【北师大版】2021版高考数学一轮复习第二章函数及其应用2.5 对数与对数函数

【北师大版】2021版高考数学一轮复习第二章函数及其应用2.5 对数与对数函数

- 1 - 2.5 对数与对数函数 核心考点·精准研析 考点一 对数式的化简与求值 1.(2019·北京高考)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 m2-m1= lg ,其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太 阳与天狼星的亮度的比值为 ( ) A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10-10.1 2.(2020·深圳模拟)设函数 y=f(x)的图像与 y=2x+a 的图像关于直线 y=-x 对称,且 f(-2)+f(-4)=1,则 a= ( ) A.-1 B.1 C.2 D.4 3.设 x,y,z 为正数,且 2x=3y=5z,则 ( ) A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 4.计算 log23·log38+( =________________. 【解析】1.选 A.令 m1=-26.7,m2=-1.45, 则 m2-m1=-1.45-(-26.7)=25.25= lg , lg =10.1, =1010.1. 2.选 C.设(x,y)是函数 y=f(x)的图像上任意一点,它关于直线 y=-x 对称的点为(-y,-x),由已知知(-y,-x) 在函数 y=2x+a 的图像上,所以-x=2-y+a,解得 y=-log2(-x)+a,即 f(x)=-log2(-x)+a,所以 f(-2)+f(-4)=-log22+a-log24+a=1,解得 a=2,故选 C. 3.选 D.令 2x=3y=5z=m,分别可求得 2x= = ,3y= = , 5z= = ,分别对分母乘以 30 可得,30logm =logm215, - 2 - 30logm =logm310,30logm =logm56, 故而可得 ⇒logm310>logm215>logm56⇒3y<2x<5z. 4.原式= · + =3+ =3+2=5. 答案:5 对数运算的一般思路 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简. (2)将同底对数的和、差、倍合并. (3)ab=N⇔b=logaN(a>0,且 a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化. (4)利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式. 考点二 对数函数的图像及其应用 【典例】1.已知函数 y=loga(x+c)(a,c 为常数,其中 a>0,且 a≠1)的图像如图,则下列结论成立的是 ( ) A.a>1,c>1 B.a>1,01 D.00,且 a≠1)的图像可能是 ( ) - 3 - 3.已知函数 f(x)= g(x)=log2x,则 f(x)与 g(x)两函数图像的交点个数为______. 【解题导思】 序号 联想解题 1 由图像是下降的,想到对数的底数 00,即 logac>0,所以 01 时,函数 y=ax 的图像过定点 (0,1)且单调递增,则函数 y= 的图像过定点(0,1)且单调递减,函数 y=loga 的图像过定点 且单调递增,各选项均不符合. 3.如图,函数 g(x)的图像与函数 f(x)的图像交于两点,且均在函数 y=8x-8(x≤1)的图像上. 答案:2 1.应用对数型函数的图像可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零 点时,常利用数形结合思想. - 4 - (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解. 2.对数函数图像的规律 在第一象限内,不同底的对数函数的图像从左到右底数逐渐增大. 1.已知函数 f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,a≠1)的图像如图所示,则 a,b 满足的关系是 ( ) A.01.函数图像与 y 轴 的交点坐标为(0,logab),由函数图像可知-10)个单位长度,恰好过(0,1)时,函数 f(x)与 g(x)就不存在关于 y 轴对称的点,所以 01 时为增函数. (3)对数型函数的单调性根据复合函数“同增异减”进行判断. 比较大小问题 【典例】(2019·全国卷Ⅰ)已知 a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则 ( ) A.a20=1,0<0.20.3<0.20=1,则 02,解得 a> ,所 以 ”) 【解析】因为 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,所以 a>1,所以 a+1>2.因为 f(x)是偶函数,所以 f(-2)=f(2)0 时,f(2-a)=-log2(1+a)=1.解得 a=- ,不合题意. 当 2-a≥2,即 a≤0 时,f(2-a)=2-a-1=1,即 2-a=2,解得 a=-1,所以 f(a)=f(-1)=-log24=-2. 答案:-2 1.(2019·绵阳模拟)若 x,y,z∈R+,且 3x=4y=12z, ∈(n,n+1),n∈N,则 n 的值是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】选 C.设 3x=4y=12z=t(t>1),则 x=log3t,y=log4t,z=log12t, 所以 = = + =log312+log412=2+log34+log43. 因为 12 =2, 所以 4<2+log34+log43<5,即 ∈(4,5). - 8 - 所以 n=4. 2.(2020·扬州模拟)设 f(x)= a=0.7-0.5,b=log0.50.7,c=log0.75,则 f(a),f(b),f(c)的大小 关系为________. 【解析】当 x≥0 时,f(x)=x+1 是单调增函数,所以有 f(x)≥f(0)=1,当 x<0 时,f(x)=-x2-1 是单调增 函数,所以有 f(x)<-1,所以函数 f(x)是 R 上的增函数. 因为 a=0.7-0.5>0.70=1,0=log0.511,0b>c, 而函数 f(x)是 R 上的增函数,所以 f(a),f(b),f(c)的大小关系为 f(a)>f(b)>f(c). 答案:f(a)>f(b)>f(c)