2020高中数学第四章函数应用4

2020高中数学第四章函数应用4

‎4.1.2‎‎ 利用二分法求方程的近似解 ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[学业达标]‎ 一、选择题 ‎ 1. 用“二分法”可求近似解，对于精度ε说法正确的是(　　)‎ A．ε越大，零点的精度越高 B．ε越大，零点的精度越低 C．重复计算次数就是ε D．重复计算次数与ε无关 ‎【解析】　依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精度越低．‎ ‎【答案】　B ‎ 2. 在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是(　　)‎ A．[1,4]　　　　　　　 B．[－2,1]‎ C．[－2,2.5] D．[－0.5,1]‎ ‎【解析】　因第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次的区间可能是[－2,1]，[1,4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0.5]，[－0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，只有选项D在其中，故选D.‎ ‎【答案】　D ‎ 3. 设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，则方程的根落在区间(　　)‎ A．(2,2.25) B．(2.25,2.5)‎ C．(2.5,2.75) D．(2.75,3)‎ ‎【解析】　由二分法的步骤知方程的根落在区间(2.5,2.75)内．‎ ‎【答案】　C ‎ 4. 为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值，如下表所示：‎ x ‎1.25‎ ‎1.312 5‎ ‎1.375‎ ‎1.437 5‎ ‎1.5‎ ‎1.562 5‎ f(x)‎ ‎－0.871 6‎ ‎－0.578 8‎ ‎－0.281 3‎ ‎0.210 1‎ ‎0.328 43‎ ‎0.641 15‎ 则方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1)可取为(　　)‎ A．1.32 B．1.39‎ C．1.4 D．1.3‎ ‎【解析】　由f(1.375)·f(1.4375)＜0，‎ 5‎ 可知方程2x＋3x＝7的近似解可取1.4.故选C.‎ ‎【答案】　C ‎ 5. 已知f(x)＝－ln x在区间(1,2)内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似值(精度为0.2)，则需要将区间等分的次数为(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ ‎【解析】　由用二分法求函数零点近似值的步骤可知．‎ 分一次，f＞0，区间长度＝0.5＞0.2，‎ 分二次，f＞0，区间长度＝0.25＞0.2，‎ 分三次，f＜0，区间长度＝＜0.2，‎ 所以分三次可以使x0的近似值达到精度为0.2.故选A.‎ ‎【答案】　A 二、填空题 ‎ 6. 在用二分法求方程ex＋x－2＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．‎ ‎【解析】　令f(x)＝ex＋x－2，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，f＝－>0.‎ ‎∴下一个区间为.‎ ‎【答案】　 ‎ 7. 若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值(或近似值)用二分法逐次计算，参考数据如下表：‎ f(1)＝－2‎ f(1.5)＝0.625‎ f(1.25)＝－0.984‎ f(1.375)＝－0.260‎ f(1.438)＝0.165‎ f(1.406 5)＝－0.052‎ 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为________．‎ ‎【解析】　由于f(1.438)·f(1.406 5)＜0，结合二分法的定义得零点应该存在于区间(1.406 5，1.438)中，故方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.4.‎ ‎【答案】　1.4‎ ‎ 8. 用二分法求方程x3－8＝0在区间(2,3)内的近似解经过________次“二分”后精度能达到0.01?‎ 5‎ ‎【解析】　设n次“二分”后精度达到0.01，∵区间(2,3)的长度为1，‎ ‎∴＜0.01，即2n＞100.‎ 注意到26＝64＜100,27＝128＞100，故要经过7次二分后精度达到0.01.‎ ‎【答案】　7‎ 三、解答题 ‎ 9. 用二分法判断函数f(x)＝2x3－3x＋1零点的个数．‎ ‎【解】　用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表(如下表)和图像(如下图)：‎ x ‎－1.5‎ ‎－1‎ ‎－0.5‎ ‎0‎ ‎0.5‎ ‎1‎ ‎1.5‎ f(x)‎ ‎－1.25‎ ‎2‎ ‎2.25‎ ‎1‎ ‎－0.25‎ ‎0‎ ‎3.25‎ 由上表和上图可知，f(－1.5)<0，f(－1)>0，‎ 即f(－1.5)·f(－1)<0，说明这个函数在区间(－1.5，－1)内有零点．‎ 同理，它在区间(0,0.5)内也有零点．另外，f(1)＝0，所以1也是它的零点，由于函数f(x)在定义域和内是增函数，在内是减函数，所以它共有3个零点．‎ ‎ 10. 证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精度为0.1)‎ ‎【解】　证明如下：‎ 设函数f(x)＝2x＋3x－6，‎ ‎∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝4＞0，‎ 又∵f(x)是增函数，‎ ‎∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，‎ 则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．‎ 设该解为x0，则x0∈[1,2]，‎ 取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33＞0，‎ f(1)·f(1.5)＜0，‎ ‎∴x0∈(1,1.5)，‎ 取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128＞0，‎ 5‎ f(1)·f(1.25)＜0，∴x0∈(1,1.25)，‎ 取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.444＜0，‎ f(1.125)·f(1.25)＜0，‎ ‎∴x0∈(1.125,1.25)，‎ 取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16＜0，‎ f(1.187 5)·f(1.25)＜0，‎ ‎∴x0∈(1.187 5,1.25)．‎ ‎∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5＜0.1，‎ ‎∴1.187 5可作为这个方程的实数解．‎ ‎[能力提升]‎ ‎ 1. 函数y＝x与函数y＝lg x的图像的交点的横坐标(精度为0.1)约是(　　)‎ A．1.5　　　B．‎1.6 C．1.7　　　D．1.8‎ ‎【解析】　设f(x)＝lg x－x，经计算f(1)＝－<0，f(2)＝lg 2－>0，所以方程lg x－x＝0在[1,2]内有解．应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知选项D符合要求．‎ ‎【答案】　D ‎ 2. 下列函数中，不适合用二分法求零点的是(　　)‎ A．f(x)＝2x＋3 B．f(x)＝ln x＋2x－9‎ C．f(x)＝x4－2x3＋x2 D．f(x)＝2x－3‎ ‎【解析】　C中令f(x)＝x4－2x3＋x2＝x2(x－1)2＝0.‎ 得x＝0或x＝1，又f(x)≥0恒成立，由二分法的定义知不适合用二分法．‎ ‎【答案】　C ‎ 3. 用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精度为0.001)时，如果选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算________次．‎ ‎【解析】　设至少需要计算n次，则n满足＜0.001，即2n＞100，由于27＝128，故要达到精确度要求至少需要计算7次．‎ ‎【答案】　7‎ ‎ 4. 在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)．现在只有一台天平，请问：用二分法的思想最多称几次就可以发现这枚假币？‎ ‎【解】　第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；‎ 5‎ 第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；‎ 第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．‎ ‎∴最多称四次．‎ 5‎