高中数学会考知识点总结-(超级经典)

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数学学业水平复习知识点 第一章 集合与简易逻辑 1、集合 （1）、定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用{ }。 （2）、集合的表示法：列举法（）、描述法（）、图示法（）； （3）、集合的分类：有限集、无限集和空集（记作，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）； （4）、元素 a和集合 A之间的关系：a∈A，或 aA； （5）、常用数集：自然数集：N ；正整数集：N；整数集：Z ；整数：Z；有理数集：Q；实数集：R。 2、子集 （1）、定义：A中的任何元素都属于 B，则 A叫 B的子集 ；记作：AB， 注意：AB时，A有两种情况：A＝φ与 A≠φ （2）、性质：①、 AAA  , ；②、若 CBBA  , ，则 CA  ；③、若 ABBA  , 则 A=B ； 3、真子集 （1）、定义：A是 B的子集 ，且 B中至少有一个元素不属于 A；记作： BA  ； （2）、性质：①、 AA   , ；②、若 CBBA  , ，则 CA  ； 4、补集 ①、定义：记作： },|{ AxUxxACU  且 ； ②、性质： AACCUACAACA UUUU  ）（，，   ； 5、交集与并集 （1）、交集： }|{ BxAxxBA  且 性质：①、    AAAA , ②、若 BBA  ，则 AB  （2）、并集： }|{ BxAxxBA  或 性质：①、 AAAAA   , ②、若 BBA  ，则 BA  6、一元二次不等式的解法：（二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系） AACU A B BA 判别式：△=b2-4ac 0 0 0 二次函数 )0()( 2  acbxaxxf 的图象 一元二次方程 )0(02  acbxax 的根 有两相异实数根 )(, 2121 xxxx  有两相等实数根 a bxx 221  没有实数根 一元二次不等式 )0(02  acbxax 的解集 },|{ 21 xxxxx  “＞”取两边 } 2 |{ a bxx  R 一元二次不等式 )0(02  acbxax 的解集 }|{ 21 xxxx  “＜”取中间   不等式解集的边界值是相应方程的解 含参数的不等式 ax 2 ＋b x＋c>0恒成立问题 含参不等式 ax 2 ＋b x＋c>0的解集是 R； 其解答分 a＝0(验证 bx＋c>0是否恒成立)、a≠0（a<0且△<0）两种情况。 第二章 函数 1、映射：按照某种对应法则 f ，集合 A中的任何一个元素，在 B中都有唯一确定的元素和它对应， 记作 f：A→B，若 BbAa  , ，且元素 a和元素 b对应，那么 b叫 a的象，a叫 b的原象。 2、函数：（1）、定义：设 A，B是非空数集，若按某种确定的对应关系 f，对于集合 A中的任意一个数 x， 集合 B中都有唯一确定的数 f（x）和它对应，就称 f：A→B为集合 A到集合 B的一个函数，记作 y=f（x）， （2）、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；自变量 x的取值范围叫函数的定义域，函数值 f（x）的 范围叫函数的值域，定义域和值域都要用集合或区间表示； （3）、函数的表示法常用：解析法，列表法，图象法（画图象的三个步骤：列表、描点、连线）； （4）、区间：满足不等式 bxa  的实数 x的集合叫闭区间，表示为：[a ，b] 满足不等式 bxa  的实数 x的集合叫开区间，表示为：（a ，b） 满足不等式 bxa  或 bxa  的实数 x的集合叫半开半闭区间，分别表示为：[a ，b）或（a ，b]； （5）、求定义域的一般方法：①、整式：全体实数，例一次函数、二次函数的定义域为 R； x1 x2 x y O x1=x2 x y O x y O ②、分式：分母 0 ，0次幂：底数 0 ，例： |3|2 1 x y   ③、偶次根式：被开方式 0 ，例： 225 xy  ④、对数：真数 0 ，例： )11(log x y a  （6）、求值域的一般方法：①、图象观察法： ||2.0 xy  ②、单调函数：代入求值法： ]3, 3 1[),13(log 2  xxy ③、二次函数：配方法： )5,1[,42  xxxy ， 222  xxy ④、“一次”分式：反函数法： 12   x xy ⑤、“对称”分式：分离常数法： x xy sin2 sin2    ⑥、换元法： xxy 21 （7）、求 f（x）的一般方法： ①、待定系数法：一次函数 f（x），且满足 172)1(2)1(3  xxfxf ，求 f（x） ②、配凑法： ,1)1( 2 2 x x x xf  求 f（x） ③、换元法： xxxf 2)1(  ，求 f（x） ④、解方程（方程组）：定义在（-1，0）∪（0，1）的函数 f（x）满足 x xfxf 1)()(2  ，求 f（x） 3、函数的单调性： （1）、定义：区间 D上任意两个值 21 , xx ，若 21 xx  时有 )()( 21 xfxf  ，称 )(xf 为 D上增函数； 若 21 xx  时有 )()( 21 xfxf  ，称 )(xf 为 D上减函数。（一致为增，不同为减） （2）、区间 D叫函数 )(xf 的单调区间，单调区间定义域； （3）、判断单调性的一般步骤：①、设，②、作差，③、变形，④、下结论 （4）、复合函数 )]([ xhfy  的单调性：内外一致为增，内外不同为减； 4、反函数：函数 )(xfy  的反函数为 )(1 xfy  ；函数 )(xfy  和 )(1 xfy  互为反函数； 反函数的求法：①、由 )(xfy  ，解出 )(1 yfx  ，②、 yx, 互换，写成 )(1 xfy  ，③、写出 )(1 xfy  的定义域（即原函数的值域）； 反函数的性质：函数 )(xfy  的定义域、值域分别是其反函数 )(1 xfy  的值域、定义域； 函数 )(xfy  的图象和它的反函数 )(1 xfy  的图象关于直线 xy  对称； 点（a，b）关于直线 xy  的对称点为（b，a）； 5、指数及其运算性质：（1）、如果一个数的 n次方根等于 a（ *,1 Nnn  ），那么这个数叫 a的 n次方根； n a叫根式，当 n为奇数时， aan n  ；当 n为偶数时，       )0( )0( || aa aa aan n （2）、分数指数幂：正分数指数幂： n mn m aa  ；负分数指数幂： n m n m a a 1   0的正分数指数幂等于 1，0的负分数指数幂没有意义（0的负数指数幂没有意义）； （3）、运算性质：当 Qsrba  ,,0,0 时： rrrrssrsrsr baabaaaaa   )(,)(, ， rr aa 1  ； 6、对数及其运算性质：（1）、定义：如果 )1,0(  aaNa b ，数 b叫以 a为底 N的对数，记作 bNa log ， 其中 a叫底数，N叫真数，以 10为底叫常用对数：记为 lgN，以 e=2.7182828…为底叫自然对数：记为 lnN （2）、性质：①：负数和零没有对数，②、1的对数等于 0： 01log a ，③、底的对数等于 1： 1log aa ， ④、积的对数： NMMN aaa loglog)(log  ， 商的对数： NM N M aaa logloglog  ， 幂的对数： MnM a n a loglog  ， 方根的对数： M n M a n a log1log  ， 7、指数函数和对数函数的图象性质 函数 指数函数 对数函数 定义 xay  （ 10  aa 且 ） xy alog （ 10  aa 且 ） 图象 （非奇非偶） a>1 01 0”取两边,“<”取中间 绝对值不等式：含一个绝对值符号的：“>”取两边,“<”取中间 含两个绝对值符号的： 零点分段讨论法（注意取“交”，还是取“并”） 高次不等式的解法：根轴法 （重根：奇穿偶不穿） 分式不等式的解法：移项、通分、根轴法