数学理卷·2018届广东省湛江市高二上学期期末调研考试（2017-01）

数学理卷·2018届广东省湛江市高二上学期期末调研考试（2017-01）

湛江市2016—2017学年度第一学期期末调研考试 ‎ 学校 班级 姓名 学号 ‎ 密 封 线 高中数学(必修⑤、选修2-1)试卷 ‎ 说明：本卷满分150分．考试用时120分钟．‎ 题号 一 二 三 总分 ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ 得分 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确答案的代号填入下面的表格内．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 得分 选项 ‎1.命题“，”的否定是 A. ， B． ， ‎ C． ， D. ，‎ ‎2.已知中，， ，，则等于 A. B.或 C． D. 或 ‎3.已知椭圆的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则的的周长是 A. B． C． D. ‎ ‎4.已知定点与，动点满足，则点的轨迹方程是 A. B． C． D. ‎ ‎5.已知向量，，且与互相垂直，则的值是 A. B． ， C． D. ‎ ‎6.抛物线的准线方程是，则其标准方程是 A. B． C． D. ‎ ‎7.直线与圆相交于两点，则“”是“的面积为”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎ ‎8.设是等差数列的前项和，若，且，设，则 A. B． C． D. ‎ ‎9.在中，的对边分别为，若，则 A. B. C. D. ‎ ‎10．方程表示的曲线是 A. 一条直线和一个圆 B. 一条直线和半个圆 C．两条射线和一个圆 D. 一条线段和半个圆 ‎11.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 A. B. C． D. ‎ ‎12.已知点是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆上一动点，则的最小值为 ‎ A. B． C． D. ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13.已知空间三点，，，，，则与的夹角大小是_________． ‎ ‎14.函数（<<）的最大值是_________．‎ ‎15. 已知四棱柱的底面是正方形，且，‎ ‎，则的长是_________．‎ ‎16.已知点是双曲线左支上一点，是双曲线的左、右焦点，且，若的中点在第一象限，且在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率是_________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 在中，的对边分别为，，，且.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的面积.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知数列满足：，.‎ ‎（Ⅰ）证明：是等比数列,并求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ A B C D M N 如图边长为2的正方体中，，分别是，的中点，‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知抛物线的焦点坐标为，.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）已知斜率为的直线与抛物线相交于与原点不重合的两点，，且，求的方程.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，平面.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若二面角大小为，求直线与平面所成角的正弦值.‎ P A B C D ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知圆的圆心在坐标原点，且恰好与直线相切，设点为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线与直线垂直且与曲线交于、两点，求面积的最大值.‎ 湛江市2016—2017学年度第一学期期末调研考试 高中数学（必修⑤、选修2-1）参考答案与评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C D B D D B A C C C D B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．（也可写）；　 14． ；　　 15． ；　 16．.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17． 解：（Ⅰ）由正弦定理得：‎ ‎，，（其中为外接圆半径）.……………………1分 代入得：‎ 即：. …………………………3分 ‎， ……………………………………………………………………4分 ‎.‎ ‎. …………………………………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）由余弦定理,即………………………7分 上式代入得.…………………………………………………………………8分 ‎. ‎ 所以的面积是.…………………………………………………………………10分 ‎18． （Ⅰ）证明：由.………………………………1分 且. ……………………………………………………2分 ‎.…………………………………………………………………………………3分 所以是首项为3公比为3的等比数列.………………………………………………4分 ‎，得.‎ 即的通项公式是.……………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）‎ ‎…………………………9分 ‎. ………………………………………………………11分 ‎.………………………………………………………………………12分 z y A B C D M N ‎19． 解：（Ⅰ）证明：以D为原点，DA、DC、DD1为轴建立如图直角坐标系.………1分 则.‎ ‎.‎ ‎………………………………………………………………2分 设平面AMD1的法向量是.‎ 则.…………………………………………………………………………3分 一个法向量为.……………………………………………………………………4分 所以，即.…………………………………………5分 又平面.‎ 平面. ………………………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）平面ADD1的一个法向量为，…………………………………………8分 由（Ⅰ）得 ‎.…………………………………………11分 所以二面角的余弦值是.…………………………………………………12分 ‎20. 解：（Ⅰ）由抛物线的几何性质知. …………………………………3分 ‎（Ⅱ）设直线的方程为. …………………………………………………………4分 由得，‎ 由题.解得 .……………………………………………………5分 设，则，.………………………6分 ‎ …………………………………………8分 ‎，解得或.……………………………………………………………9分 由题意直线不过原点且得符合题意. ………………………………………11分 所以所求直线方程为.……………………………………………………………12分 ‎21. 解：（Ⅰ）由题∵ ‎ ‎∴ ………………………………………………1分 又∵⊥底面 ∴………………………………………2分 又∵ ∴平面 而平面， ∴平面平面……………………………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）所证，平面 ,所以∠即为二面角的平面角，即∠ ………………………………………5分 P A B C D x z y 而，所以 …………………6分 因为底面为平行四边形，所以,‎ 分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．……………………7分 则，，， ,……………………………8分 所以，，，,……………………9分 设平面的法向量为，则即 令则 ……………………………………………………………………10分 ‎∴与平面所成角的正弦值为 ……………12分 ‎22. 解：（Ⅰ）设动点，因为轴于，所以，‎ 设圆的方程为.………………………………………………………………1分 由题意得. ……………………………………………………………………2分 ‎ 所以圆的程为. ………………………………………………………………3分 由题意, ，，.……………………………4分 所以………………………………………………………………………………5分 将代入圆,得动点的轨迹方程为 ………………6分（Ⅱ）由题意可设直线，设直线与椭圆交于，联立方程.‎ 得.………………………………………………………………7分 ‎，解得.………………………………………8分 ‎.……………………………………9分 又因为点到直线的距离，………10分 ‎…………11分 ‎.（当且仅当即 时取到最大值）‎ 面积的最大值为.……………………………………………………………12分 注:如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分.‎