数学理卷·2019届北京师大附中上学期高二年级期末考试（2018-01）

数学理卷·2019届北京师大附中上学期高二年级期末考试（2018-01）

北京师大附中2017-2018学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）‎ 说明：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.‎ ‎2.请将答案填写在答题纸上，考试结束后，请监考人员只将答题纸收回.‎ 一、选择题（每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的—项，请将答案填在答题纸上）‎ ‎1.已知命题，，则¬p是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎2.已知向量a=(l,m,2)，b=(-2,-l,2)，且那么实数m=（ ）‎ A.-4 B.4 C. D. ‎ ‎3.如果命题“p或q”是真命题，“非p”是假命题，那么（ ）‎ A.命题p一定是假命题 B.命题q一定是假命题 C.命题q一定是真命题 D.命题q是真命题或者是假命题 ‎4.已知直线l1:ax+(a+1)y+1=0，l2:x+ay+2=0，则“a=-2”是“l1⊥l2”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6.已知点A(6,0)，抛物线C:y2=4x的焦点为F，点P在抛物线C上，若点F恰好在PA的垂直平分线上，则PA的长度为（ ）‎ A. B. C.5 D.6‎ ‎7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1，下列结论不正确的是（ ）‎ ‎ ‎ A.C1D1⊥B1C B.BD1⊥AC C.BD1∥B1C D.∠ACB1=60°‎ ‎8.已知点A(-l,-l).若曲线G上存在两点B，C，使△ABC为正三角形，则称G为Γ型曲线.给定下列四条曲线：‎ ‎①y=-x+3(0≤x≤3)； ②；‎ ‎③； ④. ‎ 其中，Γ型曲线的个数是（ ）‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎ ‎ 二、填空题（每小题5分，共30分，请将答案填在答题纸上）‎ ‎9.已知，其中i为虚数单位，a∈R，则a=________.‎ ‎10.若点P(2,2)为抛物线y2=2px上一点，则抛物线焦点坐标为________；点P到抛物线的准线的距离为________.‎ ‎11.已知点F，B分别为双曲线(a>0,b>0)的焦点和虚轴端点，若线段FB的中点在双曲线C上，则双曲线C的离心率是________.‎ ‎12.如图，在三棱锥A-BCD中，，BD=2，平面ABD⊥平面BCD，O为BD中点，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且AP=CQ，则三棱锥P-QCO体积的最大值为________.‎ ‎ ‎ ‎13.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(1,0,2)，B(0,2,1).点C，D分别在x轴，y轴上，且AD⊥BC，那么的最小值是________.‎ ‎14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-ax+a，其中a∈R.‎ ‎①f(-1)=________；‎ ‎②若f(x)的值域是R，则a的取值范围是________.‎ ‎ ‎ 三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15.（本小题13分）已知圆C经过坐标原点O和点(4,0)，且圆心在x轴上.‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l经过点(1,2)，且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程.‎ ‎16.（本小题13分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，，，AB=2，点D在棱B1C1上，且B1C1=4B1D.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）求BD⊥A1C；‎ ‎（Ⅱ）求：直线BD与平面A1BC的夹角的正弦值.‎ ‎17.（本小题13分）已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是，O为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若过点A(2,0)的直线l与抛物线相交于B，C两点，求证：∠BOC为定值.‎ ‎18.（本小题14分）如图，在四棱锥E-ABCD中，平面ABE⊥底面ABCD，侧面AEB为等腰直角三角形，，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC=2.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）求证：BC⊥平面ABE；‎ ‎（Ⅱ）求：平面DEC与平面ABE所成的锐二面角的大小；‎ ‎（Ⅲ）在线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出值；若不存在，说明理由.‎ ‎19.（本小题14分）已知椭圆(a>b>0)的右顶点为A(2,0)，离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若经过点(1,0)直线l与椭圆C交于点E、F，且，求直线l的方程；‎ ‎（Ⅲ）过定点M(0,2)的直线l1与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）.设直线l1的斜率k>0，在x轴上是否存在点P(m,0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形.如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由.‎ ‎20.（本小题13分）若数列A：a1，a2，…，an(n≥3)中ai∈N(1≤i≤n)且对任意的2≤k≤n-1，ak+1+ak-1>2ak恒成立，则称数列A为“U-数列”.‎ ‎（Ⅰ）若数列1，x，y，7为“U-数列”，写出所有可能的x，y；‎ ‎（Ⅱ）对所有可能的“U-数列”A:a1,a2,a3,a4,记M=max{a1,a2,a3,a4}，其中max{x1,x3,…,xs}表示；x1,x2,…,xs这s个数中最大的数，则M的最小值是________________（直接写出答案）；‎ ‎（Ⅲ）若“U-数列”A:a1,a2,…,an中，a1=1，an=2017，求n的最大值.‎ 参考答案 一、选择题（每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的—项，请将答案填在答题纸上）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ C D D A B B C B 二、填空题（每小题5分，共30分，请将答案填在答题纸上）‎ ‎9.1； 10. ，； 11. ‎ ‎12. ；13. ； 14.（1）-1（2）(-∞,0]∪[4,+∞)；‎ 三.解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步驟）‎ ‎15.（本小题13分）‎ ‎（Ⅰ）圆C的方程为(x-2)2+y2=4.‎ ‎（Ⅱ）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，‎ 所以直线x=1符合题意.‎ 另，设直线l方程为y-2=k(x-1)，即kx-y-k+2=0，‎ 则，‎ 解得，‎ 所以直线l的方程为，即3x+4y-11=0.‎ 综上，直线l的方程为x-1=0或3x+4y-11=0.‎ ‎16.（本小题13分）可以用坐标运算证明；（Ⅱ）.‎ ‎17.（本小题13分）（Ⅰ）y2=2x；‎ ‎（Ⅱ）∠BOC=90°.‎ ‎18.（本小题14分）‎ ‎（Ⅰ）略；（Ⅱ）45°；（Ⅲ）‎ ‎19.（本小题14分）（Ⅰ）由A(2,0)得a=2.又因为，所以c=1.‎ 所以b2=a2-c2=3，所以椭圆C的方程为.‎ ‎（Ⅱ）直线l的方程是.‎ ‎（Ⅲ）由题意，设l1的方程为y=kx+2(k>0)，‎ 由，得(3+4k2)x2+16kx+4=0.‎ 设G(x1,y1)，H(x2,y2)，则.‎ 可知GH的中点，由垂直可得 解得.即.‎ 由判别式知，所以.‎ 故存在满足题意的点且m的取值范围是.‎ ‎20.（本小题13分）‎ ‎（Ⅰ），或 ‎（Ⅱ）2；‎ ‎（Ⅲ）n的最大值为65，理由如下 一方面，注意到：‎ 对任意的1≤i≤n-1，令bi=ai+1-ai，则bi∈Z且bk>bk-1(2≤k≤n-1)‎ 故bk≥bk-1+1对任意的2≤k≤n-1恒成立. （★）‎ 当a1=1，an=2017时，注意到b1=a2-a1≥1-1=0，得 bi=(bi-bi-l)+(bi-l-bi-2)+…+(b2-b1)+bl≥i-1(2≤i≤n-l)‎ 此时 即，解得：-62≤n≤65，故n≤65‎ 另一方面，取bi=i-1(1≤i≤64)，则对任意的2≤k≤64，bk>bk-1，故数列{an}为“U-数列”，此时a65=1+0+1+2+…+63=2017，即n=65符合题意.‎ 综上，n的最大值为65.‎