陕西省宝鸡中学2020届高三上学期第一次联考数学（文）试题

陕西省宝鸡中学2020届高三上学期第一次联考数学（文）试题

五校联考 西安市第三中学 宝鸡中学 汉中市龙岗学校 ‎ 渭南高级中学 延安市新区高级中学 ‎2020届高三第一次五校联考文科数学试题（卷）‎ 命题：宝鸡中学 ‎ 校题：宝鸡中学 ‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码或二维码准确粘贴在条形码或二维码者粘贴处。‎ ‎2.答题时请按要求用笔。‎ ‎3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效。‎ ‎4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带或刮纸刀。 ‎ 第I卷 ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.计算（为虚数单位）等于（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知一组数据点用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据的平均数为1，则（ ）‎ A．2 B．‎11 ‎ C．12 D．14‎ ‎4.经过原点且与直线相切于点的圆的标准方程为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎5. 已知向量．若向量，则实数m等于(　　)‎ A．3 B．‎-3 C． D．－ ‎6.如图，在程序框图中，若输入，则输出的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.如图，正三棱柱中， 是中点，则下列叙述正确的是（ ）‎ A．与是异面直线 B．平面 C．，为异面直线，且 D．平面 ‎8. 赵爽是我国古代的数学家、天文学家，大约在公元年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数也为定值的是(　　).‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则在区间上函数的图像与轴的交点的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知点是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的 一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.函数若，且，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第II卷 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 已知函数，则_______．‎ ‎14. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“庆国庆70周年，爱国主义知识大赛”活动，决出第1名到第5名的名次。甲乙两名同学去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”。从以上回答分析，丙是第一名的概率是 .‎ ‎15. 若变量满足约束条件则的最大值等于 .‎ ‎16. 已知是球的球面上的两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为________.‎ 三．解答题（本题共6小题，共70分，请在指定位置写出解答过程）‎ ‎17.（本小题12分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）当，且时，的值域是，求a，b的值．‎ ‎18.（本小题12分）交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为，其范围为，分别有五个级别：畅通；基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵．晚高峰时段(‎ ‎)，从某市交通指挥中心选取了市区个交通路段，依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示．‎ ‎（Ⅰ）用分层抽样的方法从交通指数在，，的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；‎ ‎（Ⅱ）从（Ⅰ）中抽出的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率．‎ ‎19.（本小题12分）如图，在四棱锥中，，且.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若，，且四棱锥 ‎ 的体积为，求该四棱锥的侧面积．‎ ‎20.（本小题12分） 已知函数，曲线在点处的切线 方程为．‎ ‎（Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）求在上的最大值；‎ ‎21.（本小题12分）如图，已知椭圆经过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点为椭圆与轴正半轴的交点，点为线段的中点，点是椭圆上的动点（异于椭圆顶点）且直线分别交直线于两点，问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎（本小题10分）已知直线：（为参数，为的倾斜角），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线为：．‎ ‎（Ⅰ）若直线与曲线相切，求的值；‎ ‎（Ⅱ）设曲线上任意一点的直角坐标为，求的取值范围．‎ ‎23.【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎（本小题10分）若实数满足，则称比接近．‎ ‎（Ⅰ）若比1接近3,求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）已知，求证：接近0．‎ ‎2020届高三第一次五校联考文科数学参考答案 一、 选择题：‎ A卷：DADAD BCACB DA B卷：BCDBA BADCB CB 二、 填空题：‎ 13. ‎2； 14. ； 15. 10； 16..‎ 三、 解答题：‎ ‎17. （Ⅰ）…………3分 所以，递增区间为，．…………6分 ‎（Ⅱ），‎ 而，则，所以，…………10分 故，所以． …………12分 ‎18. （Ⅰ）由直方图可知：‎ ‎，，．‎ 所以这个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为个，个，个 ‎ …………3分 ‎ 拥堵路段共有个，按分层抽样从个路段中选出个，每种情况分别为：，，，‎ 即这三个级别路段中分别抽取的个数为，，． …………6分 ‎（Ⅱ）记（Ⅰ）中选取的个轻度拥堵路段为，选取的个中度拥堵路段为，选取的个严重拥堵路段为，则从个路段选取个路段的可能情况如下：‎ ‎，，，，，，，‎ ‎，，，，，，，共种可能，‎ 其中至少有个轻度拥堵的有：，，，，，，，，共种可能. …………10分 所以所选个路段中至少个路段轻度拥堵的概率为． …………12分 ‎19. （Ⅰ）由已知，得，．‎ 由于，故，从而平面．‎ 又平面，所以平面平面．‎ ‎ …………6分 ‎（Ⅱ）在平面内作，垂足为．‎ 由（Ⅰ）知，面，故，可得平面．‎ 设，则由已知可得，．‎ 故四棱锥的体积．由题设得，故．‎ 从而，，．‎ 可得四棱锥的侧面积为 ‎ ．…………12分 ‎20. （Ⅰ），‎ 由题设得，，解得，．………4分 ‎（Ⅱ）由（1）知，所以，，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以， …………10分 所以在上单调递增，所以． …………12分 ‎21. （Ⅰ）由已知得，，解之得，所以椭圆的方程为 ‎ ‎ …………4分 ‎ ‎ ‎（Ⅱ）由已知，点的坐标为，得直线的方程为 ‎ 设 因三点共线，故整理得 ‎ 因三点共线，故整理得 因点在椭圆上，故 …………8分 从而 所以为定值． …………12分 ‎22.解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣6x+5=0‎ 即（x﹣3）2+y2=4曲线C为圆心为（3，0），半径为2的圆．‎ 直线l的方程为：xsinα﹣ycosα+sinα=0‎ 因为直线l与曲线C相切所以 即 又α∈[0，π）所以 …………5分 ‎(II)设x=3+2cosθ，y=2sinθ则 x+y=3+2cosθ+2sinθ=‎ 所以x+y的取值范围是． …………10分 ‎23.解：（Ⅰ）由已知得，则，‎ 所以，的取值范围为. …………5分 ‎(II) 接近0‎ ‎,‎ 由已知,上式显然成立，得证. …………10分 ‎ ‎