【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题10圆锥曲线中的基本问题学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题10圆锥曲线中的基本问题学案

专题十 圆锥曲线中的基本问题 ‎【曲线的方程】‎ 在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）=0的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。 ‎ ‎【椭圆的标准方程及图象】‎ 椭圆的标准方程：‎ ‎（1）中心在原点，焦点在x轴上：； （2）中心在原点，焦点在y轴上：‎ 椭圆的图像：‎ ‎（1）焦点在x轴： （2）焦点在y轴： ； 。‎ 【双曲线】 ‎ 双曲线第一定义：‎ 平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于定长2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线，即||PF1|-|PF2||=2a（2a＜|F1F2|）。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点射线，若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在；若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。‎ 双曲线的第二定义：‎ 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e（e＞1）的动点的轨迹叫双曲线。‎ 双曲线的标准方程及图象 双曲线的标准方程：‎ ‎（1）中心在原点，焦点在x轴上：；‎ ‎（2）中心在原点，焦点在y轴上：‎ 双曲线的图像：‎ ‎（1）焦点在x轴上的双曲线的图像  （2）焦点在y轴上的双曲线的图像 ‎ ‎ ‎【抛物线】‎ 平面内与一个定点F和一条定直线l(F∈l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线，抛物线的定义也可以说成是：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比等于1的点的轨迹．‎ ‎【直线的方程】‎ 直线方程的定义：‎ 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。‎ 直线方程的几种形式：‎ ‎1.点斜式方程： （1）（直线l过点，且斜率为k）。 （2）当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。  2.斜截式方程：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线的方程为：y=kx+b，它不包括垂直于x轴的直线。  3.两点式方程：已知直线经过（x1，y1），（x2，y2）两点，则直线方程为： 4.截距式方程：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为：（a、b≠0）。 5.一般式方程：（1）定义：任何直线均可写成：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的形式。（2）特殊的方程如：平行于x轴的直线：y=b（b为常数）；平行于y轴的直线：x=a（a为常数）。‎ ‎【2017年高考全国Ⅰ卷,文20】‎ 设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．‎ ‎（1）求直线AB的斜率；‎ ‎（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程．‎ ‎【答案】（1）1；（2）．‎ ‎（2）由，得．‎ 设M（x3，y3），由题设知，解得，于是M（2，1）．‎ 设直线AB的方程为，故线段AB的中点为N（2，2+m），|MN|=|m+1|．‎ 将代入得．‎ 当，即时，．‎ 从而．‎ 由题设知，即，解得．‎ 所以直线AB的方程为．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的位置关系 ‎【点拨】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，主要 利用根与系数的关系：因为直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用根与系数的关系及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用根与系数的关系直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ 答题思路 ‎【命题意图】通过考查椭圆、双曲线、抛物线的定义和标准方程以及几何性质，考查直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合考查考生的运算求解能力、逻辑思维能力、数形结合思想、函数方程思想及分类讨论思想，考查考生运用数学知识分析问题解决问题的能力.‎ ‎【命题规律】高考对解析几何的考查，两小一大，选择题、填空题、解答题的形式及出现的位置较为稳定，小题以考查椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质、直线与圆的位置关系为主，难度中等以下.2016、2017连续两年利用解答题考查抛物线、直线与抛物线的位置关系. 2015年利用解答题考查直线与圆的位置关系，难度均为中等偏上. 在注重覆盖面的同时，较为突出考查直线与抛物线的位置关系，这一特点应引起注意.‎ ‎【答题模板】‎ 解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤：‎ 第一步：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所要探求的定点、定值.‎ 第二步：探究一般情况.探究一般情形下的目标结论.‎ 第三步：下结论，综合上面两种情况定结论.‎ ‎【方法总结】‎ ‎1．解决圆有关弦长问题的两种方法：‎ ‎(1)几何法，直线被圆截得的半弦长，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝＋d2；‎ ‎(2)代数法，联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2|＝.‎ ‎2.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等.‎ ‎3.求椭圆、双曲线的离心率的方法：(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列出方程组，解出a，c的值；(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.‎ ‎(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，‎ 解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.‎ ‎(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则|AB|＝ ‎＝ (k为直线斜率).‎ 提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.‎ ‎4.（1）抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率).‎ ‎（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.‎ ‎(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.‎ 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.‎ ‎1. 【2017年高考全国Ⅱ卷,文5】若，则双曲线的离心率的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，因为，所以，则，故选C.‎ ‎【考点】双曲线离心率 ‎【点拨】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎2. 【2017年高考全国Ⅱ卷,文12】过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方）， 为的准线，点在上且,则到直线的距离为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题知，与抛物线联立得，解得 所以，因为，所以，因为，所以 所以到的距离为 ‎【考点】直线与抛物线位置关系 ‎【点拨】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.‎ ‎3．【2017年高考全国Ⅲ卷,文11】已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【考点】椭圆离心率 ‎【点拨】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎4．【2017年高考全国Ⅲ卷,文14】双曲线（a>0）的一条渐近线方程为，则a= .‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为： ，结合题意可得：.‎ ‎【考点】双曲线渐近线 ‎【点拨】1.已知双曲线方程求渐近线：‎ ‎2.已知渐近线 设双曲线标准方程 ‎3.双曲线焦点到渐近线距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点.‎ ‎5.【2017年高考北京卷，文19】已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x 轴上，离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）详见解析.‎ 联立解得点的纵坐标.‎ 由点在椭圆上，得.‎ 所以.‎ 又，‎ ‎，‎ 所以与的面积之比为.‎ ‎【考点】1.椭中·华.资*源%库 ziyuanku.com圆方程$来&源：ziyuanku.com；2.直线与椭圆的位置关系.‎ ‎【点拨】本题对考生计算能力要求较高，重点考察了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，利用的关系，确定椭圆方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，一般都是根据根与系数的关系解题，但本题需求解交点坐标，再根据面积的几何关系，从而求解面积比值，计算结果，本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎ ‎6. 【2017年高考山东卷，文15】在平面直角坐标系xOy中,双曲线 的右支与焦点为F的抛物线交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由抛物线定义可得：,‎ 因为 ,所以渐近线方程为.‎ ‎【考点】抛物线的定义与性质、双曲线的几何性质 ‎【点拨】若AB是抛物线的焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2)．则 ‎(1)y1y2＝－p2,x1x2＝.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．(3)＋为定值.‎ ‎(4)以AB为直径的圆与准线相切．(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．‎ ‎7．【2017年高考浙江卷15】如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．‎ ‎（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 解得点Q的横坐标是，因为|PA|==‎ ‎|PQ|= ，所以|PA||PQ|=‎ 令，因为，所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的位置关系 ‎【点拨】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达与的长度，通过函数求解的最大值．‎ ‎8．【2017四川泸州四诊】过抛物线： 焦点的直线与相交于两点，与的准线交于点，若，则直线的斜率（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎9.【2017福建漳州5月质检】已知双曲线的离心率等于2，其两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点， 为坐标原点， ，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得： ，则： ，双曲线的渐近线为： ，‎ 令可得： ，据此可得，解得： .‎ ‎10.【2017陕西汉中二模】已知直线l：y＝k(x－2)与抛物线C：y2＝8x 交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|＝3|BF|，则直线l的倾斜角为_______________．‎ ‎【答案】或 ‎11.【2017广东佛山二模】点，抛物线： （）的准线为，点在上，作于，且， ，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设焦点为F，则 所以 ‎ ‎12.【2017安徽马鞍山三模】已知曲线， ，直线与曲线相交于两点， 为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）若，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线相切，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）直线恒过定点.（2）‎ ‎（Ⅱ）直线与曲线相切， ,显然 ‎ ,整理得： ①‎ 由（Ⅰ）及①可得： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，即的取值范围是 ‎13.【2017福建4月质检】已知点，直线，直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）已知点，过且与轴不垂直的直线交于两点，直线分别交于点，求证：以为直径的圆必过定点.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（2）‎ 由题意可设直线，代入，得，‎ 设，则；‎ 又，设直线的斜率分别为，‎ 则，‎ 设，‎ 令，得，‎ 同理，得，‎ 从而；‎ ‎.‎ 又以为直径的圆的方程为： ，‎ 即，即，‎ 令，解得或，‎ 从而以为直径的圆恒过定点和.‎ ‎14.【2017重庆二诊】已知椭圆： 的左顶点为，右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于另一点，交轴于点， ．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作直线与椭圆交于两点，连接（为坐标原点）并延长交椭圆于点，求面积的最大值及取最大值时直线的方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 面积的最大值为3，此时直线的方程为 试题解析：（Ⅰ）由题知，故，代入椭圆的方程得，又，‎ 故，椭圆；‎ ‎（Ⅱ）由题知，直线不与轴重合，故可设，由得，‎ 设，则，由与关于原点对称知，‎ ‎ ，‎ ‎， ，即，当且仅当时等号成立，‎ 面积的最大值为3，此时直线的方程为 ‎15.【2017广东佛山二模】已知椭圆： （）的焦距为4，左、右焦点分别为、，且与抛物线： 的交点所在的直线经过.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过的直线与交于， 两点，与抛物线无公共点，求 的面积的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .‎ 试题解析：（Ⅰ）依题意得，则， .‎ 所以椭圆与抛物线的一个交点为，‎ 于是 ，从而.‎ 又，解得 所以椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）依题意，直线的斜率不为0，设直线： ，‎ 由，消去整理得，由得.‎ 由，消去整理得，‎ 设， ，则， ，‎ 所以 ，‎ 到直线距离，‎ 故 ，‎ 令，则 ，‎ 所以三边形的面积的取值范围为.‎ ‎16.【2016年高考全国Ⅰ卷，文20】在直角坐标系中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.‎ ‎（I）求；‎ ‎（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.‎ ‎【答案】（I）2；（Ⅱ）没有.‎ 试题解析：（Ⅰ）由已知得，.‎ 又为关于点的对称点，故，的方程为，代入整理得，解得，，因此.‎ 所以为的中点，即.‎ ‎（Ⅱ）直线与除以外没有其它公共点.理由如下：‎ 直线的方程为，即.代入得，解得，即直线与只有一个公共点，所以除以外直线与没有其它公共点.‎ ‎【考点】直线与抛物线 ‎【点拨】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.‎ ‎17.【2016年高考全国Ⅱ卷，文6】圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a=‎ ‎（A）− （B）− （C） （D）2‎ ‎【答案】A ‎【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式 ‎【点拨】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．‎ ‎18.【2016年高考全国Ⅱ卷，文21】已知A是椭圆E：的左顶点，斜率为的直线交E于A，M两点，点N在E上，.‎ ‎(Ⅰ)当时，求的面积 ‎ (Ⅱ) 当时，证明：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求的取值范围.‎ 试题解析：（Ⅰ）设，则由题意知.‎ 由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.‎ 又，因此直线的方程为.‎ 将代入得.‎ 解得或，所以.‎ 因此的面积.‎ ‎（Ⅱ）将直线的方程代入得 ‎.‎ 由得，故.‎ 由题设，直线的方程为，故同理可得.‎ 由得，即.‎ 设，则是的零点，，所以在单调递增.又 ‎，因此在有唯一的零点，且零点在内，所以.‎ ‎【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系 ‎【点拨】对于直线与椭圆的位置关系问题，通常将直线方程与椭圆方程联立进行求解，注意计算的准确性.‎ ‎19.【2016年高考全国Ⅲ卷，文15】已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则_________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由，得，代入圆的方程，整理得，解得，所以，所以．又直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系 ‎【点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．‎ ‎20. 【2016年高考北京卷，文12】已知双曲线 （a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为(,0)，则a=_______；‎ b=_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依题意有,结合,解得.‎ ‎【考点】双曲线的基本概念 ‎【点拨】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.‎ 求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.‎ ‎21．【2016年高考四川卷，文20】已知椭圆E：(a﹥b﹥0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上.‎ ‎（I）求椭圆E的方程；‎ ‎（II）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.‎ ‎【答案】（I）；（II）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.第（I）问，利用点在椭圆上，列出方程，解出b的值，从而得到椭圆E的方程；第（II）问，利用椭圆的几何性质，数形结合，根据根与系数的关系进行求解.‎ 试题解析：（I）由已知，a=2b.‎ 又椭圆过点，故，解得.‎ 所以椭圆E的方程是.‎ ‎（II）设直线l的方程为， ，‎ 由方程组 得，①‎ 方程①的判别式为，由，即，解得.‎ 由①得.‎ 所以M点坐标为，直线OM方程为，‎ 由方程组得.‎ 所以.‎ 又 ‎.‎ 所以.‎ ‎【考点】椭圆的标准方程及其几何性质 ‎【点拨】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般设交点坐标为，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得，再把用表示出来，并代入的值，这种方法是解析几何中的“设而不求”法，可减少计算量，简化解题过程．‎ ‎22.【2016年高考山东卷，文21】已知椭圆C:（a>b>0）的长轴长为4，焦距为2.‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.‎ ‎(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明为定值；‎ ‎ (ii)求直线AB的斜率的最小值. ‎ ‎【答案】(I) ；( II)(i)见解析，(ii)直线AB 的斜率的最小值为 ‎【解析】‎ 试题分析：(I)分别计算a,b即得.‎ ‎(II)(i)设，由M(0,m)，可得的坐标，进而得到直线PM的斜率，直线QM的斜率，可得为定值.‎ ‎(ii)设.直线PA的方程为y=kx+m，直线QB的方程为y=–3kx+m.联立 应用一元二次方程根与系数的关系得到，，进而可得应用基本不等式即得.‎ 试题解析：(I)设椭圆的半焦距为c.‎ 由题意知，‎ 所以.‎ 所以椭圆C的方程为.‎ ‎(II)（i）设，‎ 由M(0,m)，可得 ‎ 所以直线PM的斜率 ，‎ 直线QM的斜率.‎ 此时.‎ 所以为定值–3.‎ ‎(ii)设.‎ 直线PA的方程为y=kx+m，‎ 直线QB的方程为y=–3kx+m.‎ 联立 ‎ 整理得.‎ 由，可得，‎ 所以.‎ 同理.‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以 ‎ 由，可知k>0，‎ 所以，等号当且仅当时取得.‎ 此时，即，符号题意.‎ 所以直线AB 的斜率的最小值为.‎ ‎【考点】椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆的位置关系，基本不等式 ‎【点拨】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）的方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系，得到关于参数的解析式或方程是关键，易错点是对复杂式子的变形能力不足，导致错误百出..本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力及分析问题、解决问题的能力等.‎