数学理卷·2018届河北省博野中学高二上学期期中考试（2016-11）

数学理卷·2018届河北省博野中学高二上学期期中考试（2016-11）

博野中学高二2016-2017学年第一学期期中考试 数学（理科）试题 一、选择题（共12道小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1、用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ‎（A）24 （B）48 （C）60 （D）72‎ ‎2、下列命题正确的个数是（ ）‎ ‎①已知,方程有正实根, 则,方程有负实根 ‎②若,则成立的一个必要不充分条件是 ‎③若与的相关系数,则与有线性相关关系, 且正相关 A、0 B、1 C、2 D、3‎ ‎3、如图是某居民小区年龄在岁到岁的居民上网情况的频率分布直方图，现已知年龄在的上网人数呈现递减的等差数列,则年龄在的频率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4、某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元)的数据如下表：‎ 若y关于t的线性回归方程为＝0.5t＋a,则据此该地区2015年农村居民家庭人均纯收入约为（ )‎ A.6.6‎千元 B.6.5千元 C.6.7千元 D.6.8千元 ‎5、执行如图所示的程序框图，若输入的值为2，则输出的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6、对同一目标独立地进行四次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7、如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8、已知直线：（）是圆：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则线段的长为（ ）‎ A． B． C． D．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎9、如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10、椭圆与直线相交于两点，过中点M与坐标原点的直线的斜率为，则的值为（ ）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎11、已知双曲线的渐近线方程为，且其右焦点为（5,0），则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12、过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于两点，则的值等于（ ）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13、在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________‎ ‎14、已知，，，若，则实数的值为 .‎ ‎15、已知双曲线：的左、右焦点分别是，，正三角形的一边与双曲线左支交于点，且，则双曲线的离心率为 ．‎ ‎16、设椭圆的左、右焦点为，过点的直线与椭圆相交于两点，若，，则椭圆的离心率是 .‎ 三、解答题(共70分)‎ ‎17、端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．‎ ‎（1）求三种粽子各取到1个的概率；‎ ‎（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．‎ ‎18、已知椭圆C： （）的离心率为 ，，，，的面积为1.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N.求证：为定值.‎ ‎19、我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（I）求直方图中a的值；‎ ‎（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；‎ ‎（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.‎ A D B C ‎20、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA=4,点D是AB的中点 ‎（1）求证：ACBC；（2）求证：AC//平面CDB；（3）求二面角B-DC-B1的余弦值．‎ ‎21、已知椭圆过点，两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；‎ ‎（Ⅱ）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．‎ ‎22、如图，在四棱锥中，平面平面，，，，‎ ‎，，.‎ ‎（1）求证：平面； ‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.‎ 博野中学第一学期期中考试数学（理科）答案 一、单项选择 ‎1.【答案】D ‎2、【答案】D ‎【解析】命题“方程有正实根”的否定是“方程无正实根”，故A错； 由，得解得a=1或2,故a=2是成立的一个充分不必要条件,B错;若f（x）在R上是减函数，则在R上恒成立，则解得，C错;D正确.‎ ‎【考点】命题真假的判断．‎ ‎3、【答案】C ‎【解析】的概率和为，又的概率依次成等差数列，所以的频率为选C.‎ 考点：频率分布直方图 ‎4、【答案】D ‎【解析】，所以中心点为，代入回归方程得，代入得 考点：线性回归方程 ‎5、【答案】C ‎【解析】第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；结束循环，输出，选C．‎ 考点：循环结构流程图 ‎【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项．‎ ‎6、【答案】B ‎【解析】设命中率为,四次都不命中的概率为,即,故,所以,故应选B.‎ 考点：独立重复试验事件的概率公式及对立事件的概率公式的运用.‎ ‎7、【答案】A ‎【解析】‎ 考点：1、空间向量；2、向量的运算法则；3、向量的数量积．‎ ‎8、【答案】D ‎【解析】由题意直线：过点，所以，所以切线的长为，选D．‎ 考点：直线与圆位置关系 ‎9、【答案】C ‎【解析】“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率,故选C.‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【易错点晴】本题主要考查几何概型，综合性较强，属于中等难题.解本题时应注意吃透题意，否则容易误认为所求概率值为圆锥体积与正方体的体积之比，即：，而误选D.其实本题的正解应该是圆锥底面积与正方体的底面积之比，即：.解此类题型应注意克服思维定势，误读题意.‎ ‎10、【答案】A ‎【解析】设，可得，，由的中点为，可得，由在椭圆上，可得，两式相减可得，整理得，故选A．‎ 考点：椭圆的几何性质．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，当与弦的斜率及中点有关时，可以利用“点差法”‎ ‎，同时此类问题注意直线方程与圆锥曲线方程联立，运用判别式与韦达定理解决是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎11、【答案】B ‎【解析】由题意得，，所以，，所求双曲线方程为．‎ 考点：双曲线的性质.‎ ‎12、【答案】C ‎ ‎【解析】因为抛物线, 所以它的焦点坐标为，因为直线的倾斜角为所以直线的方程为:,即,设直线与拋物线的交点为 ‎，,联立方程组,消去并整理,得 ‎,解得，‎ 的值为,故选C.‎ 考点：1、抛物线的性质；2、抛物线的定义及直线的方程.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查抛物线的性质、抛物线的定义及直线的方程，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决．本题解答过程中就是把、转化为到焦点距离后求解的．‎ 二、填空题 ‎13.略 ‎14、【答案】-4‎ ‎【解析】，因为，所以，解得：.‎ 考点：空间向量的运算 ‎15、【答案】‎ ‎【解析】设，则，所以 考点：双曲线定义及其离心率 ‎【思路点睛】（1）对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化．（2）注意数形结合，画出合理草图．解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．‎ ‎16、【答案】‎ ‎【解析】设,则.由椭圆的定义可得, ，即,在中运用勾股定理可得,解之得(舍去).所以,在中,,应用余弦定理可得,即,也即,故应填.‎ 考点：椭圆的几何性质及运用．‎ ‎【易错点晴】椭圆是圆锥曲线的重要代表曲线之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,运用椭圆的几何性质和题设中的条件将问题转化为解三角形的问题.解答时充分运用题设条件,进而运用椭圆的定义得到,再次运用勾股定理和余弦定理,解得,从而求得椭圆的离心率.借助椭圆的定义建立方程是解答好本题的关键.‎ 三、解答题 ‎17、【答案】（1）（2）‎ 试题分析：（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望 试题解析：（1）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有 P（A）＝＝.‎ ‎（2）X的可能取值为0,1,2，且 P（X＝0）＝＝，‎ P（X＝1）＝＝，‎ P（X＝2）＝＝‎ 综上知，X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 故E（X）＝0×＋1×＋2×＝（个）‎ 考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式 ‎18、‎ ‎【解析】⑴由已知，，又，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎ 解得 ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎⑵方法一：‎ 设椭圆上一点，则.‎ 直线：,令，得.‎ ‎∴‎ 直线：,令，得.‎ ‎∴‎ 将代入上式得 故为定值.‎ 方法二：‎ 设椭圆 上一点，‎ 直线PA:,令，得.‎ ‎∴‎ 直线:,令，得.‎ ‎∴‎ 故为定值.‎ ‎19.【解析】（I）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1‎ ‎ ∵频率=(频率/组距)*组距 ‎ ∴‎ 得 ‎（II）由图，不低于3吨人数所占百分比为 ‎ ∴全市月均用水量不低于3吨的人数为：(万)‎ ‎（III）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为：‎ 即的居民月均用水量小于2.5吨,‎ 同理，88%的居民月均用水量小于3吨，故 假设月均用水量平均分布，则（吨）.‎ ‎ 注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差。‎ ‎20、【答案】（1）ACBC；‎ ‎（2）AC//平面CDB；‎ ‎（3）二面角B-DC-B1的余弦值为 试题分析：（1）考虑到第三问要求二面角的大小，故需要在空间直角坐标系中用法向量的方法求解，因此可提前建系，（1）（2）问也可方便证明，因为是直三棱柱可以以C为坐标原点，直线CA,CB,CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量证明即可得证；（2）要证明线面平行，必须证明线线平行；（3）分别求出平面BDC和平面DCB1的法向量，求出法向量的夹角的余弦值即为二面角B-DC-B1的余弦值（注意值的正负判断）‎ 试题解析：‎ 因为直三棱柱的底面三边长分别为3、4、5所以两两垂直，以C为坐标原点，直线CA,CB,CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 ‎（1）因为，所以，即 ‎（2）设,则,故 所以,即 因为平面,平面,所以AC//平面CDB ‎（3）可求得平面的一个法向量为，取平面CDB的一个法向量为 ‎，则，由图可知，二面角B-DC-B1的余弦值为 考点：1.直线与平面平行的判定及性质；2.利用空间直角坐标系求二面角的求法；‎ ‎21、【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ 试题分析：（Ⅰ）根据两顶点坐标可知，的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；（Ⅱ）四边形的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线，的值求乘积为定值即可．‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意得，．‎ 所以椭圆的方程．‎ 又，‎ 所以离心率．‎ ‎（Ⅱ）设，则．‎ 又，，所以，‎ 直线的方程为．‎ 令，得，从而．‎ 直线的方程为．‎ 令，得，从而 所以四边形的面积 ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎．‎ 从而四边形的面积为定值．‎ 考点：1、椭圆方程；2、直线和椭圆的关系．‎ ‎【方法点晴】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、分析与解决问题的综合能力、运算求解能力、方程思想与分类讨论的思想．第一小题根据两顶点坐标可知，‎ 的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；第二小题四边形的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线，的值求乘积为定值即可．‎ ‎22.【解】⑴∵面面 面面 ‎∵，面 ‎∴面 ‎∵面 ‎∴‎ 又【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎∴面 ‎⑵取中点为，连结，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 以为原点，如图建系 易知，，，，‎ 则，，，‎ 设为面的法向量，令 ‎，则与面夹角有 ‎⑶假设存在点使得面 设，‎ 由（2）知，，，，‎ 有 ‎∴‎ ‎∵面，为的法向量 ‎∴‎ 即 ‎∴‎ ‎∴综上，存在点，即当时，点即为所求.‎