2020年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题文（C卷01）江苏版

2020年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题文（C卷01）江苏版

‎2017-2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题 文（C卷01）江苏版 一、填空题 ‎1．设函数，其中，若仅存在两个的整数使得，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：设g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，则存在两个整数x1，x2，使得g（x）在直线y=ax﹣a的下方，由此利用导数性质能求出a的取值范围．‎ 使得g（x）在直线y=ax﹣a的下方，‎ ‎∵g′（x）=ex（2x+1），‎ ‎∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，‎ ‎∴当x=﹣时，[g（x）]min=g（﹣）=﹣2．‎ 当x=0时，g（0）=﹣1，g（1）=e＞0，‎ 直线y=ax﹣a恒过（1，0），斜率为a，故﹣a＞g（0）=﹣1，‎ 且g（﹣1）=﹣3e﹣1＜﹣a﹣a，解得a＜．g（﹣2）≥﹣2a﹣a，解得a≥，‎ ‎∴a的取值范围是[， ）．‎ 23‎ 故答案为： ‎ 点睛：：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎2．已知为常数，函数的最小值为，则的所有值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得函数为奇函数.‎ ‎∵函数 ‎∴‎ 令，得，则.‎ ‎∵函数 的最小值为 ‎∴‎ ‎∴，得.‎ ‎①当时，函数的定义域为，由得或，由得，函数在， 上为增函数，在上为减函数.‎ ‎∵， ，‎ 23‎ ‎∴，则 ‎②当时，函数的定义域为，由得， 得 或，函数在上为增函数，在， 为减函数.‎ ‎∵， ‎ ‎∴，则.‎ 综上所述， 或.‎ 故答案为， .‎ ‎3．设函数 ‎（）若，则的最大值__________．‎ ‎（）若无最大值，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】 2 ‎ ‎4．已知函数f(x)＝x|x2－3|．若存在实数m，m∈(0， ]，使得当x∈[0，m] 时，f(x)的取值范围是[0，am]，则实数a的取值范围是______．‎ ‎【答案】[1，3)‎ 23‎ ‎【解析】f(x)＝x|x2－3|，作出函数图像如图所示：‎ 当m∈(2， ]时，此时f(x)的取值范围是.‎ 所以，即，得.‎ 综上：实数a的取值范围是[1，3).‎ 故答案为：[1，3).‎ ‎5．已知函数在的值域为，则实数的最小值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以 ，令，则， ，‎ ‎（1）当时， 在上恒成立，即函数在上单调递增，则 23‎ ‎，即；‎ ‎（2）当时，函数在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且 ‎， ，‎ ‎①若时，则在单调递增，则，即；‎ ‎②若，即时， ，即 ；‎ ‎③若，即时， ，即；‎ 综上所述， ，即实数的最小值为.‎ ‎6．已知函数在上单调递增，则的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ 点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性；已知函数在某区间上单调递增求有关参数，往往有两种思路：‎ ‎（1）先求出该函数的单调递增区间，再利用所给区间和单调递增区间的关系进行求解；‎ ‎（2）将函数在某区间上单调递增转化为（但不恒为0）在该区间上恒成立.‎ ‎7．在平面直角坐标系中，已知是函数图象上的动点，该图象在点处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的横坐标为，则的最大值是________．‎ ‎【答案】‎ 23‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时 当时，所以的最大值是 点睛：求函数最值的五种常用方法 方法 步骤 单调性法 先确定函数的单调性，再由单调性求最值 图象法 先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值 基本不等式法 先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值 导数法 先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值 换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值 ‎8．若函数定义在R上的奇函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，利用数形结合思想求解可得到结论.‎ 详解：‎ 23‎ 因为函数定义在上的奇函数，且在上是增函数，又在上是增函数，且，当或时，；当或时，，作出函数的草图，如图，则不等式等价为或，即或 ‎，则或，解得或，即不等式的解集为，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解..‎ ‎9．已知函数是定义在上的奇函数，对任意的，均有，‎ 当时， ，则下列结论正确的是___________.‎ ‎① 的图象关于对称 ② 的最大值与最小值之和为 ‎③方程有个实数根 ④当时， ‎ ‎【答案】③‎ ‎【解析】分析：利用条件和函数为奇函数，结合时， ，综合考虑函数图像，逐一判断四个结论的真假，可得结论.‎ 详解：‎ 是定义在上的奇函数，对，均有，‎ ‎，可得函数的周期为，且的图象关于对称，故①错误；‎ 23‎ 无最大值，故②错误；方程的实数根个数等于 与y-=图象的交点个数，结合函数图象简图，由图可知轴左边有六个交个，轴右边有四个交个共有个交点，即方程有个实数根，故③正确；当时， ，则，当时，不符合，故④错误，故答案为③.‎ 点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.‎ ‎10．已知函数，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】（2，3]‎ 详解：‎ 由题意，当时，即方程有四个解，又由函数与函数大致形状可知，直线与函数的左右两支曲线与都有两个交点，当时，函数的最大值为，则，同时在上的最小值，当时，在上 23‎ ‎，要使恰有四个零点，则满足，即，解得，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．‎ ‎11．设函数，则使成立的的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：首先判断函数为偶函数，再判断在单调递减，得到在单调递增，从而将原不等式转化为求解即可.‎ 点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.‎ ‎12．设已知函数，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则=________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：根据函数解析式的模式，结合题的条件，可以断定，又因为，所以知道 ‎，再结合对数函数的单调性，再加上，从而判断出最大值是 23‎ ‎，从而得到所满足的等量关系式，从而求得，进一步求得，这样很直接求得.‎ 点睛：该题考查的是有关指数幂的运算，但是需要先从题的条件中来确定底数和指数的大小，首先需要确定函数的图像，之后借助于绝对值的意义，可以得到两个函数值的大小相等的时候，对应真数之间的关系：互为倒数，再结合两个值的大小关系，从而确定出对应各自的范围，根据题意，进一步确定其值的大小，最后求得结果.‎ ‎13．已知为偶函数，则____________．‎ ‎【答案】4.‎ ‎【解析】分析：首先确定当时，，利用分段函数对应自变量的范围，代入相应的式子，求得，再利用偶函数的定义，确定，利用两个式子的对应项系数相等，求得，进而求得两个数的乘积.‎ 详解：当时，，‎ 则有，‎ 所以，所以，从而求得.‎ 点睛：该题考查的是有关分段函数形式的偶函数的解析式的求解问题，在解题的过程中，关键的步骤是建立起所满足的等量关系式，这就要求从解析式出发，所以对自变量的范围加以限制，将式子写出来，利用偶函数的定义，之后利用对应项系数相等求得结果.‎ ‎14．已知函数，，，若关于x的方程f(x)+g(x)=0有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是____．‎ 23‎ ‎【答案】‎ 所以要使得方程有四个不同的实数解，则，只需有两个不同的实数解，即方程在上有两个解，‎ 即在上有两个解，转化为与在在上有两个解，‎ 又由，当时，，函数为单调递增函数，‎ 当时，，函数为单调递减函数，‎ 所以当时，函数有最大值，‎ 要使得与在在上有两个解，则，即．‎ 点睛：本题考查了由方程解得个数求解参数问题，解答中涉及到函数的奇偶性、函数的单调性，以及函数的图象的综合应用，其中根据函数的奇偶性，把方程有四个不同的实数解，转化为方程在上有两个解是解答的关键，着重考查了转化的思想方法的应用，试题属于中档试题．‎ 二、解答题 ‎15．设函数，其中是实数．‎ ‎(l）若 ，求函数的单调区间；‎ ‎(2）当时，若为函数图像上一点，且直线与相切于点，其中为坐标原点，求的值； ‎ 23‎ ‎ (3) 设定义在上的函数在点处的切线方程为，若 在定义域内恒成立，则称函数具有某种性质，简称“函数”．当时，试问函数是否为“函数”？若是，请求出此时切点的横坐标；若不是，清说明理由．‎ ‎【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）；（3）是“函数”， .‎ 构造函数 其导数为分别讨论和时的符号以及进一步讨论的单调性可知在和上不是“函数”，故，经检验符合．‎ 解析：（1）由，得， （），‎ ‎， 由得： ；由得： ‎ ‎．所以的单调增区间为，单调减区间为．‎ ‎（2）由，得， ． ， 所以切线的斜率．又切线的斜率为，所以， ，即，设， ，所以，函数在(0,＋∞)‎ 23‎ 上为递增函数，且是方程的一个解，即是唯一解，所以，． ‎ 当 时， ，则在上有 ，故在上单调递增，故当 有，所以在有； ‎ 当 时， ，则在上有 ，故在上单调递增，故当 有，所以在有；‎ 因此，在上 不是“函数”．‎ 当时， ，所以函数在上单调递减．‎ 所以， 时， ， ；‎ 时， ， ．因此，切点为点，其横坐标为．‎ 点睛：曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率．对于满足某些特殊性质的切线，我们同样是设出切点的横坐标后，把问题归结横坐标应该满足的性质，（3）中横坐标取值不容易求得，我们是先讨论了和时不是“”从而得到．‎ 23‎ ‎16．设函数f(x)＝ax2－1－lnx，其中a∈R．‎ ‎（1）若a＝0，求过点(0，－1)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程；‎ ‎（2）若函数f(x)有两个零点x1，x2，‎ ‎① 求a的取值范围；‎ ‎② 求证：f ′(x1)＋f ′(x2)＜0．‎ ‎【答案】(1) y＝－x－1 (2) ① (0，e)．②见解析 ‎【解析】试题分析：（1）设切点为T(x0，－1－lnx0)，得切线：y＋1＋lnx0＝－ ( x－x0)，将点(0，－1)代入求解即可；‎ 试题解析：‎ ‎（1）当a＝0时，f(x)＝－1－lnx，f ′(x)＝－．‎ 设切点为T(x0，－1－lnx0)，‎ 则切线方程为：y＋1＋lnx0＝－ ( x－x0)． ‎ 因为切线过点(0，－1)，所以 －1＋1＋ln x0＝－(0－x0)，解得x0＝e． ‎ 所以所求切线方程为y＝－x－1． ‎ ‎（2）① f ′(x)＝ax－＝，x＞0．‎ ‎ (i) 若a≤0，则f ′(x)＜0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，‎ 从而函数f(x)在(0，＋∞)上至多有1个零点，不合题意． ‎ 23‎ ‎ (ii)若a＞0，由f ′(x)＝0，解得x＝．‎ 当0＜x＜时， f ′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x＞时， f ′(x)＞0，f(x)单调递增，‎ 所以f(x)min＝f()＝－ln－1＝－－ln．‎ 要使函数f(x)有两个零点，首先 －－ln＜0，解得0＜a＜e． ‎ 当0＜a＜e时，＞＞．‎ 因为f()＝＞0，故f()·f()＜0．‎ 又函数f(x)在(0，)上单调递减，且其图像在(0，)上不间断，‎ 所以函数f(x)在区间(0，)内恰有1个零点． ‎ 考察函数g(x)＝x－1－lnx，则g′(x)＝1－＝．‎ 因为f()·f()≤0，且f(x)在(，＋∞)上单调递增，其图像在(，＋∞)上不间断，‎ 所以函数f(x)在区间(，] 上恰有1个零点，即在(，＋∞)上恰有1个零点．‎ 23‎ 综上所述，a的取值范围是(0，e)． ‎ ‎②由x1，x2是函数f(x)的两个零点(不妨设x1＜x2)，得 ‎ 两式相减，得 a(x12－x22)－ln＝0，即a(x1＋x2) (x1－x2)－ln＝0，‎ 所以a(x1＋x2)＝． ‎ f ′(x1)＋f ′(x2)＜0等价于ax1－＋ax2－＜0，即a(x1＋x2)－－＜0，‎ 即－－＜0，即2ln＋－＞0．‎ 点睛：导数背景下的零点问题，需结合函数的极值符号、函数的单调性及零点存在定理去考虑．而零点满足的不等式则需要通过构建新的不等式去证明，新的不等式对应的函数是一元函数，我们可以用导数去证明这个新的不等式．‎ ‎17．已知函数,其中为正实数．‎ ‎(1)若函数在处的切线斜率为2，求的值；‎ ‎(2)求函数的单调区间；‎ ‎(3)若函数有两个极值点，求证： ．‎ ‎【答案】(1)1(2) 单调减区间为,,单调减区间为 ‎．（3）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得，解得的值；（2）先求导数，再根据导函数是否变号分类讨论，最后根据导函数符号确定单调区间（3）先根据韦达定理得，再化简 23‎ ‎，进而化简所证不等式为，最后利用导函数求函数 单调性，进而确定最小值，证得结论 试题解析：(1)因为，所以， ‎ 则,所以的值为1． ‎ ‎ (3)由(2)知，当时，函数有两个极值点,且．‎ ‎ 因为 要证,只需证． ‎ 构造函数，则，‎ 在上单调递增,又,且在定义域上不间断,‎ 由零点存在定理，可知在上唯一实根, 且． ‎ 则在上递减, 上递增,所以的最小值为． ‎ 23‎ 因为, ‎ 当时, ,则,所以恒成立．‎ 所以,所以，得证．‎ ‎18．某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量（万只）与时间（年）（其中）的关系为．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值（其中为常数，且）来进行生态环境分析．‎ ‎（1）当时，求比值取最小值时的值；‎ ‎（2）经过调查，环保部门发现：当比值不超过时不需要进行环境防护．为确保恰好3年不需要进行保护，求实数的取值范围．（为自然对数的底， ）‎ ‎【答案】(1)M在时取最小值(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）求导，利用导函数的符号变化研究函数的单调性和最值；（2）利用（1）结论，列出不等式组进行求解.‎ 试题解析：（1）当时， ，∴ ‎ 列表得：‎ ‎2‎ ‎0‎ 单调减 极小值 单调增 ‎∴在上单调递减，在上单调递增 ∴在时取最小值； ‎ ‎（2）∵ 根据（1）知： 在上单调减，在上单调增 23‎ ‎∵确保恰好3年不需要进行保护 ∴，解得： ‎ 答：实数的取值范围为．‎ ‎19．已知函数的最小值为．‎ ‎⑴设，求证： 在上单调递增；‎ ‎⑵求证： ；‎ ‎⑶求函数的最小值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）先求导求出，再求导，利用导数的符号变换得到函数的单调区间；（2）由⑴可知在上单调递增，再利用零点存在定理及函数的单调性进行求解；（3）分离参数，合理构造，利用导数研究函数的最值.‎ ‎∴存在唯一的零点，设为，则 且 当时， ；当时， ‎ 23‎ 从而在上单调递增，在上单调递减 所以的最小值 ‎∵ ∴ ∴‎ ‎∴（当且仅当时取等号）‎ ‎∵ ∴‎ ‎（第二问也可证明，从而得到）‎ ‎∴存在唯一的零点，设为，则 且 所以的最小值为 ‎∵ ∴‎ ‎∴，即 由⑵可知 ‎∴=‎ 23‎ ‎∵在上单调递增 ‎∴‎ 所以的最小值为 ‎20．设函数，.‎ ‎（1）当时，函数，在处的切线互相垂直，求的值；‎ ‎（2）当函数在定义域内不单调时，求证：；‎ ‎（3）是否存在实数，使得对任意，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由.（参考数据：，）‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）1‎ 详解：（1）当时，，则在处的斜率为，‎ 又在处的斜率为，则，解得 . ‎ ‎（2）函数，‎ 23‎ 则 .‎ ‎∵，∴，令，‎ 要使函数在定义域内不单调，只需要在有非重根， ‎ 由于开口向上，且 只需要，得， ‎ 因为，所以，‎ 故，当且仅当时取等号，命题得证 .‎ 所以存在，使得，即，则， ‎ 所以当时，单调递减；当时，单调递增.‎ 则取到最小值， ‎ 所以，即在区间内单调递增，‎ 所以，‎ 所以存在实数满足题意，且最大整数的值为1 .‎ 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ 23‎ ‎（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；‎ ‎（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .‎ 23‎