2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第1章 1

2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第1章 1

www.ks5u.com ‎1.1　空间向量及其运算 ‎1.1.1　‎空间向量及其线性运算 ‎ 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.理解空间向量的概念．(难点)‎ ‎2.掌握空间向量的线性运算．(重点)‎ ‎3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点)‎ ‎1.通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养.‎ ‎2.借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养.‎ 国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？‎ 图1　　　　　　图2‎ 如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？‎ ‎1．空间向量 ‎(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．‎ ‎(2)长度或模：空间向量的大小．‎ ‎(3)表示方法：‎ ‎①几何表示法：空间向量用有向线段表示；‎ ‎②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B ‎，也可记作：，其模记为|a|或||.‎ ‎2．几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 ‎0‎ ‎0‎ 单位向量 任意 ‎1‎ 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b ‎3.空间向量的线性运算 ‎(1)向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法运算律 ‎①交换律：a＋b＝b＋a ‎②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)‎ ‎(2)空间向量的数乘运算 ‎①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．‎ 当λ>0时，λa与向量a方向相同；‎ 当λ<0时，λa与向量a方向相反；‎ 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．‎ ‎②运算律 a．结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.‎ b．分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.‎ 思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？‎ ‎[提示]　没有关系．‎ ‎4.共线向量 ‎(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 ‎，则这些向量叫做共线向量或平行向量．‎ ‎(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．‎ 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.‎ ‎(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.‎ ‎(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa.‎ ‎5．共面向量 ‎(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．‎ ‎(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.‎ ‎(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y), 使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y.‎ 思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？‎ ‎(2)若空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足＝＋＋，则点P与点A，B，C是否共面？‎ ‎[提示]　(1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．‎ ‎(2)由＝＋＋得－＝(－)＋(－)‎ 即＝＋，因此点P与点A，B，C共面．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)空间向量a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c． (　　)‎ ‎(2)相等向量一定是共线向量． (　　)‎ ‎(3)三个空间向量一定是共面向量． (　　)‎ ‎(4)零向量没有方向． (　　)‎ ‎[提示]　(1)×　若b＝0时，a与c不一定平行．‎ ‎(2)√　相等向量一定共线，但共线不一定相等．‎ ‎(3)×　空间两个向量一定是共面向量，但三个空间向量可能是共面的，也可以是不共面的．‎ ‎(4)×　零向量有方向，它的方向是任意的．‎ ‎2．如图所示，在四棱柱ABCDA1B1C1D1所有的棱中，可作为直线A1B1的方向向量的有(　　)‎ A．1个　B．2个 C．3个 D．4个 D　[共四条AB，A1B1，CD，C1D1.]‎ ‎3．点C在线段AB上，且|AB|＝5，|BC|＝3，＝λ，则λ＝________.‎ ‎－　[因为C在线段AB上，所以与方向相反，又因|AB|＝5，|BC|＝3，故λ＝－.]‎ ‎4．在三棱锥ABCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为________．‎ ‎0　[延长DE交边BC于点F，连接AF，则有＋＝，＋＝＋＝，故＋－－＝0.]‎ 空间向量的有关概念 ‎【例1】　(1)给出下列命题：‎ ‎①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；‎ ‎②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|；‎ ‎③在正方体ABCDA1B1C1D1中，＝；‎ ‎④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.‎ 其中正确命题的序号是________．‎ ‎(2)如图所示，在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有________；与向量相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)‎ ‎(1)②③④　(2)，，　，，，　[(1)对于①，向量a与b的方向不一定相同或相反，故①错；‎ 对于②，根据相反向量的定义知|a|＝|b|，故②正确；‎ 对于③，根据相等向量的定义知，＝，故③正确；‎ 对于④，根据相等向量的定义知正确．‎ ‎(2)根据相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，.与向量相反的向量有，，，.]‎ 解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 ‎(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．‎ ‎(2)注意点：注意一些特殊向量的特性．‎ ‎①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．‎ ‎②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.‎ ‎③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量.‎ ‎[跟进训练]‎ ‎1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是(　　)‎ ‎①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；‎ ‎②平行且模相等的两个向量是相等向量；‎ ‎③若a≠b，则|a|≠|b|；‎ ‎④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．‎ A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3‎ B　[根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a＝－b时，也有|a|＝|b|，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，④不正确．综上可知只有①正确，故选B.]‎ 空间向量的线性运算 ‎【例2】　(1)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的有(　　)‎ ‎①(＋)＋；‎ ‎②(＋)＋；‎ ‎③(＋)＋；‎ ‎④(＋)＋.‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎(2)已知正四棱锥PABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值．‎ ‎①＝＋y＋z；‎ ‎②＝x＋y＋.‎ ‎[思路探究]　(1)合理根据向量的三角形和平行四边形法则，以及在平行六面体中，体对角线向量等于从同一起点出发的三条棱向量的和．如＝＋＋.‎ ‎(2)根据数乘向量及三角形或平行四边形法则求解．‎ ‎(1)D　[对于①，(＋)＋＝＋＝；‎ 对于②，(＋)＋＝＋＝；‎ 对于③，(＋)＋＝＋＝；‎ 对于④，(＋)＋＝＋＝.]‎ ‎(2)[解]　①如图，∵＝－＝－(＋)‎ ‎＝－－，‎ ‎∴y＝z＝－.‎ ‎②∵O为AC的中点，Q为CD的中点，‎ ‎∴＋＝2，＋＝2，‎ ‎∴＝2－，＝2－，‎ ‎∴＝2－2＋，∴x＝2，y＝－2.‎ ‎1．空间向量加法、减法运算的两个技巧 ‎(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．‎ ‎(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．‎ ‎2．利用数乘运算进行向量表示的技巧 ‎(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．‎ ‎(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎2．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则－＋等于(　　)‎ A．　　B．3 C．3 D．2 B　[－＋＝－(－)＝－ ‎＝＋＝＋2＝3.]‎ 共线问题 ‎【例3】　(1)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4‎ e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________.‎ ‎(2)如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．‎ ‎[思路探究]　(1)根据向量共线的充要条件求解．‎ ‎(2)根据数乘向量及三角形法则，把表示成λ的形式，再根据向量共线的充要条件求解．‎ ‎(1)1　[＝＋＋＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2.‎ 设＝λ，则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)，‎ 所以，解得k＝1.]‎ ‎(2)[解]　法一：因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形，所以＝＋＋＝＋＋.‎ 又因为＝＋＋＋＝－＋－－，以上两式相加得＝2，‎ 所以∥，即与共线．‎ 法二：因为四边形ABEF为平行四边形，所以连接AE时，AE必过点N.‎ ‎∴＝－＝2－2 ‎＝2(－)＝2.‎ 所以∥，即与共线．‎ 证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．‎ ‎(1)存在实数λ，使＝λ成立．‎ ‎(2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)．‎ ‎(3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.‎ 求证：E，F，B三点共线．‎ ‎[证明]　设＝a，＝b，＝c，‎ 因为＝2，＝，‎ 所以＝，＝，‎ 所以＝＝b，‎ ＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c，所以＝－＝a－b－c＝.‎ 又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，‎ 所以＝，所以E，F，B三点共线.‎ 向量共面问题 ‎[探究问题]‎ ‎1．什么样的向量算是共面向量？‎ ‎[提示]　能够平移到同一个平面内的向量称为共面向量．‎ ‎2．能说明P，A，B，C四点共面的结论有哪些？‎ ‎[提示]　(1)存在有序实数对(x，y)，使得＝x＋y.‎ ‎(2)空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数组(x，y，z)使得＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)．‎ ‎(3)四点中任意两点的方向向量与另外两点的方向向量共线，如∥.‎ ‎3．已知向量a，b，c不共面，且p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，试判断p，m，n是否共面．‎ ‎[提示]　设p＝xm＋yn，即3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋‎ y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c.‎ 因为a，b，c不共面，所以 而此方程组无解，所以p不能用m，n表示，‎ 即p，m，n不共面．‎ ‎【例4】　已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若点M满足＝＋＋.‎ ‎(1)判断，，三个向量是否共面；‎ ‎(2)判断M是否在平面ABC内．‎ ‎[思路探究]　(1)根据向量共面的充要条件，即判断是否＝x＋y；(2)根据(1)的结论，也可以利用＝x＋y＋z中x＋y＋z是否等于1.‎ ‎[解]　(1)∵＋＋＝3，‎ ‎∴－＝(－)＋(－)，‎ ‎∴＝＋＝－－，‎ ‎∴向量，，共面．‎ ‎(2)由(1)知向量，，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内．‎ ‎1．[变条件]若把本例中条件“＝＋＋”改为“＋2＝6－3”，点P是否与点A、B、C共面．‎ ‎[解]　∵3－3＝＋2－3＝(－)＋(2－2)，‎ ‎∴3＝＋2，即＝－2－3.‎ 根据共面向量定理的推论知：点P与点A，B，C共面．‎ ‎2．[变条件]若把本例条件变成“＋＝4－”，点P是否与点A、B、C共面．‎ ‎[解]　设＝＋x＋y(x，y∈R)，则 ＋x＋y＋＝4－，‎ ‎∴＋x(－)＋y(－)＋＝4－，‎ ‎∴(1－x－y－4)＋(1＋x)＋(1＋y)＝0，‎ 由题意知，，均为非零向量，所以x，y满足：‎ 显然此方程组无解，故点P与点A，B，C不共面．‎ ‎3．[变解法]上面两个母题探究，还可以用什么方法判断？‎ ‎[解]　(1)由题意知，＝＋＋OC.‎ ‎∵＋＋＝1，∴点P与点A、B、C共面．‎ ‎(2)∵＝4－－，而4－1－1＝2≠1.‎ ‎∴点P与点A、B、C不共面．‎ 解决向量共面的策略 (1)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.‎ (2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.‎ ‎1．一些特殊向量的特性 ‎(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的．‎ ‎(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.‎ ‎(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．‎ ‎2.＝＋x＋y称为空间平面ABC的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．‎ ‎3．证明(或判断)A，B，C三点共线时，只需证明存在实数λ，使＝λ(或＝λ)即可，也可用“对空间任意一点O，有＝t＋(1－t)”来证明A，B，C三点共线．‎ ‎4．空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y，满足这个关系式的点都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．‎ ‎5．直线的方向向量是指与直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无穷多个，它们的方向相同或相反．‎ ‎6．向量p与向量a，b共面的充要条件是在a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立．‎ ‎1．下列条件中使M与A，B，C一定共面的是(　　)‎ A．＝2－－ B．＝＋＋ C．＋＋＝0‎ D．＋＋＋＝0‎ C　[由＋＋＝0得＝－－，故M，A，B，C共面．]‎ ‎2．已知正方体ABCDA1B1C1D1，若点F是侧面CD1的中心，且＝＋m－n，则m，n的值分别为(　　)‎ A．，－　　　　 B．－，－ C．－， D．， A　[由于＝＋＝＋(＋)＝＋＋，所以m＝，n＝－，故答案为A.]‎ ‎3．化简：(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝________.‎ a＋b－c　[原式＝a＋b－c＋a－b＋c－3a＋6b－3c＝a＋b＋c＝a＋b－c.]‎ ‎4．给出下列四个命题：‎ ‎①方向相反的两个向量是相反向量；‎ ‎②若a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b；‎ ‎③不相等的两个空间向量的模必不相等；‎ ‎④对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.‎ 其中正确命题的序号为________．‎ ‎④　[对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，向量是不能比较大小的，故不正确；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错；只有④正确．]‎ ‎5．设两非零向量e1，e2不共线，且ke1＋e2与e1＋ke2共线，求k的值．‎ ‎[解]　∵两非零向量e1，e2不共线，且ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴ke1＋e2＝t(e1＋ke2)，则(k－t)e1＋(1－tk)e2＝0.‎ ‎∵非零向量e1，e2不共线，∴k－t＝0,1－kt＝0，解得k＝±1.‎