2019-2020学年辽宁省六校协作体高二上学期10月月考数学试题（解析版）

2019-2020学年辽宁省六校协作体高二上学期10月月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年辽宁省六校协作体高二上学期10月月考数学试题 一、单选题 ‎1．直线经过点和，则直线的倾斜角为（　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】算出直线的斜率后可得其倾斜角.‎ ‎【详解】‎ 设直线的斜率为，且倾斜角为，则，‎ 根据，而，故，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线倾斜角的计算，属于基础题.‎ ‎2．已知，则动点的轨迹是（　）‎ A．一条射线 B．双曲线右支 C．双曲线 D．双曲线左支 ‎【答案】A ‎【解析】根据可得动点的轨迹.‎ ‎【详解】‎ 因为，故动点的轨迹是一条射线，‎ 其方程为：，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 利用圆锥曲线的定义判断动点的轨迹时，要注意定义中规定的条件，如双曲线的定义中，要求动点到两个定点的距离的差的绝对值为常数且小于两个定点之间的距离并且两个定点及动点是在同一个平面中.‎ ‎3．焦点坐标为，长轴长为10，则此椭圆的标准方程为（　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据长轴长算出后可得的值，从而可得椭圆的标准方程.‎ ‎【详解】‎ 因为长轴长为，故长半轴长，因为半焦距，故，‎ 又焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为 ，故选C ‎【点睛】‎ 求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.注意焦点的位置与标准方程形式上的对应.‎ ‎4．直线，若，则a的值为（ ）‎ A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣2‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由，解得a=-3或a=2，当a=-3时，直线：-3x+3y+1=0，直线：2x-2y+1=0，平行；当a=2时，直线：2x+3y+1=0，直线：2x+3y+1=0，重合 所以两直线平行，a=-3‎ ‎【考点】本题考查两直线的位置关系 点评：解决本题的关键是掌握两直线平行或重合的充要条件为 ‎5．已知圆：与圆：外切则圆与圆的周长之和为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由两圆外切，再计算两圆的周长之和．‎ ‎【详解】‎ 圆：与圆：外切，‎ 则，‎ 圆与圆的周长之和为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两圆外切与周长的计算问题，是基础题．‎ ‎6．已知圆关于对称，则的值为　　‎ A． B．1 C． D．0‎ ‎【答案】A ‎【解析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标，代入求得，验证可得答案．‎ ‎【详解】‎ 化圆为．‎ 则圆心坐标为，‎ 圆关于对称，‎ 所以直线经过圆心，‎ ‎，得．‎ 当时，，不合题意，‎ ‎．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆的一般方程与标准方程的互化以及圆的几何性质的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎7．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎【答案】C ‎【解析】求出点关于轴的对称点，再求出过且与已知圆相切的直线的斜率即为反射光线所在直线的斜率.‎ ‎【详解】‎ 点关于轴的对称点的坐标为，‎ 圆的圆心为，半径为.‎ 设过且与已知圆相切的直线的斜率为，‎ 则切线方程为即，‎ 所以圆心到切线的距离为，‎ 解得或，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 解析几何中光线的入射与反射，常转为点关于直线的对称点来考虑，此类问题属于基础题.‎ ‎8．已知椭圆+=1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|=2，则的面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用椭圆的定义，求得|PF1|＝3，|PF2|＝1，且|F1F2|＝2，则△PF2F1是直角三角形，即可求得△PF1F2的面积．‎ ‎【详解】‎ 由椭圆的方程可知a=2，c=，且|PF1|+|PF2|=2a=4，‎ 又|PF1|－|PF2|=2，所以|PF1|=3，|PF2|=1．‎ 又|F1F2|=2c=，所以有|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，即为直角三角形，‎ 所以．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的定义，判断出△PF2F1是直角三角形是解本题的关键，属于基础题.‎ ‎9．直线是圆在处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于（ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用点到直线的距离公式求出圆心（2，0）到直线l的距离d和半径，则d减去半径即为所求．‎ ‎【详解】‎ 圆在处的切线的斜率为-=，所以切线方程为y-1=(x+),‎ 方程为：，圆的圆心到直线的距离为，所以点到直线的距离最小值等于，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．‎ ‎10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，是双曲线上在第一象限内的点，直线、分别交双曲线左、右支于另一点、，，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用定义求出，，根据双曲线的对称性可得为平行四边形，从而得出，在内使用余弦定理可得出与的等量关系，从而得出双曲线的离心率.‎ ‎【详解】‎ 由题意，，，，.‎ 连接、，根据双曲线的对称性可得为平行四边形，‎ ‎，，‎ 由余弦定理可得，，，‎ 故选：B.‎ ‎【点晴】‎ 本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值.‎ 二、多选题 ‎11．若方程所表示的曲线为,则下面四个命题中错误的是（ ）‎ A．若为椭圆,则 B．若为双曲线,则或 C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则 ‎【答案】AD ‎【解析】就的不同取值范围分类讨论可得曲线表示的可能的类型.‎ ‎【详解】‎ 若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；‎ 若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；‎ 若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；‎ 若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；‎ 若，方程即为，它表示圆，‎ 综上，选AD.‎ ‎【点睛】‎ 一般地，方程为双曲线方程等价于，若，则焦点在轴上，若，则焦点在轴上；方程为椭圆方程等价于且，若，焦点在轴上，若，则焦点在轴上；若，则方程为圆的方程.‎ ‎12．已知双曲线的离心率为，右顶点为，以为圆心，‎ 为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则有（ ）‎ A．渐近线方程为 B．渐近线方程为 C． D．‎ ‎【答案】BC ‎【解析】由离心率公式化简可得渐近线方程，通过求圆心A到渐近线的距离结合直角三角形可得到的值.‎ ‎【详解】‎ 双曲线离心率为 故渐近线方程为，‎ 取MN的中点P,连接AP,利用点到直线的距离公式可得,‎ 则，‎ 所以则 故选：BC ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的简单的几何性质，考查双曲线的渐近线和离心率的应用，考查圆的有关性质，属于中档题.‎ ‎13．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为 ‎，椭圆的上顶点为，且，双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点，若，则正确的是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】BD ‎【解析】对于椭圆，可利用焦点三角形为等腰直角三角形可得其离心率，对于双曲线，可利用焦点三角形的边角关系结合余弦定理求出其离心率，从而得到正确的选项.‎ ‎【详解】‎ 因为且，故三角形为等腰直角三角形，‎ 设椭圆的半焦距为，则，所以.‎ 在焦点三角形中，设，，双曲线的实半轴长为，‎ 则 ，故 ，从而，‎ 所以即，故，‎ 故选BD.‎ ‎【点睛】‎ 对于椭圆（双曲线）的焦点三角形，因其一边为焦距，另两边的和（或差）是长轴长（实轴长），故可利用余弦定理和正弦定理处理焦点三角形中的边角关系.‎ 三、填空题 ‎14．直线过定点_____；过此定点倾斜角为的直线方程为_____．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】把直线方程整理为后可得所求定点及过此点且倾斜角为的直线方程.‎ ‎【详解】‎ 直线方程可整理为，‎ 故直线过定点，过此点且倾斜角为的直线方程为.‎ 故分别填，.‎ ‎【点睛】‎ 一般地，如果直线相交于点，那么动直线必过定点.‎ ‎15．在平面直角坐标系中 ，是动点，且直线与的斜率之积等于，动点的轨迹方程为___________；直线与轨迹的公共点的个数为_____.‎ ‎【答案】 0 ‎ ‎【解析】设，求出直线与的斜率后可得动点的轨迹方程，注意，故可得直线与轨迹的公共点的个数.‎ ‎【详解】‎ 设，则，‎ 故，整理得到，其中，‎ 故动点的轨迹方程为.‎ 又直线与轨迹的公共点的个数为.‎ 故分别填，.‎ ‎【点睛】‎ 对于椭圆，如果 为椭圆上的定点且关于原点对称，那么对于椭圆上的动点，当直线与的斜率都存在的时候，那么总成立.‎ ‎16．已知双曲线的中心在原点，虚轴长为6，且以椭圆的焦点为顶点，则双曲线的方程为_____；双曲线的焦点到渐近线的距离为_____.‎ ‎【答案】 3 ‎ ‎【解析】求出椭圆的半焦距后结合虚轴长可得双曲线的方程以及焦点到渐近线的距离.‎ ‎【详解】‎ 因为椭圆的半焦距为，故双曲线的实半轴长为，‎ 而其虚半轴长为，故双曲线的方程为.‎ 双曲线的渐近线方程为：，焦点坐标为，‎ 所以焦点到渐近线的距离为，故分别填，.‎ ‎【点睛】‎ 求圆锥曲线标准方程，一般有定义法和待定系数法，前者可根据定义求出基本量的大小，后者可根据条件得到关于基本量的方程组，解这个方程组可得基本量，本题已知一个基本量，只需求出另一个基本量即可，此类问题为基础题.‎ ‎17．在平面直角坐标系中 ，已知椭圆，点是椭圆内一点，，若椭圆上存在一点，使得，则的范围是______；当取得最大值时，椭圆的离心率为_______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】先根据在椭圆内部得到的取值范围，再求出的取值范围，根据得到关于的不等式组，两者结合可求的取值范围，当取得最大值时，可根据公式计算其离心率.‎ ‎【详解】‎ 因为点是椭圆内一点，故，‎ 由可得. ‎ 为椭圆的下焦点，设椭圆的上焦点为，则，‎ 而，当且仅当三点共线时等号成立，‎ 故，所以，‎ 所以，故.‎ 的最大值为，此时椭圆方程为，故其离心率为，‎ 故分别填：，.‎ ‎【点睛】‎ 点与椭圆的位置关系可通过与的大小关系来判断，若，则在椭圆的内部；若，则在椭圆上；若，则在椭圆的外部．椭圆中与一个焦点有关的线段和、差的最值问题，可以利用定义转化到另一个焦点来考虑．‎ 四、解答题 ‎18．已知直线经过直线与直线的交点 ‎（1）若直线平行于直线，求直线的方程；‎ ‎（2）若直线垂直于直线，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】两直线联立可求得交点坐标；（1）根据平行关系可设直线为，代入交点坐标即可求得结果；（2）根据垂直关系可设直线为，代入交点坐标可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由解得点坐标为：‎ ‎（1）由于所求直线与直线平行 可设所求直线的方程为 将点的坐标代入得：，解得：‎ 所求直线的方程为：‎ ‎（2）由于所求直线与直线垂直 可设所求直线的方程为：‎ 将点的坐标代入得：，解得：‎ 所求直线的方程为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交点坐标求解、根据直线的位置关系求解直线方程的问题，关键是明确平行或垂直时的直线系方程的形式.‎ ‎19．在中，内角，，所对的边分别为，，.已知，，.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由于，计算出再通过正弦定理即得答案；‎ ‎（Ⅱ）可先求出，然后利用和差公式即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）解：，且，∴，‎ 又，‎ ‎∴，‎ 由正弦定理,得，‎ ‎∴的值为.‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，，‎ ‎∴,‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角恒等变换，正弦定理的综合应用，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度不大.‎ ‎20．已知圆的圆心在直线上，且圆经过点.‎ ‎（1）求圆的标准方程；‎ ‎（2）直线过点且与圆相交，所得弦长为4，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1)；(2)或.‎ ‎【解析】（1）先求的中垂线方程，再求交点得圆心，最后求半径（2）根据垂径定理得圆心到直线距离，设直线点斜式，根据点到直线距离公式求斜率，最后验证斜率不存在的情况是否满足条件.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设圆心为，则应在的中垂线上，其方程为，‎ 由，即圆心坐标为 又半径，故圆的方程为.‎ ‎（2）点在圆内，且弦长为，故应有两条直线.‎ 圆心到直线距离.‎ ‎①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，‎ 此时圆心到直线距离为1，符合题意.‎ ‎②当直线的斜率存在时，设为，直线方程为 整理为，则圆心到直线距离为，‎ 解得，直线方程为，‎ 综上①②，所求直线方程为或.‎ ‎21．在等比数列中，公比，且满足，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，当取最大值时，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】（1）由题意有，，再由等比数列通项公式可得解；‎ ‎（2）由题意可得， 为等差数列，由等差数列前项和公式运算即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1），‎ 可得，‎ 由，即，①，可得，由，可得，‎ 可得，即，②‎ 由①②解得舍去），，‎ 则；‎ ‎（2）==，‎ 即为以3为首项，-1为公差的等差数列， ‎ 可得，‎ ‎，‎ 则 ‎，‎ 可得或7时，取最大值．‎ 故的值为6或7．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的通项及等差数列前项和公式，属中档题.‎ ‎22．设,分别是椭圆E：+=1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过的直线与E相交于A、B两点，且，，成等差数列。‎ ‎（Ⅰ）求 ‎（Ⅱ）若直线的斜率为1，求b的值。‎ ‎【答案】（1）（2）,‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.‎ ‎(2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组 消去y，得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|，即＝|x2－x1|.‎ 则＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝，解得b＝.‎ ‎23．已知圆和定点，其中点是该圆的圆心，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，设动点的轨迹为．‎ ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）设曲线与轴交于两点，点是曲线上异于的任意一点，记直线，的斜率分别为，．证明：是定值；‎ ‎（3）设点是曲线上另一个异于的点，且直线与的斜率满足，试探究：直线是否经过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）是，.‎ ‎【解析】（1）利用椭圆的定义可求曲线的轨迹方程.‎ ‎（2）设，算出，后计算，利用在椭圆上化简可得定值.‎ ‎（3）根据（2）的结论可得，因此，从而．直线的斜率存在时，可设的方程为，联立直线方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理化简可得，从而得到直线经过定点，当直线的斜率不存在时可验证直线也过这个定点．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意可知圆的标准方程为，‎ 因为线段的垂直平分线交于点，所以，‎ 动点始终满足，故动点满足椭圆的定义,‎ 因此，解得，∴椭圆的方程为. ‎ ‎（2），设，则；‎ ‎（3），由（2）中的结论可知，‎ 所以 ，即，故.‎ 当直线的斜率存在时，可设的方程为，‎ 由可得，‎ 则（），， ‎ 将（）式代入可得，即，‎ 亦即.或.‎ 当时，，此时直线恒过定点（舍）；‎ 当时，，此时直线恒过定点；‎ 当直线的斜率不存在时，经检验，可知直线也恒过定点；‎ 综上所述，直线恒过定点.‎ ‎【点睛】‎ 求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.‎