高考数学专题复习：课时达标检测（四十三） 圆的方程

高考数学专题复习：课时达标检测（四十三） 圆的方程

课时达标检测（四十三） 圆的方程 ‎[练基础小题——强化运算能力]‎ ‎1．方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示的图形是(　　)‎ A．以(1，－2)为圆心，为半径的圆 B．以(1,2)为圆心，为半径的圆 C．以(－1，－2)为圆心，为半径的圆 D．以(－1,2)为圆心，为半径的圆 解析：选D　由x2＋y2＋2x－4y－6＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝11，故圆心为(－1,2)，半径为.‎ ‎2．圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　　)‎ A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0‎ C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0‎ 解析：选B　设圆心为(0，b)，半径为r，‎ 则r＝|b|，‎ 故圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2.‎ ‎∵点(3,1)在圆上，‎ ‎∴9＋(1－b)2＝b2，‎ 解得b＝5.‎ ‎∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.‎ ‎3．若圆C的半径为1，圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为(　　)‎ A．x2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝1‎ C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1‎ 解析：选A　因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1.‎ ‎4．已知＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，α∈R，O为坐标原点，向量满足＋＝0，则动点Q的轨迹方程是________．‎ 解析：设Q(x，y)，∵＋＝(2＋2cos α＋x,2＋2sin α＋y)＝(0,0)，∴∴(x＋2)2＋(y＋2)2＝4.‎ 答案：(x＋2)2＋(y＋2)2＝4‎ ‎5．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线 x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为________．‎ 解析：如图所示，圆心M(3，－1)到定直线x＝－3上点的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.‎ 答案：4‎ ‎[练常考题点——检验高考能力]‎ 一、选择题 ‎1．方程y＝表示的曲线是(　　)‎ A．上半圆 B．下半圆 C．圆 D．抛物线 解析：选A　由方程可得x2＋y2＝1(y≥0)，即此曲线为圆x2＋y2＝1的上半圆．‎ ‎2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为(　　)‎ A．x2＋(y－2)2＝5 B．(x－2)2＋y2＝5‎ C．x2＋(y＋2)2＝5 D．(x－1)2＋y2＝5‎ 解析：选B　因为所求圆的圆心与圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心(－2,0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.‎ ‎3．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为(　　)‎ A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2‎ C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2‎ 解析：选D　由题意知x－y＝0 和x－y－4＝0之间的距离为＝2，所以r＝.又因为y＝－x与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为(0,0)，由y＝－x 和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.‎ ‎4．已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是(　　)‎ A. B．‎1 C. D. 解析：选C　圆心(－1，－1)到点M的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d＝＝，故点N到点M的距离的最小值为d－1＝.‎ ‎5．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m，0)(m>0)．若圆C 上存在点P，使得 ∠APB＝90°，则 m的最大值为(　　)‎ A．7 B．‎6 ‎‎ C．5 D．4‎ 解析：选B　根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝‎2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝ ＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m 的最大值为6.‎ ‎6．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)‎ A．5－4 B.－‎1 ‎‎ C．6－2 D. 解析：选A　圆C1，C2的图象如图所示．设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，连接C1′C2，与x轴交于点P，连接PC1，可知|PC1|＋|PC2|的最小值为|C1′C2|＝＝5，则|PM|＋|PN|的最小值为5－4.‎ 二、填空题 ‎7．在平面直角坐标系内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋‎5a2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为________．‎ 解析：圆C的标准方程为(x＋a)2＋(y－‎2a)2＝4，所以圆心为(－a,‎2a)，半径r＝2，故由题意知解得a<－2，故实数a的取值范围为(－∞，－2)．‎ 答案：(－∞，－2)‎ ‎8．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝________.‎ 解析：由题意知，圆的半径r＝＝≤1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，所以直线方程为y＝－x＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝.‎ 答案： ‎9．已知圆x2＋y2－4ax＋2by＋b2＝0(a>0，b>0)关于直线x－y－1＝0对称，则ab的最大值是________．‎ 解析：由圆x2＋y2－4ax＋2by＋b2＝0(a>0，b>0)关于直线x－y－1＝0对称，可得圆心(‎‎2a ‎，－b)在直线x－y－1＝0上，故有‎2a＋b－1＝0，即‎2a＋b＝1≥2，解得ab≤，故ab的最大值为.‎ 答案： ‎10．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程为 ________________.‎ 解析：由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，a), 半径为r，则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，即r2＝，|a|＝，‎ 即a＝±，故圆C的方程为x2＋2＝.‎ 答案：x2＋2＝ 三、解答题 ‎11．已知圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，求圆C的方程．‎ 解：因为圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，‎ 所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－＝－6，‎ 其方程为y＋1＝－6(x－4)，‎ 即y＝－6x＋23.‎ 又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y－＝－，‎ 即5x＋7y－50＝0上，‎ 由解得圆心为(3,5)，‎ 所以半径为＝，‎ 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.‎ ‎12．已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值．‎ 解：(1)设圆心C(a，b)，由已知得M(－2，－2)，‎ 则解得 则圆C的方程为x2＋y2＝r2，‎ 将点P的坐标代入得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2.‎ ‎(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，‎ ‎·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)‎ ‎＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2.‎ 令x＝cos θ，y＝sin θ，‎ 所以·＝x＋y－2‎ ‎＝(sin θ＋cos θ)－2‎ ‎＝2sin－2，‎ 又min＝－1，‎ 所以·的最小值为－4.‎