数学（理）卷·2019届天津市和平区高二上学期期末考试（2018-01）

数学（理）卷·2019届天津市和平区高二上学期期末考试（2018-01）

和平区2017-2018学年度第一学期高二年级数学（理）‎ 期末质量调查试卷 第Ⅰ卷 选择题（共24分）‎ 一、选择题：本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.“ ”是“双曲线 的离心率为 ”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2.在空间直角坐标系中，已知 ， ，则 （ ）‎ A． B． .. C． D． ‎ ‎3.已知双曲线的一个焦点坐标为，且经点 ，则双曲线的标准方程为（ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.若双曲线 （ ）的离心力为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎5.已知抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦点，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎6.已知向量 ， ，分别是直线 、 的方向向量，若 ，则（ ）‎ A． ， B． ， C. ， D． ， ‎ ‎7.如果椭圆 的弦被点 平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎8.已知椭圆 ： （ ），点 ， 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点 ，使 ，则离心率 的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ 第Ⅱ卷 非选择题（共76分）‎ 二、填空题（每题6分，满分24分，将答案填在答题纸上）‎ ‎9.若双曲线 （ ）的左焦点在抛物线 的准线上，则 ．‎ ‎10.已知斜率为 的直线经过椭圆 的右焦点 ，与椭圆相交于 、 两点，则 的长为 ．‎ ‎11.已知抛物线 的焦点为 ，准线为直线 ，过抛物线上一点， 作 于 ，若直线 的倾斜角为 ，则 ．‎ ‎12.空间四边形 ， ， ，则 的值为 ．‎ ‎13.设椭圆 与双曲线 有公共焦点 ， ， 是两条曲线的一个公共点，则 等于 ．‎ ‎14.已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为、 ，过 的直线交双曲线右志于 ， 两点，且 ，若 ，则双曲线的离心率为 ．‎ 三、解答题 ‎ ‎（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎15.已知平面上的三点 、 、 .‎ ‎（1）求以 、 为焦点且过点 的椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设点 、 、 关于直线 的对称点分别为 、 、 ，求以 、 为焦点且过点 的双曲线的标准方程.‎ ‎16.已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，点 在抛物线 上，且 ，直线 与抛物线 交于 ， 两点， 为坐标原点.‎ ‎（1）求抛物线 的方程；‎ ‎（2）求 的面积.‎ ‎17. 如图，三棱柱 中，侧棱于底面垂直， ， ， ， 分别是 ， 的中点.‎ ‎（1）求证： 平面 ；‎ ‎（2）求证： 平面 .‎ ‎18. 已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ， 为椭圆 上位于第一象限内的一点.‎ ‎（1）若点 的坐标为 ，求椭圆 的标准方程；‎ ‎（2）设 为椭圆 的左顶点， 为椭圆 上一点，且 ，求直线 的斜率.‎ ‎19. 如图，在四棱锥 中， 平面，四边形是直角梯形， ， ， .‎ ‎（1）求二面角 的余弦值； ‎ ‎（2）设 是棱 上一点， 是 的中点，若 与平面所成角的正弦值为 ，求线段 的长.‎ 和平区2017-2018学年度第一学期期末质量调查 高二年级数学（理）试卷参考答案及评分标准 一、选择题 ‎1-5:CBACB 6-8:DCA 二、填空题 ‎9. 10. 11. 12. 13. 14. ‎ 三、解答题 ‎15.（1）解：由题意知，焦点在 轴上，可设椭圆的标准方程为 （ ）‎ 其半焦距 ‎ 由椭圆定义得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 故椭圆的标准方程为 .‎ ‎（2）解：点 、 、 关于直线 的对称点分别为 、‎ ‎ 、 .‎ 设所求双曲线的标准方程为 ‎ （ ， ）‎ 其半焦距 ，‎ 由双曲线定义得 ‎ ‎ ‎ ‎∴ ，∴ ，‎ 故所求的双曲线的标准方程为 .‎ ‎16.（1）解：∵ 在抛物线 上，且 ，‎ ‎∴由抛物线定义得， ‎ ‎∴ ‎ ‎∴所求抛物线 的方程为 .‎ ‎（2）解：由 消去 ，‎ 并整理得， ，‎ 设 ， ，则 ，‎ 由（1）知 ‎ ‎∴直线 过抛物线 的焦点 ，‎ ‎∴ ‎ 又∵点 到直线 的距离 ，‎ ‎∴ 的面积 .‎ ‎17.（1）证明：依题意， ， ，以 为原点，分别以 ，‎ ‎ ， 的方向为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 .‎ ‎ ‎ 则由已知， ， ， ， ， ， ， ，‎ ‎∴ ， ， ， ，‎ 易知 ，‎ ‎∴ 平面 .‎ ‎（2）证明：连接 ，由（1）得， ，， ，‎ 设平面 的一个法向量为 ‎ 则， ‎ ‎∴由 取 ，得 ，‎ ‎∴平面 的一个法向量为 ‎ 此时， ‎ 故 平面 . ‎ ‎18.（1）解法1：∵椭圆 的离心率为 ‎∴ ‎ ‎∴ ，即 ‎ ‎∴ ①‎ 又∵点.. 在椭圆 上，‎ ‎∴② ‎ ‎ 由①②解得 ， ，‎ ‎∴所求椭圆 的 方程为 ‎ 解法2：由题意得， ，‎ ‎∴ ‎ 设 ， （ ）‎ 则 ‎ ‎∴ ，将点 代入得，‎ ‎ ，解得 ‎ ‎∴ ， ‎ ‎∴所求椭圆 的方程为 ‎ ‎（2）解法1：由（1）可知 ‎ ‎∴椭圆 的方程为 ‎ 即 ，有 ，‎ 设 ， ‎ 由 得， ‎ ‎∴ ， ‎ ‎∵点 ，点 都在椭圆 ： 上，‎ ‎∴ ‎ 解得 ， ，‎ ‎∴直线 的斜率 ‎ 解法2：由（1）可知 ，即 ‎ ‎∴椭圆 的方程为 ，‎ 即 ，有 ， ‎ 设直线 的方程为 （ ）， ， ‎ 由 消去 并整理得，‎ ‎ ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ，∴ ‎ ‎∵ ，∴ ，‎ 于是设直线 的方程为（ ）‎ 由 消去 并整理得，‎ ‎ ‎ 解得 或 （舍去）‎ 于是，得 ‎ 又∵ ‎ ‎∴ ‎ 于是 ，即 ‎ 即 （ ）‎ 解得 ‎ ‎∴直线 的斜率为 ‎ ‎19.（1）解：以 为原点，分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ‎ 则由已知可得， ， ， ， ，‎ ‎∴ ， ，‎ 设平面 的一个法向量为 ，‎ 由， 得， ， ‎ ‎∴有 ‎ 解得 取 ，得 ， ，‎ ‎∴ ‎ ‎∵平面 ‎ ‎∴取平面 的一个法向量为 ，‎ 设二面角 的大小为 ，‎ ‎ ‎ 由图可知，二面角 为锐角二面角，‎ ‎∴二面角 的余弦值为 ‎ ‎（2）解：由（1）知， ， ‎ 设 （ ），则 ，‎ ‎∴ ，‎ 易知 平面 ，‎ ‎∴ 是平面 的一个法向量.‎ 设与平面 所成的角为 ，则 ‎ ，‎ 即 ‎ 解得 或 （舍去）‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ‎ 即线段 的长为 ‎