是双曲线 （ ， ）右支上一点， 是右焦点，若 （ 是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率 为（ ） A. B. C. D. 8 如图，过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于点 ，交其准线 于点 ， 若点 是 的中点，且 ，则线段 的长为（ ） A. B. C. D. 9 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 ，且用料最省，则圆柱的底面半径为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10 已知定义在 上的可导函数 的导函数为 ，满足 ，且 ， 则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 11 若函数 在区间 内有极小值，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12 已知函数 ，关于 的不等式 只有两个整数解，则实 数 的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（每题 5 分，共 20 分） 13 函数 的单调减区间为___________________． 14 曲线 与直线 所围成图形的面积 . A 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > F AOF∆ O e 2 3 1 2+ 1 3+ 2 2 ( 0)y px p= > F A B、 l C F AC 4AF = AB 5 6 16 3 20 3 64π R ( )f x ( )'f x ( ) ( )'f x f x< ( )0 2f = ( ) 2 0xf x e− < ( ),0−∞ ( )0,+∞ ( )2,− +∞ ( ),2−∞ ( ) ( )2 1 2 2ln2 axf x a x x= + − − 1 ,12      a 1, e  −∞ −   ( ), 1−∞ − ( )2, 1− − ( ), 2−∞ − ( ) ( )ln 2xf x x = x ( ) ( )2 0f x af x+ > a 1 ,ln23      1ln2, ln63  − −   1ln2, ln63  − −   1 ln6,ln23  −   xxxf ln)( −= xy 42 = 42 −= xy 15 设曲线 在点(0,1)处的切线与曲线 上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标 为________． 16 已知函数 有两个零点，则 的取值范围是__________ 三、简答题 17（本题 10 分）已知等差数列 满足： ， 的前 项和为 （1）求 及 （2）令 ,求 的前 项和 18（本题 12 分）在 中，内角 A,B,C 的对边分别为 ，已知 （1）求 （2）若 ，求 的面积 19（本题 12 分）如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且 FA=FC． （1）求证：AC⊥平面 BDEF； （2）求二面角 A﹣FC﹣B 的余弦值． 20(本小题满分 12 分)若函数 在 x＝1 处取得极值． (1)求 的值； (2)求函数 的单调区间及极值． 21 已知椭圆 上点 P 到左右焦点 的距离之和为 ，离心率为 xey = )0(1 >= xxy ( ) 2 lnf x x a x= − a { }na 26,7 753 =+= aaa { }na n nS na nS )(1 1 2 +∈−= Nnab n n { }nb n nT ABC∆ cba ,, b ac B CA −=− 2 cos cos2cos A C sin sin 2,4 1cos == bB ABC∆ S xxaxxf ln3 42)( 2 −+= a )(xf )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x 21, FF 22 （1）求椭圆方程 （2）过右焦点 的直线 交椭圆于 A,B 两点 ①若 轴上一点 M 满足 ，求直线 斜率 的值 ② 为坐标原点，是否存在这样的直线 ，使 的面积最大值是 ？，若存在求出直 线 的方程，不存在说明原因理由 22 已知函数 ． （Ⅰ）若关于 的不等式 在 上恒成立，求 的取值范围； （Ⅱ）设函数 ，在（Ⅰ）的条件下，试判断 在 上是否存在极 值．若存在，判断极值的正负；若不存在，请说明理由． 2 2 2F l y )3 1,0( MBMA = l k O l ABOS∆ 2 2 l ( ) 1 1,af x nx a Rx = + − ∈ x ( ) 1f x x> − + [ )1,+∞ a ( ) ( )f xg x x = ( )g x 21,e   高二三模理数参考答案 选择题 BABCA CDCBB CC 填空题 13（0,1） 14 9 15 （1,1） 16 简答题 17 所以数列 的前 项和 = 。 18 （ Ⅰ ） 由 正 弦 定 理 得 所 以 ),2( +∞e { }nb n nT 4( 1) n n + 2 sin ,a R A= 2 sin ,b R B= 2 sin ,c R C= = , 即 , 即 有 , 即 ,所以 =2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知: =2,即 c=2a,又因为 ,所以由余弦定理得： ，即 ,解得 ,所以 c=2,又因为 cosB= ，所以 sinB= ，故 的面积为 = . 19Ⅰ）证明：设 AC 与 BD 相交于点 O， 连接 FO．因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC⊥BD，且 O 为 AC 中点． 又 FA=FC，所以 AC⊥FO． 因为 FO∩BD=O， 所以 AC⊥平面 BDEF． （Ⅱ）解：因为四边形 BDEF 为菱形，且∠DBF=60°， 所以△DBF 为等边三角形． 因为 O 为 BD 中点，所以 FO⊥BD，故 FO⊥平面 ABCD． 由 OA，OB，OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz． …（9 分） 设 AB=2．因为四边形 ABCD 为菱形，∠DAB=60°， 则 BD=2 ， 所 以 OB=1 ， ． 所 以 ． 所以 ， ． 设平面 BFC 的法向量为 =（x，y，z）， 则有 ， 取 x=1，得 ． ∵平面 AFC 的法向量为 =（0，1，0）． 由二面角 A﹣FC﹣B 是锐角，得|cos＜ ， ＞|= = ． 所以二面角 A﹣FC﹣B 的余弦值为 ． cosA-2cosC 2c-a=cosB b 2sin sin sin C A B − sin cos 2sin cos 2sin cos sin cosB A B C C B A B− = − sin( ) 2sin( )A B B C+ = + sin 2sinC A= sin sin C A sin sin c C a A = 2b = 2 2 2 2 cosb c a ac B= + − 2 2 2 12 4 2 2 4a a a a= + − × × 1a = 1 4 15 4 ABC∆ 1 1sin 1 22 2ac B = × × × 15 4 15 4 20 解：(1)f′(x)＝2ax＋2－ 4 3x， 由 f′(1)＝2a＋2 3＝0，得 a＝－1 3. (2)f(x)＝－1 3x2＋2x－4 3ln x(x＞0)． f′(x)＝－2 3x＋2－ 4 3x＝ －2(x－1)(x－2) 3x . 由 f′(x)＝0，得 x＝1 或 x＝2. ①当 f′(x)＞0 时，1＜x＜2； ②当 f′(x)＜0 时，0＜x＜1 或 x＞2. 当 x 变化时 f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)  5 3  8 3－4 3ln 2  因此 f(x)的单调递增区间是(1,2)，单调递减区间是(0,1)，(2，＋∞)． 函数的极小值为 f(1)＝5 3，极大值为 f(2)＝8 3－4 3ln 2. 21 解： 所以椭圆方程为 （2）①设直线方程 ， 得 所以 AB 中点 G 的坐标 2,222)1( 21 =∴==+ aaPFPF 1,1,2 2 ==∴= bce 12 2 2 =+ yx )1( −= xky ),(),,( 2211 yxByxA    =+ −= 12 )1( 2 2 yx xky 0224)12( 2222 =−+−+ kxkxk 12 22,12 4 2 2 212 2 21 + −=+=+ k kxxk kxx 12 2 221 + −=+ k kyy )12,12 2( 22 2 + − + k k k k 当 解得 当 时，满足题意 综上 k 的取值为 ②当斜率不存在时， 当斜率存在时， 综上：当方程为 时，三角形 ABO 的面积最大，最大值是 满足题意的直线存在，方程为 22 解：（Ⅰ）由 ，得 ． 即 在 上恒成立． 设函数 ， ． 则 ． ∵ ，∴ ． ∴当 时， ． ∴ 在 上单调递减． ∴当 时， ． ∴ ，即 的取值范围是 ． （Ⅱ） ， ． ∴ ． 设 ，则 ． 由 ，得 ． k k k k k k 1 12 2 3 1 120 2 2 2 −= + −+ − ≠ 时， 2 11或=k 0=k 2 1,1,0 2 2212 1,2 =××== ∆ABOSAB 所以 22 22 2 2 2 221 )2 1(4 )1(212 224)12 4(22 1 + +=+ −−+=−=∆ k kk k k k kkyyS ABO 2 2< 1=x 2 2 1=x ( ) 1f x x> − + 1 1 1anx xx + − > − + 21 2a x nx x x> − − + [ )1,+∞ ( ) 21 2m x x nx x x= − − + 1x ≥ ( )' 1 2 1m x x nx x= − − + [ )1,x∈ +∞ 1 0, 2 1 0nx x− ≤ − + < [ )1,x∈ +∞ ( )' 1 2 1 0m x nx x= − − + < ( )m x [ )1,+∞ [ )1,x∈ +∞ ( ) ( ) ( )max 1 1m x m x m≤ = = 1a > a ( )1,+∞ ( ) 2 1 1nx ag x x x x = − + 21,x e ∈  ( ) 2 2 3 3 1 1 1 2 2 1 2' nx a x x nx ag x x x x x − − −= + − = ( ) 2 1 2h x x x nx a= − − ( ) ( )' 2 1 1 1 1h x nx nx= − + = − ( )' 0h x = x e= 当 时， ；当 时， ． ∴ 在 上单调递增，在 上单调递减． 且 ， ， ． 据（Ⅰ），可知 ． （ⅰ）当 ，即 时， 即 ． ∴ 在 上单调递减． ∴当 时， 在 上不存在极值． （ⅱ）当 ，即 时， 则必定 ，使得 ，且 ． 当 变化时， ， ， 的变化情况如下表： - 0 + 0 - - 0 + 0 - ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ ∴当 时， 在 上的极值为 ，且 ． ∵ ． 设 ，其中 ， ． ∵ ，∴ 在 上单调递增， ，当且仅当 时取等号． ∵ ，∴ ． 1 x e≤ < ( )' 0h x > 2e x e< ≤ ( )' 0h x < ( )h x [ )1,e ( 2,e e  ( )1 2 2h a= − ( ) 2h e e a= − ( )2 2h e a= − ( ) ( )2 1 0h e h< < ( ) 2 0h e e a= − ≤ 2 ea ≥ ( ) 0h x ≤ ( )' 0g x ≤ ( )g x 21,e   2 ea ≥ ( )g x 21,e   ( ) 0h e > 1 2 ea< < 2 1 2, 1,x x e ∃ ∈  ( ) ( )1 2 0h x h x= = 2 1 21 x e x e< < < < x ( )h x ( )'g x ( )g x x ( )11, x 1x ( )1 2,x x 2x ( )2 2 ,x e ( )h x ( )'g x ( )g x 1 2 ea< < ( )g x 21,e   ( ) ( )1 2,g x g x ( ) ( )1 2g x g x< ( ) 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 11nx x nx x aag x x x x x − += + − = ( ) 1x x nx x aϕ = − + 1 2 ea< < 1 x e≤ < ( )' 1 0x nxϕ = > ( )xϕ ( )1,e ( ) ( )1 1 0x aϕ ϕ≥ = − > 1x = 11 x e< < ( )1 0g x > ∴当 时， 在 上的极值 ． 综上所述：当 时， 在 上不存在极值；当 时， 在 上存在极值，且极值均为正． 1 2 ea< < ( )g x 21,e   ( ) ( )2 1 0g x g x> > 2 ea ≥ ( )g x 21,e   1 2 ea< < ( )g x 21,e  