天津市南开中学滨海生态城学校2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

天津市南开中学滨海生态城学校2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

‎2019-2020学年天津市南开中学滨海生态城学校高二第二学期期中数学试卷 一、单选题（共12小题）.‎ ‎1．为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数R2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是（　　）‎ A．0.97 B．0.86 C．0.65 D．0.55‎ ‎2．函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）（　　）‎ A．无极大值点，有四个极小值点 ‎ B．有三个极大值点，两个极小值点 ‎ C．有两个极大值点，两个极小值点 ‎ D．有四个极大值点，无极小值点 ‎3．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表．‎ 非一线 一线 总计 愿生 ‎45‎ ‎20‎ ‎65‎ 不愿生 ‎13‎ ‎22‎ ‎35‎ 总计 ‎58‎ ‎42‎ ‎100‎ 附表：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 由K2‎=‎n(ad-bc‎)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎算得，K2‎=‎100×(45×22-20×13‎‎)‎‎2‎‎58×42×35×65‎≈‎9.616参照附表，得到的正确结论是（　　）‎ A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” ‎ B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关” ‎ C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关” ‎ D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”‎ ‎4．已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用ξ表示，那么ξ的取值为（　　）‎ A．0，1 B．1，2 C．0，1，2 D．0，1，2，3‎ ‎5．已知X的分布列为 X ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ P ‎1‎‎2‎‎ ‎ ‎1‎‎3‎‎ ‎ ‎1‎‎6‎‎ ‎ 且Y＝aX+3，E（Y）‎=‎‎7‎‎3‎，则a为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎6．设两个正态分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0）的密度曲线如图所示，则有（　　）‎ A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 ‎ C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2‎ ‎7．从装有3个红球2个白球的袋子中先后取2个球，取后不放回，在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为（　　）‎ A．‎3‎‎10‎ B．‎9‎‎25‎ C．‎1‎‎2‎ D．‎‎2‎‎3‎ ‎8．设函数f（x）＝ex+x﹣2，g（x）＝lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）＝0，g（b）＝0，则（　　）‎ A．g（a）＜0＜f（b） B．f（b）＜0＜g（a） ‎ C．0＜g（a）＜f（b） D．f（b）＜g（a）＜0‎ ‎9．4名同学分别报名参加学校的手工、绘画、机器人设计三个校本课程，每人限报其中一个课程，不同报法的种数是（　　）‎ A．81 B．64 C．24 D．16‎ ‎10．（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为（　　）‎ A．12 B．16 C．20 D．24‎ ‎11．已知函数f（x）＝ex﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝ex垂直的切线，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，‎1‎e） B．（‎1‎e，+∞） C．（‎1‎e，e） D．（e，+∞）‎ ‎12．若函数f(x)=‎‎4ax-a(x≤0)‎x‎3‎‎-ax+2(x＞0)‎，有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（1，2] B．（2，4] C．（3，4] D．（3，5）‎ 二.填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎13．f（x）＝x（2019+lnx），若f'（x0）＝2020，则x0＝　 　．‎ ‎14．已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），且P（ξ＞2）＝0.85，则P（3＜ξ＜4）＝　 　．‎ ‎15．要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同方法的种数是　 　．‎ ‎16．（x‎-‎‎2‎x）6的展开式中常数项是　 　．‎ ‎17．若函数f（x）‎=‎‎1‎‎3‎x3‎-‎‎3‎‎2‎x2+ax+4恰在[﹣1，4]上单调递减，则实数a的值为　 　．‎ ‎18．袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是　 　．‎ ‎19．已知f（x）＝lnx，g（x）‎=‎‎1‎‎2‎x2+mx‎+‎‎7‎‎2‎（m＜0），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象的切点为（1，f（1）），则m的值为　 　．‎ ‎20．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）+xf'（x）＞0，且f（3）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集是　 　．‎ 三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎21．每年9月第三个公休日是全国科普日．某校为迎接2019年全国科普日，组织了科普知识竞答活动，要求每位参赛选手从4道“生态环保题”和2道“智慧生活题”中任选3道作答（每道题被选中的概率相等），设随机变量ξ表示某选手所选3道题中“智慧生活题”的个数．‎ ‎（Ⅰ）求该选手恰好选中一道“智慧生活题”的概率；‎ ‎（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列及数学期望．‎ ‎22．甲，乙两人进行定点投篮活动，已知他们每投篮一次投中的概率分别是‎2‎‎3‎和‎3‎‎5‎，每次投篮相互独立互不影响．‎ ‎（Ⅰ）甲乙各投篮一次，记“至少有一人投中”为事件A，求事件A发生的概率；‎ ‎（Ⅱ）甲乙各投篮一次，记两人投中次数的和为X，求随机变量X的分布列及数学期望；‎ ‎（Ⅲ）甲投篮5次，投中次数为ξ，求ξ＝2的概率和随机变量ξ的数学期望．‎ ‎23．已知函数f（x）＝x3‎+‎‎3‎‎2‎ax2﹣x+1（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f （1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当a＜0时，设g（x）＝f（x）+x．‎ ‎（i）求函数g（x）的极值；‎ ‎（ii）若函数g（x）在[1，2]上的最小值是﹣9，求实数a的值．‎ ‎24．已知函数h（x）＝x2ex，f（x）＝h（x）﹣aex（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）求函数h（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若∃x1，x2∈（1，2），且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，求a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求证：f（x1）f（x2）＜4e﹣2．‎ 参考答案 一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）‎ ‎1．为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数R2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是（　　）‎ A．0.97 B．0.86 C．0.65 D．0.55‎ ‎【分析】在回归分析中，模型的相关指数R2越接近于1，其拟合效果就越好．‎ 解：四种模型的相关指数R2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，‎ 则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是0.97．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了用相关指数拟合模型效果的应用问题，是基础题．‎ ‎2．函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）（　　）‎ A．无极大值点，有四个极小值点 ‎ B．有三个极大值点，两个极小值点 ‎ C．有两个极大值点，两个极小值点 ‎ D．有四个极大值点，无极小值点 ‎【分析】利用导函数的图象，判断函数的极值点，即可．‎ 解：因为导函数的图象如图：‎ 可知导函数图象中由4个函数值为0，即f′（a）＝0，f′（b）＝0，f′（c）＝0，f′（d）＝0．‎ x＜a，函数是增函数，x∈（a，b）函数是减函数，x∈（b，c），函数在增函数，x∈（c，d）函数在减函数，x＞d，函数是增函数，‎ 可知极大值点为：a，c；极小值点为：b，d．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的应用，极值点的判断，考查数形结合以及函数思想的应用．‎ ‎3．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表．‎ 非一线 一线 总计 愿生 ‎45‎ ‎20‎ ‎65‎ 不愿生 ‎13‎ ‎22‎ ‎35‎ 总计 ‎58‎ ‎42‎ ‎100‎ 附表：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 由K2‎=‎n(ad-bc‎)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎算得，K2‎=‎100×(45×22-20×13‎‎)‎‎2‎‎58×42×35×65‎≈‎9.616参照附表，得到的正确结论是（　　）‎ A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” ‎ B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关” ‎ C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关” ‎ D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”‎ ‎【分析】根据K2‎=‎100×(45×22-20×13‎‎)‎‎2‎‎58×42×35×65‎≈‎9.616＞6.635，有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，即可求得答案．‎ 解：根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，‎ K2‎=‎100×(45×22-20×13‎‎)‎‎2‎‎58×42×35×65‎≈‎9.616＞6.635，‎ ‎∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查独立性检验的应用，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎4．已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用ξ表示，那么ξ的取值为（　　）‎ A．0，1 B．1，2 C．0，1，2 D．0，1，2，3‎ ‎【分析】利用已知条件直接推出ξ的取值即可．‎ 解：8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用ξ表示，那么ξ的取值可以是0，1，2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题列出离散型随机变量的取值的判断，基本知识的考查．‎ ‎5．已知X的分布列为 X ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ P ‎1‎‎2‎‎ ‎ ‎1‎‎3‎‎ ‎ ‎1‎‎6‎‎ ‎ 且Y＝aX+3，E（Y）‎=‎‎7‎‎3‎，则a为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】利用期望的计算公式，计算出EX，再由期望的性质，Y＝aX+3，EY＝aEX+3求出a即可．‎ 解：先求出EX＝（﹣1）‎×‎1‎‎2‎+‎0‎×‎1‎‎3‎+‎1‎×‎1‎‎6‎=-‎‎1‎‎3‎．‎ 再由Y＝aX+3得EY＝aEX+3．‎ ‎∴‎7‎‎3‎‎=‎a（‎-‎‎1‎‎3‎）+3，解得a＝2．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查离散型随机变量的期望及期望的性质，属基本运算的考查，基础题．‎ ‎6．设两个正态分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0）的密度曲线如图所示，则有（　　）‎ A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 ‎ C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2‎ ‎【分析】从正态曲线关于直线x＝μ对称，看μ的大小，从曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，由此可得结论．‎ 解：从正态曲线的对称轴的位置看，显然μ1＜μ2，‎ 正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，σ越小，‎ ‎∴σ1＜σ2‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及数形结合的思想，属于基础题．‎ ‎7．从装有3个红球2个白球的袋子中先后取2个球，取后不放回，在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为（　　）‎ A．‎3‎‎10‎ B．‎9‎‎25‎ C．‎1‎‎2‎ D．‎‎2‎‎3‎ ‎【分析】根据条件概率的计算方法，先求出取两次球，第一次取到红球的取法数，然后求出第一、二次都取得红球的取法数，代入公式计算即可．‎ 解：因为共有3个红球2个白球，所以先后取2个球，取后不放回，第一次取到红球的取法数为：C‎3‎‎1‎C‎4‎‎1‎‎=12‎，‎ 第一、二次都取到红球的取法数为：C‎3‎‎1‎C‎2‎‎1‎‎=6‎，‎ 故所求的概率P‎=‎6‎‎12‎=‎‎1‎‎2‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查条件概率的计算方法以及计数原理的应用，要注意对条件概率的理解，属于基础题．‎ ‎8．设函数f（x）＝ex+x﹣2，g（x）＝lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）＝0，g（b）＝0，则（　　）‎ A．g（a）＜0＜f（b） B．f（b）＜0＜g（a） ‎ C．0＜g（a）＜f（b） D．f（b）＜g（a）＜0‎ ‎【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）＝0，g（b）＝0判断a，b的取值范围即可．‎ 解：①由于y＝ex及y＝x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）＝ex+x﹣2在R上单调递增，‎ 分别作出y＝ex，y＝2﹣x的图象，∵f（0）＝1+0﹣2＜0，f（1）＝e﹣1＞0，f（a）＝0，∴0＜a＜1．‎ 同理g（x）＝lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，g（‎3‎）‎=ln‎3‎+(‎3‎‎)‎‎2‎-3=‎1‎‎2‎ln3＞0‎，g（b）＝0，∴‎1＜b＜‎‎3‎．‎ ‎∴g（a）＝lna+a2﹣3＜g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，‎ f（b）＝eb+b﹣2＞f（1）＝e+1﹣2＝e﹣1＞0．‎ ‎∴g（a）＜0＜f（b）．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键．‎ ‎9．4名同学分别报名参加学校的手工、绘画、机器人设计三个校本课程，每人限报其中一个课程，不同报法的种数是（　　）‎ A．81 B．64 C．24 D．16‎ ‎【分析】利用排列、组合中的乘法原理求得结果．‎ 解：∵每名同学都有3种报名方案，∴四名同学共有3×3×3×3＝81种报名方案．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查排列、组合中的乘法原理的应用，属于基础题．‎ ‎10．（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为（　　）‎ A．12 B．16 C．20 D．24‎ ‎【分析】利用二项式定理、排列组合的性质直接求解．‎ 解：（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为：‎ ‎1‎×C‎4‎‎3‎×‎1‎‎3‎×C‎1‎‎1‎×1+‎2‎×C‎4‎‎1‎×‎1‎‎1‎×C‎3‎‎3‎×‎1‎‎3‎=‎12．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查展开式中x3的系数的求法，考查二项式定理、排列组合的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎11．已知函数f（x）＝ex﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝ex垂直的切线，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，‎1‎e） B．（‎1‎e，+∞） C．（‎1‎e，e） D．（e，+∞）‎ ‎【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义以及直线垂直的等价条件，转化为（ex﹣m）e＝﹣1，有解，即可得到结论．‎ 解：函数的f（x）的导数f′（x）＝ex﹣m，‎ 若曲线C存在与直线y＝ex垂直的切线，‎ 则切线斜率k＝ex﹣m，‎ 满足（ex﹣m）e＝﹣1，‎ 即ex﹣m‎=-‎‎1‎e有解，‎ 即m＝ex‎+‎‎1‎e有解，‎ ‎∵ex‎+‎1‎e＞‎‎1‎e，‎ ‎∴m‎＞‎‎1‎e，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用，以及直线垂直的关系，结合指数函数的性质是解决本题的关键．‎ ‎12．若函数f(x)=‎‎4ax-a(x≤0)‎x‎3‎‎-ax+2(x＞0)‎，有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（1，2] B．（2，4] C．（3，4] D．（3，5）‎ ‎【分析】根据分段函数的表达式，先判断当x＞0时，函数的极值，结合函数极值与0的关系，建立不等式进行求解即可．‎ 解：当x≥0时，f′（x）＝3x2﹣a，‎ ‎∵a＞0且a≠1，∴f′（x）＝3x2﹣a＝0一定有两个根，由f′（x）＝0得x‎=‎a‎3‎或x‎=-‎a‎3‎（舍），‎ 则当x‎=‎a‎3‎时，函数f（x）在x＞0时，取得极小值也是最小值f（a‎3‎）极小＝（a‎3‎）3﹣a•a‎3‎‎+‎2，‎ 即当x＞0时，f（x）最多有两个零点，∵f（0）＝2＞0，∴此时f（a‎3‎）极小＝（a‎3‎）3﹣a•a‎3‎‎+‎2＜0，‎ 得‎2‎‎3‎a‎3‎‎2‎‎9‎‎＞‎2，即a‎3‎‎2‎‎＞‎3‎3‎，∴a3＞27，即a＞3，‎ 则当x≤0时，f（x）为单调增函数，则此时只有一个零点，‎ ‎∵当x≤0时，﹣a＜f（x）≤4﹣a，‎ ‎∴要使f（x）有三个零点，则‎4-a≥0‎‎-a＜0‎得a≤4‎a＞0‎得0＜a≤4，‎ 综上3＜a≤4，‎ 即实数a的取值范围是（3，4]，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数的解析式，结合函数极值和零点关系是解决本题的关键．‎ 一、选择题 ‎13．f（x）＝x（2019+lnx），若f'（x0）＝2020，则x0＝　1　．‎ ‎【分析】先求导数，然后令f'（x0）＝2020，解出x0即可．‎ 解：由已知得f′（x）＝2020+lnx，‎ 令2020+lnx0＝2020，∴lnx0＝0，‎ ‎∴x0＝1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查导数的运算，属于基础题．‎ ‎14．已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），且P（ξ＞2）＝0.85，则P（3＜ξ＜4）＝　0.35　．‎ ‎【分析】由已知求得μ，再由正态分布曲线的对称性求得P（2＜ξ＜3），则答案可求．‎ 解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），∴μ＝3，‎ ‎∵P（ξ＞2）＝0.85，∴P（2＜ξ＜3）＝0.85﹣0.5＝0.35，‎ 则P（3＜ξ＜4）＝P（2＜ξ＜3）＝0.35，‎ 故答案为：0.35．‎ ‎【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．‎ ‎15．要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同方法的种数是　60　．‎ ‎【分析】本题根据排列的定义可列出组合式，计算可得结果．‎ 解：由题意，‎ 根据排列的定义，可知一共有A‎5‎‎3‎‎=‎5×4×3＝60种．‎ 故答案为：60．‎ ‎【点评】本题主要考查排列的应用．考查了定义法，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属基础题．‎ ‎16．（x‎-‎‎2‎x）6的展开式中常数项是　﹣160　．‎ ‎【分析】据二项展开式的通项公式求得第r+1项，令x的指数为0得常数项．‎ 解：展开式的通项为Tr+1＝（﹣2）rC6rx3﹣r 令3﹣r＝0得r＝3‎ 所以展开式的常数项为（﹣2）3C63＝﹣160‎ 故答案为：﹣160．‎ ‎【点评】二项展开式的通项公式是解决二项展开式特定项问题的工具．‎ ‎17．若函数f（x）‎=‎‎1‎‎3‎x3‎-‎‎3‎‎2‎x2+ax+4恰在[﹣1，4]上单调递减，则实数a的值为　﹣4　．‎ ‎【分析】原函数是一个三次多项式函数，因此考虑用导函数的方法研究它的单调性．先求出f′（x）＝x2﹣3x+a，函数f(x)=‎1‎‎3‎x‎3‎-‎3‎‎2‎x‎2‎+ax+4‎，恰在[﹣1，4]上递减，说明f′（x）≤0的解集恰好是[﹣1，4]，最后利用一元二次方程根与系数的关系，可得出实数a的取值范围．‎ 解：先求出f′（x）＝x2﹣3x+a，‎ ‎∵函数f(x)=‎1‎‎3‎x‎3‎-‎3‎‎2‎x‎2‎+ax+4‎，恰在[﹣1，4]上递减，‎ ‎∴不等式f′（x）≤0的解集恰好是[﹣1，4]，‎ 也就是说：方程x2﹣3x+a＝0的根是x1＝﹣1，x2＝4‎ 用一元二次方程根与系数的关系，得：‎‎-1+4=3‎‎-1×4=a 所以a＝﹣4‎ 故答案为：﹣4‎ ‎【点评】本题以三次多项式函数为例，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．深刻理解一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，是解决好本题的关键．‎ ‎18．袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是　‎54‎‎125‎　．‎ ‎【分析】每次取到黄球的概率均为‎3‎‎5‎，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出3次中恰有2次抽到黄球的概率．‎ 解：袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，‎ 每次取到黄球的概率均为‎3‎‎5‎，‎ ‎∴3次中恰有2次抽到黄球的概率为：‎ P‎=C‎3‎‎2‎(‎3‎‎5‎‎)‎‎2‎(‎2‎‎5‎)=‎‎54‎‎125‎．‎ 故答案为：‎54‎‎125‎．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎19．已知f（x）＝lnx，g（x）‎=‎‎1‎‎2‎x2+mx‎+‎‎7‎‎2‎（m＜0），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象的切点为（1，f（1）），则m的值为　﹣2　．‎ ‎【分析】由题意，f′（x）‎=‎‎1‎x，g′（x）＝x+m（m＜0），从而可得直线l的斜率为k＝f′（1）＝1，切点为（1，0）；从而求出直线方程，联立令△＝0求m；‎ 解：由题意，f′（x）‎=‎‎1‎x，g′（x）＝x+m（m＜0），‎ 故直线l的斜率为k＝f′（1）＝1，切点为（1，0）；‎ 故直线l的方程为y＝x﹣1；‎ 即x﹣y﹣1＝0；‎ 由‎1‎‎2‎x2+mx‎+‎7‎‎2‎=‎y，y＝x﹣1消y得，‎ x2+2（m﹣1）x+9＝0；‎ 故4（m﹣1）2﹣4×9＝0，‎ 解得，m＝﹣2（m＜0）；‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．‎ ‎20．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）+xf'（x）＞0，且f（3）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集是　（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）　．‎ ‎【分析】令g（x）＝xf（x），g′（x）＝f（x）+xf'（x），当x＞0时，f（x）+xf'（x）＞0，可得x∈（0，+∞）上，函数g（x）单调递增．由f（3）＝0，可得g（3）＝0．由函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得函数g（x）是定义在R上的偶函数．进而得出不等式的解集．‎ 解：令g（x）＝xf（x），‎ g′（x）＝f（x）+xf'（x），‎ 当x＞0时，f（x）+xf'（x）＞0，‎ ‎∴x∈（0，+∞）上，函数g（x）单调递增．‎ f（3）＝0，∴g（3）＝0．‎ ‎∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，‎ ‎∴函数g（x）是定义在R上的偶函数．‎ 由g（x）＞0＝g（3），即g（|x|）＞g（3），‎ ‎∴|x|＞3，‎ 解得x＞3，或x＜﹣3．‎ ‎∴不等式xf（x）＞0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．‎ 故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎21．每年9月第三个公休日是全国科普日．某校为迎接2019年全国科普日，组织了科普知识竞答活动，要求每位参赛选手从4道“生态环保题”和2道“智慧生活题”中任选3道作答（每道题被选中的概率相等），设随机变量ξ表示某选手所选3道题中“智慧生活题”的个数．‎ ‎（Ⅰ）求该选手恰好选中一道“智慧生活题”的概率；‎ ‎（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列及数学期望．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设该选手恰好选中一道“智慧生活题”为事件A，利用古典概型求解即可．‎ ‎（Ⅱ）ξ＝0，1，2；求出概率，得到ξ的分布列，然后求解期望即可．‎ 解：（Ⅰ）设该选手恰好选中一道“智慧生活题”为事件A，则P（A）‎=C‎4‎‎2‎‎⋅‎C‎2‎‎1‎C‎6‎‎3‎=‎‎3‎‎5‎，‎ ‎（Ⅱ）ξ＝0，1，2；P（ξ＝0）‎=C‎4‎‎3‎C‎6‎‎3‎=‎‎1‎‎5‎；P（ξ＝1）‎=C‎4‎‎2‎‎⋅‎C‎2‎‎1‎C‎6‎‎3‎=‎‎3‎‎5‎，P（ξ＝2）‎=C‎4‎‎1‎‎⋅‎C‎2‎‎2‎C‎6‎‎3‎=‎‎1‎‎5‎，所以ξ的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎1‎‎5‎‎ ‎ ‎3‎‎5‎‎ ‎ ‎1‎‎5‎‎ ‎ 故X的期望E(X)=0×‎1‎‎5‎+1×‎3‎‎5‎+2×‎1‎‎5‎=1‎．‎ ‎【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查，基础题．‎ ‎22．甲，乙两人进行定点投篮活动，已知他们每投篮一次投中的概率分别是‎2‎‎3‎和‎3‎‎5‎，每次投篮相互独立互不影响．‎ ‎（Ⅰ）甲乙各投篮一次，记“至少有一人投中”为事件A，求事件A发生的概率；‎ ‎（Ⅱ）甲乙各投篮一次，记两人投中次数的和为X，求随机变量X的分布列及数学期望；‎ ‎（Ⅲ）甲投篮5次，投中次数为ξ，求ξ＝2的概率和随机变量ξ的数学期望．‎ ‎【分析】（Ⅰ）从对立面的角度，先求出甲乙两人都未投中的概率，再根据对立事件的概率进行计算即可；‎ ‎（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，然后根据相互独立事件的概率逐一求出每个X的取值即可得分布列，进而求出数学期望；‎ ‎（Ⅲ）随机变量ξ～B（5，‎2‎‎3‎），根据二项分布的性质求概率和数学期望即可．‎ 解：（Ⅰ）设甲投中为事件B，乙投中为事件C，则P(B)=‎1‎‎3‎，P(C)=‎‎2‎‎5‎，‎ ‎∴P(A)=1-P(B)P(C)=1-‎1‎‎3‎×‎2‎‎5‎=‎‎13‎‎15‎．‎ ‎（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，‎ P（X＝0）‎=‎1‎‎3‎×‎2‎‎5‎=‎‎2‎‎15‎，P（X＝1）‎=‎2‎‎3‎×‎2‎‎5‎+‎1‎‎3‎×‎3‎‎5‎=‎‎7‎‎15‎，P（X＝2）‎=‎2‎‎3‎×‎3‎‎5‎=‎‎2‎‎5‎，‎ ‎∴X的分布列为 ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ P ‎ ‎‎2‎‎15‎ ‎ ‎‎7‎‎15‎ ‎ ‎‎2‎‎5‎ ‎∴数学期望E（X）‎=0×‎2‎‎15‎+1×‎7‎‎15‎+2×‎2‎‎5‎=‎‎19‎‎15‎．‎ ‎（Ⅲ）随机变量ξ～B（5，‎2‎‎3‎），‎ ‎∴P（ξ＝2）‎=C‎5‎‎2‎⋅(‎2‎‎3‎‎)‎‎2‎⋅(‎1‎‎3‎‎)‎‎3‎=‎‎40‎‎243‎，‎ 数学期望E（ξ）‎=5×‎2‎‎3‎=‎‎10‎‎3‎．‎ ‎【点评】本题考查独立事件的概率、相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列与数学期望，还有二项分布的数学期望，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力，属于基础题．‎ ‎23．已知函数f（x）＝x3‎+‎‎3‎‎2‎ax2﹣x+1（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f （1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当a＜0时，设g（x）＝f（x）+x．‎ ‎（i）求函数g（x）的极值；‎ ‎（ii）若函数g（x）在[1，2]上的最小值是﹣9，求实数a的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出导数，再求出f（1），f′（1），然后代入直线的点斜式，求出切线方程；‎ ‎（Ⅱ）（i）求出导数的零点，然后判断零点左右的符号，确定极值情况；‎ ‎（ii）因为函数连续，所以只需综合极值、端点处函数值，大中取大，小中取小，确立函数的最值．‎ 解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝x3+3x2﹣x+1，f′（x）＝3x2+6x﹣1，‎ ‎∴k＝f′（1）＝8，f（1）＝4，故切线方程为y﹣4＝8（x﹣1），即：8x﹣y﹣4＝0．‎ ‎（Ⅱ）（i）g（x）＝f（x）+x＝x3‎+‎3‎‎2‎ax‎2‎+1‎，a＜0，‎ ‎∴令g′（x）＝3x2+3ax＝3x（x+a）＝0得x1＝0，x2＝﹣a＞x1．‎ 随着x的变化，g（x）和g′（x）的变化如下：‎ ‎ x ‎ （﹣∞，0）‎ ‎ 0‎ ‎ （0，﹣a）‎ ‎﹣a ‎（﹣a，+∞）‎ ‎ g′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎ g（x）‎ ‎↑‎ ‎ 极大值 ‎↓‎ ‎ 极小值 ‎↑‎ 所以g（x）的极大值是g（0）＝1；极小值为g（﹣a）‎=‎a‎3‎‎+2‎‎2‎．‎ ‎（ii）g′（x）＝3x2+3ax＝3x（x+a），‎ ‎（1）当﹣1≤a＜0时，g′（x）≥0，g（x）在[1，2]内递增，g（x）min＝g（1）‎=‎3‎‎2‎a+2=-9，a=-‎22‎‎3‎＜-1(舍)‎．‎ ‎（2）当﹣2＜a＜﹣1时，则x，g′（x），g（x）关系如下：‎ ‎ x ‎ （1，﹣a）‎ ‎﹣a ‎（﹣a，2）‎ ‎ g′（x）‎ ‎﹣‎ ‎ 0‎ ‎＝‎ ‎ g（x）‎ ‎↓‎ ‎ 极小值 ‎↑‎ g（x）min＝g（﹣a）‎=‎1‎‎2‎a‎3‎+1=-9，a=-‎3‎‎20‎＜-2‎（舍）．‎ ‎（3）当a≤﹣2时，g（x）在[1，2]内单调递减，g（x）min＝g（2）＝6a+9＝﹣9，a＝﹣3．‎ 综上可知，a＝﹣3．‎ ‎【点评】本题考查导数的综合应用，利用导数研究单调性、极值、最值是最常见的考查模式．同时考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力．属于中档题．‎ ‎24．已知函数h（x）＝x2ex，f（x）＝h（x）﹣aex（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）求函数h（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若∃x1，x2∈（1，2），且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，求a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求证：f（x1）f（x2）＜4e﹣2．‎ ‎【分析】（Ⅰ）研究函数f（x）导数的符号，然后确定原函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）要满足题意，只需函数在（1，2）内有增有减，即存在极值点，则问题转化为函数的导数在（1，2）内存在变号根即可；‎ ‎（Ⅲ）先求出f（x）的两个极值点，然后对两个极值点的函数值结合单调性作比较来证明结论．‎ 解：（Ⅰ）h（x）＝x2ex，∴h′（x）＝ex（x2+2x），‎ 当x∈（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）的增区间是（﹣∞，﹣2），（0，+∞）；‎ 当x∈（﹣2，0）时，h′（x）＜0，所以h（x）的减区间是（﹣2，0）．‎ ‎（Ⅱ）依题意，函数f（x）＝ex（x2﹣a）在（1，2）上不是单调函数，‎ 因为f（x）是连续函数，所以f（x）在（1，2）上需有极值，‎ 由于f′（x）＝ex（x2+2x﹣a），即x2+2x﹣a＝0在（1，2）内有变号根，‎ 令u（x）＝x2+2x﹣a，显然该函数在（1，2）上递增，故需u(1)＜0‎u(2)＞0‎，即‎3-a＜0‎‎8-a＞0‎，解得3＜a＜8．‎ 所以a的范围是（3，8）．‎ ‎（Ⅲ）f′（x）＝ex（x2+2x﹣a），设方程ex（x2+2x﹣a）＝0的两个不等实根是x1，x2，‎ 则首先满足△＝4+4a＞0，即：a＞﹣1．‎ 又由（x2+2x﹣a）＝0解得，x‎1‎‎=-1-a+1‎，x‎2‎=-1+‎a+1‎，此时x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣a．‎ 随着x的变化，f′（x），f（x）的变化如下：‎ x ‎ （﹣∞，x1）‎ ‎ x1‎ ‎ （x1，x2）‎ ‎ x2‎ ‎ （x2，+∞）‎ ‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎ 0‎ ‎﹣‎ ‎ 0‎ ‎+‎ ‎ f（x）‎ ‎ 递增 ‎ 极大值 ‎ 递减 ‎ 极小值 递增 所以x1是函数f（x）的极大值点，x2是f（x）的极小值点．所以f（x1）是极大值，f（x2）是极小值．‎ f（x1）f（x2）‎‎=ex‎1‎(x‎1‎‎2‎-a)×ex‎2‎(x‎2‎‎2‎-a)=ex‎1‎‎+‎x‎2‎[x‎1‎‎2‎x‎2‎‎2‎-a(x‎1‎‎2‎+x‎2‎‎2‎)+a‎2‎]=ex‎1‎‎+‎x‎2‎{(x‎1‎x‎2‎‎)‎‎2‎-a[(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-2x‎1‎x‎2‎]+a‎2‎}‎ ‎＝e﹣2[a2﹣a（4+2a）+a2]＝﹣4ae﹣2，又因为a＞﹣1，所以﹣4ae﹣2＜4e﹣2．‎ 所以f（x1）f（x2）＜4e﹣2．‎ ‎【点评】本题考查导数的综合运用，即利用导数研究函数的单调性、极值以及不等式问题．同时考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力等，属于较难的题目．‎ ‎ ‎