2018届二轮复习　三角函数（教师版）学案（全国通用）

2018届二轮复习　三角函数（教师版）学案（全国通用）

第1讲　三角函数 三角函数、解三角形、平面向量与数列 考向预测 ‎1．三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；‎ ‎2．利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查；‎ ‎3．三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心．‎ 知识与技巧的梳理 ‎1．常用三种函数的图象性质(下表中k∈Z)‎ 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 递增 区间 递减 区间 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称 中心 ‎(kπ，0)‎ 对称轴 x＝kπ＋‎ x＝kπ 周期性 ‎2π ‎2π π ‎2．三角函数的常用结论 ‎(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z ‎)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．‎ ‎(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．‎ ‎(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．‎ ‎3．三角函数的两种常见变换 ‎(1)y＝sin x y＝sin(ωx＋φ)‎ y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)．‎ y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)．‎ ‎4．三角函数公式 ‎(1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，．‎ ‎(2)诱导公式：对于“，k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限．‎ ‎(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎．‎ ‎(4)二倍角公式：，．‎ ‎(5)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中．‎ 热点题型 热点一　三角函数的图象 ‎【例1】(1)某同 用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎－5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．‎ ‎(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎(1)解　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，．数据补全如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x π Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎－5‎ ‎0‎ 且函数表达式为．‎ ‎(2)由(1)知，根据图象平移变换，得．‎ 因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z．‎ 令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，‎ 解得，k∈Z．‎ 由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，令，k∈Z，解得，k∈Z．‎ 由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值．‎ ‎(2)解析　(1)由题意知A＝2，，ω＝2，‎ 因为当时取得最大值2，‎ 所以，‎ 所以，k∈Z，解得φ＝2kπ－，k∈Z，‎ 因为|φ|<，得φ＝－．‎ 因此函数．‎ 探究提高　1．“五点法”作图：设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．‎ ‎2．在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．‎ ‎3．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．‎ ‎【训练1】 (1)(2017·菏泽二模)偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中△EFG是斜边为4的等腰直角三角形(E，F是函数与x轴的交点，点G在图象上)，则f(1)的值为(　　)‎ A． B． C． D．2 ‎(2)(2017·贵阳调研)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示．‎ ‎①求函数f(x)的解析式；‎ ‎②将函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原 的倍，再把所得的函数图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最小值．‎ ‎(1)解析　依题设，＝|EF|＝4，T＝8，ω＝．‎ ‎∵函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，且0<φ<π．∴φ＝，‎ 在等腰直角△EGF中，易求A＝2．‎ 所以f(x)＝2sin＝2cosx，则f(1)＝．‎ 答案　C ‎(2)解　①设函数f(x)的最小正周期为T，由题图可知A＝1，＝－＝，‎ 即T＝π，所以π＝，解得ω＝2，‎ 故f(x)＝sin(2x＋φ)．‎ 由0＝sin可得＋φ＝2kπ，k∈Z，‎ 则φ＝2kπ－，k∈Z，因为|φ|＜，所以φ＝－，‎ 故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin．‎ ‎②根据条件得g(x)＝sin，‎ 当x∈时，4x＋∈，‎ 所以当x＝时，g(x)取得最小值，且g(x)min＝．‎ 热点二　三角函数的性质 ‎【例2】 (2016·天津卷)已知函数f(x)＝4tanx sin·cos－．‎ ‎(1)求f(x)的定义域与最小正周期；‎ ‎(2)讨论f(x)在区间上的单调性．‎ 解　(1)f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}，‎ f(x)＝4tan xcos xcos－ ‎＝4sin xcos－ ‎＝4sin x－ ‎＝2sin xcos x＋2sin2x－ ‎＝sin 2x－cos 2x ‎＝2sin．‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π．‎ ‎(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z．‎ 设A＝，，易知A∩B＝．‎ 所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．‎ 探究提高　1．讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．‎ ‎2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间，是将ωx＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y＝Asin(ωx＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A＞0，ω＜0时，需先利用诱导公式变形为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间．‎ ‎【训练2】 (2017·浙江卷)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．‎ ‎(1)求f 的值；‎ ‎(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．‎ 解　(1)f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin，‎ 则f ＝－2sin＝2．‎ ‎(2)f(x)的最小正周期为π．‎ 由正弦函数的性质，令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z．‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z．‎ 热点三　三角函数图象与性质的综合应用 ‎【例3】 (2017·西安调研)已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx－(ω>0)的最小正周期为π．‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间．‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值．‎ 解　(1)f(x)＝2sin ωxcosωx＋(2sin2ωx－1)＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin．‎ 由最小正周期为π，得ω＝1，‎ 所以f(x)＝2sin，‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ 整理得kπ－≤x≤kx＋，k∈Z，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z．‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y＝2sin 2x＋1的图象；‎ 所以g(x)＝2sin 2x＋1．‎ 令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，‎ 所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g(x)在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可．‎ 所以b的最小值为4π＋＝．‎ 探究提高　1．研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Acos(ωx＋φ)＋B)的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解．‎ ‎2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝．应特别注意y＝|Asin(ωx＋φ)|的最小正周期为T＝．‎ ‎【训练3】 (2017·山东卷)设函数f(x)＝sin＋sin，其中0＜ω＜3，已知f ＝0．‎ ‎(1)求ω；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原 的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．‎ 解　(1)因为f(x)＝sin＋sin，‎ 所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx ‎＝sin ωx－cos ωx＝ ‎＝sin．‎ 由题设知f ＝0，‎ 所以－＝kπ，k∈Z，‎ 故ω＝6k＋2，k∈Z．‎ 又0＜ω＜3，所以ω＝2．‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝sin，‎ 所以g(x)＝sin＝sin．‎ 因为x∈，所以x－∈，‎ 当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－．‎ 热点四　三角恒等变换及应用 ‎【例4】 (1)(2015·重庆卷)若tan α＝2tan ，则＝(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 解析　＝＝ ‎＝＝＝＝3．‎ 答案　C　‎ 探究提高　1．三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值．‎ ‎2．解决条件求值问题的三个关注点 ‎(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角 表示未知角．‎ ‎(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值 表示．‎ ‎(3)解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．‎ ‎【训练4】 (1)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则cos(α－β)＝________．‎ ‎(2)(2017·石家庄质检)若cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0<β<<α<，则α＋β的值为________．‎ 解析　(1)α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z．‎ ‎∴cos(α－β)＝cos(α－π＋α－2kπ)＝－cos 2α＝－(1－2sin2α)＝－＝－．‎ ‎(2)因为cos(2α－β)＝－且<2α－β<π，‎ 所以sin(2α－β)＝．‎ 因为sin(α－2β)＝且－<α－2β<，‎ 所以cos(α－2β)＝．‎ 所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]‎ ‎＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)‎ ‎＝－×＋×＝．‎ 因为<α＋β<，所以α＋β＝．‎ 答案　(1)－　(2) ‎（45分钟）‎ 限时训练 经典常规题 ‎1．(2016·全国Ⅱ卷)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　)‎ A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)‎ C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)‎ ‎【解题思路】 平移原则：左加右减，进而得到函数的解析式．‎ ‎【答案】　由题意将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin，由2x＋＝kπ＋(k∈Z)得函数的对称轴为x＝＋(k∈Z)．故选B．‎ ‎2．(2017·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　)‎ A． B．1 C． D． ‎【解题思路】 观察原式中两角度关系会发现它们互余，利用诱导公式求解．‎ ‎【答案】　cos ＝cos＝sin，则f(x)＝sin＋sin＝sin，函数的最大值为．故选A．‎ ‎3．(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)‎ A．f(x)的一个周期为－2π B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x＋π)的一个零点为x＝ D．f(x)在单调递减 ‎【解题思路】 逐一验证f(x)的性质．‎ ‎【答案】　函数f(x)＝cos的图象可由y＝cos x的图象向左平移个单位得到，如图可知，f(x)在上先递减后递增，D选项错误．‎ 故选D．‎ ‎4．(2017·天津卷)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π．若f ＝2，f ＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　　)‎ A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－ C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝ ‎【解题思路】 f ＝2，f ＝0两点之间间隔,由周期确定，再代入f ＝2求出．‎ ‎【答案】　∵f ＝2，f ＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，‎ ‎∴f(x)的最小正周期为4＝3π，‎ ‎∴ω＝＝，‎ ‎∴f(x)＝2sin．‎ ‎∴2sin＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z，‎ 又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝．‎ 故选A．‎ ‎5．(2016·全国Ⅲ卷)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝(　　)‎ A． B． C．1 D． ‎【解题思路】 分母除以1（），再分式上下同除以化．‎ ‎【答案】　tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝．‎ 故选A．‎ 高频易错题 ‎1．(2017·山东卷)函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　)‎ A． B． C．π D．2π ‎【解题思路】 利用辅助角公式化为形式，进而．‎ ‎【答案】　∵y＝2＝2sin ，‎ ‎∴T＝＝π．故选C．‎ ‎2．(2016·北京卷)将函数y＝sin图象上的点P向左平移s(s＞0)个单位长度得到点P′．若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则(　　)‎ A．t＝，s的最小值为 B．t＝，s的最小值为 C．t＝，s的最小值为 D．t＝，s的最小值为 ‎【解题思路】 由P在函数y＝sin图象上确定的值，再根据平移确定s的值．‎ ‎【答案】　点P在函数y＝sin图象上，‎ 则t＝sin＝sin＝．‎ 又由题意得y＝sin＝sin 2x，‎ 故s＝＋kπ，k∈Z，所以s的最小值为．故选A．‎ ‎3．(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)‎ A．把C1上各点的横坐标伸长到原 的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B．把C1上各点的横坐标伸长到原 的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C．把C1上各点的横坐标缩短到原 的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D．把C1上各点的横坐标缩短到原 的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ ‎【解题思路】 先把y＝cos x用诱导公式化为正弦形式，再根据平移伸缩原则确定答案．‎ ‎【答案】　易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原 的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2，因此D项正确．故选D．‎ ‎4．(2017·长沙一中调研)已知f(x)＝asin x－bcos x，若f ＝f ，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为(　　)‎ A． B． C． D． ‎【解题思路】 由f ＝f ，可得x＝是其对称轴，再根据特殊值确定a ，b的关系．‎ ‎【答案】　在f ＝f 中，令x＝，得f(0)＝f ，即－b＝a，‎ ‎∴直线ax－by＋c＝0的斜率k＝＝－1．‎ 因此直线的倾斜角为π．故选D．‎ ‎5．(2017·德州二模)已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，那么β＝(　　)‎ A． B． C． D． ‎【解题思路】 注意观察角度关系，配凑β＝α－(α－β)，注意sin(α－β)的符号．‎ ‎【答案】　由cos α＝，0<α<，得sin α＝，‎ 又cos＝，0<β<α<，即0<α－β<，得sin(α－β)＝，‎ 则cos β＝cos[α－(α－β)]‎ ‎＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)‎ ‎＝×＋×＝，‎ 由0<β<，得β＝．故选C．‎ 精准预测题 ‎1．(2017·九江三模)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0)，f′(x)是f(x)的导函数，若f(α)＝0，‎ f′(α)>0，且f(x)在区间上没有最小值，则ω取值范围是(　　)‎ A．(0，2) B．(0，3] C．(2，3] D．(2，＋∞)‎ ‎【解题思路】 由f(α)＝0，f′(α)>0可知α是函数增区间上的零点，f(x)在区间上没有最小值，则函数的最小值实质是在处取到，由于是开区间，这个区间上取不到这个最小值．‎ ‎【答案】　由题意，f(α)＝0，f′(α)>0，且f(x)在区间上没有最小值．‎ ‎∴<≤T，∴<≤·．‎ ‎∴2<ω≤3．故选C．‎ ‎2．(2017·衡水二模)将函数y＝sin x的图象向左平移个单位后得到函数y＝f(x)的图象，已知函数y＝f(x)与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)的图象有一个横坐标为的交点，则φ＝________．‎ ‎【解题思路】 求出f(x)的解析式，y＝f(x)与y＝sin(2x＋φ)在处有公共点，由y＝f(x)确定这个点，再代入y＝sin(2x＋φ)．‎ ‎【答案】　依题意，f(x)＝sin＝cos x．‎ 又y＝f(x)与y＝sin(2x＋φ)的图象有一个横坐标为的交点．‎ ‎∴cos＝sin，即sin＝sin，∴＝＋φ＋2kπ，k∈Z或＋＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，即φ＝－－2kπ，k∈Z或φ＝＋2kπ，k∈Z，且0≤φ≤π，则φ＝．故填．‎ ‎3．(2017·池州模拟)已知sin＝，则sin＝________．‎ ‎【解题思路】 已知角度与所求角度互余．‎ ‎【答案】　∵sin＝，‎ ‎∴cos＝cos＝sin＝；‎ 又0<α<，∴<＋α<，‎ ‎∴sin＝＝＝．故填．‎ ‎4．(2016·山东卷)设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2．‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原 的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．‎ ‎【解题思路】 利用二倍角公式，辅助角公式把f(x)化为形式．‎ ‎【答案】 解　(1)f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2‎ ‎＝2sin2x－(1－2sin xcos x)‎ ‎＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1‎ ‎＝sin 2x－cos 2x＋－1‎ ‎＝2sin＋－1，‎ 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 解得，kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．‎ 所以，f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，经过变换后，g(x)＝2sin x＋－1，‎ 所以g＝2sin ＋－1＝．‎ ‎5．(2017·西安模拟)已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x＋．‎ ‎(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；‎ ‎(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．‎ ‎【解题思路】 利用二倍角公式，辅助角公式把f(x)化为形式．‎ ‎【答案】 解　(1)f(x)＝cos xsin x－(2cos2x－1)＝sin 2x－cos 2x＝sin．‎ 当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1．‎ ‎(2)由(1)知，函数f(x)图象的对称轴为，k∈Z，‎ ‎∴当x∈(0，π)时，对称轴为x＝π，．‎ 又方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2．结合图象可知，‎ ‎∴x1＋x2＝π，则x1＝π－x2，‎ ‎∴cos(x1－x2)＝cos＝sin，‎ 又f(x2)＝sin＝，‎ 故cos(x1－x2)＝．‎