数学理卷·2018届湖北省高三4月调研考试（2018

数学理卷·2018届湖北省高三4月调研考试（2018

‎2018年湖北省高三4月调考 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，集合，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2.欧拉公式为虚数单位)是由著名数学家欧拉发明的，她将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将表示的复数记为，则的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3.记不等式组的解集为，若,则实数的最小值是( )‎ A．0 B．1 C．2 D．4 ‎ ‎4.已知,则的值等于( )‎ A． B． C. D．‎ ‎5.函数的图像大致为( )‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知双曲线的一条渐近线方程为分别是双曲线 的左、右焦点，点在双曲线上，且,则( )‎ A．1 B．3 C.1或9 D．3或7‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，若输出的值为6，且判断框内填入的条件是,则的取值范围是( )‎ A． B． C. D．‎ ‎8.党的十九打报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程，必须把教育事业放在优先位置，深化教育资源的均衡发展.现有4名男生和2名女生主动申请毕业后到两所偏远山区小学任教.将这6名毕业生全部进行安排，每所学校至少安排2名毕业生，则每所学校男女毕业至少安排一名的概率为( )‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知，则( )‎ A． B． C. D．‎ ‎10.锐角中，角所对的边为的面积,给出以下结论：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③；‎ ‎④有最小值8.‎ 其中正确结论的个数为( )‎ A．1 B．2 C. 3 D．4‎ ‎11.已知正三棱锥的顶点均在球的球面上，过侧棱及球心 的平面截三棱锥及球面所得截面如图所示，已知三棱锥的体积为，则球的表面积为( )‎ A． B． C. D．‎ ‎12.设,其中，则的最小值为( )‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.在的展开式中，常数项为 ．（用数字填写答案）‎ ‎14.已知向量与的夹角为30°，，则的最大值为 ．‎ ‎15.已知函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围是 ．‎ ‎16.点是直线上的动点，是圆的两条切线，是切点，则三角形面积的最小值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列，其中，且满足,.‎ ‎(1)求证：数列为等比数列；‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎18. 如图，在平行四边形中，°，四边形是矩形，，平面平面.‎ (1) 若，求证：；‎ (2) ‎(2)若二面角的正弦值为，求的值.‎ ‎19.随着网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中无现金支付是一个显著特征，某评估机构对无现金支付的人群进行网络问卷调查，并从参与调查的数万名受访者中随机选取了300人，把这300人分为三类，即使用支付宝用户、使用微信用户、使用银行卡用户，各类用户的人数如图所示，同时把这300人按年龄分为青年人组与中年人组，制成如图所示的列联表：‎ 支付宝用户 非支付宝用户 合计 中老年 ‎90‎ 青年 ‎120‎ 合计 ‎300‎ ‎(1) 完成列联表,并判断是否有99%的把握认为使用支付宝用户与年龄有关系?‎ ‎(2)把频率作为概率，从所有无现金支付用户中(人数很多)随机抽取3人，用表示所选3人中使用支付宝用户的人数，求的分布列与数学期望.‎ 附:‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎，其中.‎ ‎20.已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，当时，内切圆的半径为.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)已知直线与椭圆相较于两点，且，当直线的斜率之和为2时，问：点到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由. ‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎(1)当时，讨论函数的单调性；‎ ‎(2)求函数的极值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线,曲线为参数)，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线的极坐标方程；‎ ‎(2)已知射线与曲线分别交于点（异于原点），当时，求的取值范围.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数的最小值为3.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若，求证：.‎ ‎2018年湖北省高三4月调考 理科数学参考答案 一、选择题 ‎1-5:BACCC 6-10:CCCBD 11、12：AC 二、填空题 ‎13. 112 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：(1),‎ 又，所以是首项为4，公比为2的等比数列 ‎(2)由(1)知， ①‎ 又 又，所以为常数数列，) ②‎ 联立①②得：,‎ 所以 ‎18.解：(1)连接，在中，由，由余弦定理易得，又，则；同理由余弦定理易得：，由四边形是矩形，则，又平面平面，所以平面，所以，同理，由勾股定理易求得，,显然,故；‎ 由，所以面，所以，所以面，所以；‎ ‎(2)以点为原点，所在的直线分别为轴，轴，过点与平面垂直的直线轴建立空间直角坐标系，则 设平面的法向量为，则,即,‎ 取，则，即,‎ 同理可求得平面的法向量为 设二面角的平面角为，则 则，即，解之得或，又,‎ 所以或 ‎19.(1)列联表补充如下 支付宝用户 非支付宝用户 合计 中老年 ‎60‎ ‎90‎ ‎150‎ 青年 ‎120‎ ‎30‎ ‎150‎ 合计 ‎180‎ ‎120‎ ‎300‎ ‎,‎ 故有99%的把握认为支付宝用户与年龄有关系.‎ ‎(2)把频率作为概率，从所有无现金支付用户（人数最多）中抽取3人，可以近似看作3次独立重复实验，所以的取值依次为0,1,2,3，且服从二项分布 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎20.(1)依题意：,则，即 又,联立解得：，故，所以椭圆的方程为 ‎(2)设,‎ 联立直线和椭圆的方程得：,‎ 当时有：‎ 由得：,即,‎ 整理得：,所以,‎ 化简整理得：，代入得：,‎ 解之得：或,‎ 点到直线的距离,‎ 设，易得或，则,‎ 当时；当时，,‎ 若，则；若，则，当时，‎ 综上所述：，故点到直线的距离没有最大值.‎ ‎21.解：(1)函数的定义域为，其导数为.当时，‎ 设，则，显然时递增；‎ 时，递减，故，于是，‎ 所以时，递减；时，递增；‎ ‎(2)由(1)知，‎ 函数在递增，在递减，所以 又当时，,‎ 讨论：‎ ‎①当时，，此时：‎ 因为时，递增；时，递减；‎ 所以，无极小值；‎ ‎②当时，，此时：‎ 因为时，递减；时，递增；‎ 所以，无极大值；‎ ‎③当时，‎ 又在递增，所以在上有唯一零点,且,‎ 易证：时，，所以,‎ 所以 又在递减，所以在上有唯一零点，且，故：‎ 当时，递减；当，递增；‎ 当时，递减；当，递增；‎ 所以，，,‎ ‎.‎ ‎22.解：(1)因为，所以曲线的普通方程为：，由，得曲线的极坐标方程，‎ 对于曲线,,则曲线的极坐标方程为 ‎(2)由(1)得,，‎ 因为，则 ‎23.(1)解：‎ 所以,即 ‎(2)由，则原式等价为：，即,‎ 而,‎ 故原不等式成立