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文档介绍
专题2-5 数列中的最值问题(测)-2018年高考数学(理)二轮复习讲练测
2018年高三二轮复习讲练测之测案【新课标版理科数学】 测---能力提升 热点五 数列中的最值问题 总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______ (一) 选择题(12*5=60分) 1.已知是等差数列的前项和,,,若,则的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D 【解析】 由已知且,可得,因此,即,故选D. 2.数列是等差数列,若,且它的前n项和有最大值,那么当取得最小正值时,n等于( ) A.17 B.16 C.15 D.14 【答案】C 3.等差数列{}前n项和为,满足,则下列结论中正确的是( ) A.是中的最大值 B.是中的最小值 C.=0 D.=0 【答案】D 【解析】 设等差数列的公差为,①若,可排除A,B;②,可设,∵,∴,∴ ;故选D. 4.设等差数列满足,;则数列的前项和中使得取的最大值的序号为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B 5.已知等差数列的公差若则该数列的前项和的最大值为 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由 得 故,当n=9或n=10时,的最大值为或,. 6.已知,数列 的前项和为,则使的n最小值:( ) A.99 B.100 C.101 D.102 【答案】C. 【解析】由通项公式得=====0,= 故选C. 7.【2018届高三训练】在正数组成的等比数列{an}中,若a1a20=100,则a7+a14的最小值为( ) A. 20 B. 25 C. 50 D. 不存在 【答案】A 【解析】为正数组成的等比数列, 当且仅当时, 取最小值 故选 8.已知正整数成等比数列,公比,则取最小值时,( ) A. B. C. D. 【答案】D 9.设等差数列的前n项和为,已知,当取得最小值是,( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为,所以,因为,故,所以,令,得,所以当取得最小值时. 10. 已知数列中满足,,则的最小值为( ) A.7 B. C.9 D. 【答案】D 【解析】由题意知,,,,将以上个式子相加,得,所以, ,令,,当时,, 当,,,,故最小最值,故答案为D. 11.若在数列{an}中,对任意正整数n,都有 (p为常数),则称数列{an }为“等方和数列”,称p为“公方和”,若数列{an}为“等方和数列”,其前n项和为Sn,且“公方和”为1,首项a1=1,则S2 014的最大值与最小值之和为( ) A. 2 014 B. 1 007 C. -1 D. 2 【答案】D 【解析】由题意可知, , 首项a1=1,∴a2=0,a3=±1,a4=0,a5=±1,…, ∴从第2项起,数列的奇数项为1或-1,偶数项为0, ∴S2 014的最大值为1 007,最小值为-1 005, ∴S2 014的最大值与最小值之和为2. 本题选择D选项. 12.【2018届河北省定州市定州中学高三上期末】若正项递增等比数列满足,则的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为q(q>1),1+(a2-a4)+λ(a3-a5)=0,可得λ=则a8+λa9=a8+令,(t>0),q2=t+1,则设f(t)=当t>时,f(t)递增; 当0<t<时,f(t)递减. 可得t=处,此时q=,f(t)取得最小值,且为,则a8+λa9的最小值为; 故选C. (一) 填空题(4*5=20分) 13.【2018届山东省曲阜市高三上期中】若等差数列满足,则当 __________时, 的前项和最大. 【答案】8 【解析】由等差数列的性质,,,又因为,所以 所以,所以,,故数列的前8项最大. 14.【2018届甘肃省肃南裕固族自治县第一中学高三1月检测】等差数列中, ,公差,则使前项和取得最大值的自然数是__________. 【答案】5或6 【解析】∵d<0,|a3|=|a9|,∴a3=-a9,∴a1+2d=-a1-8d,∴a1+5d=0,∴a6=0,∴an>0(1≤n≤5), ∴Sn取得最大值时的自然数n是5或6. 故答案为5或6. 15.【2018届吉林省普通中学高三第二次调研】已知数列中,前项和为,且,则的最大值为_________ 【答案】2 16.【2018届四川省广元市高三第一次高考适应性统考】若正项递增等比数列满足,则的最小值为__________. 【答案】 【解析】由题设正项递增等比数列的公比为 则,根据已知则由 即 故 ,设 ,则构造函数 求导得 ,可知函数在 上单调递减,在 上单调递增,故当 取得最小值,即 即答案为. (一) 解答题题(6*12=72分) 17.【2018届西南名校联盟高三元月考试】已知数列为等差数列,公差为,其前项和为,且, . (1)求数列的通项公式及前项和; (2)若数列满足, ,求满足的所有的值. 【答案】(Ⅰ) , (Ⅱ)或. 【解析】试题分析:(1)根据, ,可分别求出和,即可求出数列的通项公式及前项和;(2)由(1)求出数列的通项公式,然后即可求出满足的所有的值. 试题解析:(1)∵, , ∴, ,得, ,∴, ∴ ,得,∴ . (2)∵, , ∴ , 又 ∴, 故由得 ∴或. 18.【2018届北京市西城区高三上学期期末】已知数列是公比为的等比数列,且是和的等差中项. (I)求的通项公式; (Ⅱ)设数列的前项之积为,求的最大值. 【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) . 试题解析: (Ⅰ)因为 是和的等差中项, 所以 . 因为数列是公比为的等比数列, 所以 , 解得 . 所以 . (Ⅱ)令,即,得, 故正项数列的前项大于1,第项等于1,以后各项均小于1. 所以 当,或时, 取得最大值, 的最大值为 . 19.【2018届江西省莲塘一中、临川二中高三上第一次联考】各项均为正数的数列的前项和为,满足 (1)求数列的通项公式; (2)令,若数列的前项和为,求的最小值. 【答案】(1) ;(2) 最小值为. 试题解析: (1),所以或(舍去) 当时, , ,所以. (2),故, 因为是递增的,所以 令,则,故在上是增函数, 所以是递增的,则有, 所以的最小值为. 20.在数列中,时,其前项和满足:. (Ⅰ)求证:数列是等差数列,并用表示; (Ⅱ)令,数列的前项和为求使得对所有都成立的实数的取值范围. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)实数的取值范围为. 【解析】(Ⅰ)当时, ,即数列是等差数列,首项,公差 (Ⅱ) 由题即 对于所有都成立 设由题 函数在上是减函数,在上是增函数 故数列从第二项起递减,而, 满足题意的实数的取值范围为. 21.已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为,数列的前n项和为,点均在函数的图像上. (1)求数列的通项公式; (2)设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m. 【答案】(1) ;(2)10. (Ⅱ)由(Ⅰ)得知==, 故Tn===(1-). 因此,要使(1-)<()成立的m,当且仅当≤, 即m≥10,所以满足要求的最小正整数m为10. 22.已知数列的前项和为,, ,. (Ⅰ) 求证:数列是等比数列; (Ⅱ) 设数列的前项和为,,点在直线上,若不等式 对于恒成立,求实数的最大值. 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)实数的最大值是. (Ⅱ)由(Ⅰ)得,因为点在直线上,所以, 故是以为首项,为公差的等差数列,则,所以, 当时,,因为满足该式,所以 所以不等式,即为, 令,则, 两式相减得, 所以,由恒成立,即恒成立, 又, 故当时,单调递减;当时,; 当时,单调递增;当时,; 则的最小值为,所以实数的最大值是.查看更多