2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册教案:第9章 章末综合提升

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2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册教案:第9章 章末综合提升

[巩固层·知识整合] [提升层·题型探究] 利用正弦、余弦定理解三角形 【例 1】 如图,在平面四边形 ABCD 中,AB=2,BD= 5,AB⊥BC,∠BCD =2∠ABD,△ABD 的面积为 2. (1)求 AD 的长; (2)求△CBD 的面积. [思路探究] (1)由面积公式求出 sin∠ABD,进而得 cos∠ABD 的值,利用余 弦定理可解; (2)由 AB⊥BC 可以求出 sin∠CBD 的大小,再由二倍角公式求出 sin∠BCD, 可判断△CBD 为等腰三角形,利用正弦定理求出 CD 的大小,最后利用面积公式 求解. [解] (1)由 S △ABD =1 2AB·BD·sin∠ABD= 1 2 ×2× 5×sin∠ABD=2,可得 sin∠ABD=2 5 5, 又∠ABD∈(0,π 2),所以 cos∠ABD= 5 5 . 在△ABD 中,由 AD2=AB2+BD2-2·AB·BD·cos∠ABD, 可得 AD2=5,所以 AD= 5. (2)由 AB⊥BC,得∠ABD+∠CBD=π 2 , 所以 sin∠CBD=cos∠ABD= 5 5 . 又∠BCD=2∠ABD,所以 sin∠BCD=2sin∠ABD·cos∠ABD=4 5 ,∠BDC=π- ∠CBD-∠BCD=π-(π 2 -∠ABD)-2∠ABD=π 2 -∠ABD=∠CBD, 所以△CBD 为等腰三角形,即 CB=CD. 在△CBD 中,由正弦定理知, BD sin∠BCD = CD sin∠CBD , 得 CD=BD·sin∠CBD sin∠BCD = 5 × 5 5 4 5 =5 4 , 所以 S△CBD=1 2 ×5 4 ×5 4 ×4 5 =5 8. 利用正、余弦定理解三角形要注意以下几个方面 (1)画图,把相关数据标注在三角形中,便于确定已知和所求. (2)明确解题过程中所使用的定理,有些题目两个定理都适用. (3)注意对三角形内角和定理、大边对大角的应用,避免出现增解或漏解的错 误. (4)多边形中的边角计算问题通常化归到三角形中利用正、余弦定理求解. [跟进训练] 1.如图所示,在△ABC 中,B=π 3 ,AB=8,点 D 在 BC 边上,CD=2,cos∠ADC =1 7. (1)求 sin∠BAD; (2)求 BD,AC 的长. [解] (1)在△ADC 中, 因为 cos∠ADC=1 7 , 所以 sin∠ADC=4 3 7 , 所以 sin∠BAD=sin(∠ADC-B) =sin∠ADCcos B-cos∠ADCsin B =4 3 7 ×1 2 -1 7 × 3 2 =3 3 14 . (2)在△ABD 中,由正弦定理,得 BD=ABsin∠BAD sin∠ADB = 8 × 3 3 14 4 3 7 =3. 在△ABC 中,由余弦定理, 得 AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cos B =82+52-2×8×5×1 2 =49, 所以 AC=7. 三角变换与解三角形的综合问题 角度 1 三角形形状的判断 【例 2】 在△ABC 中,若(a 2+b2)sin(A-B)=(a 2-b2)·sin(A+B),试判断 △ABC 的形状. [解] ∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B), ∴b2[sin(A+B)+sin(A-B)] =a2[sin(A+B)-sin(A-B)], ∴2b2sin Acos B=2a2cos Asin B, 即 a2cos Asin B=b2sin Acos B. 法一:由正弦定理知 a=2Rsin A,b=2Rsin B, ∴sin2Acos Asin B=sin2Bsin Acos B, 又 sin Asin B≠0,∴sin Acos A=sin Bcos B, ∴sin 2A=sin 2B. 在△ABC 中,0<2A<2π,0<2B<2π, ∴2A=2B 或 2A=π-2B, ∴A=B 或 A+B=π 2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 法二:由正弦定理、余弦定理,得 a2b×b2+c2-a2 2bc =b2a×a2+c2-b2 2ac , ∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), ∴(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, ∴a2-b2=0 或 a2+b2-c2=0. 即 a=b 或 a2+b2=c2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 判定三角形形状的三个注意点 (1)“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的关系. (2)“边化角”后要注意用三角恒等变换、三角形内角和定理及诱导公式推出 角的关系. (3)要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别. [跟进训练] 2.在△ABC 中,若 B=60°,2b=a+c,试判断△ABC 的形状. [解] 法一:∵2b=a+c,由正弦定理, 得 2sin B=sin A+sin C. ∵B=60°,∴A+C=120°. ∴2sin 60°=sin(120°-C)+sin C. 展开整理得 3 2 sin C+1 2cos C=1. ∴sin(C+30°)=1. ∵0°2 时,如图②, 在△APQ 中,AP=8t,AQ=10t-20, ∴PQ= AQ2+AP2-2AQ × AP × cos 60° =2 21t2-60t+100. 综合①②③知, PQ=2 21t2-60t+100(t≥0). 当且仅当 t=30 21 =10 7 时,PQ 最小. 所以甲、乙两船行驶10 7 小时后,相距最近. [培优层·素养升华] 【例题】 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.设(sin B-sin C)2= sin2A-sin Bsin C. (1)求 A; (2)若 2a+b=2c,求 sin C. [思路探究] (1)利用正弦定理结合余弦定理求解角 A 的大小; (2)根据(1)中的结论结合正弦定理化简题中的等量关系,利用两角差的正弦公 式求解 sin C. [解] (1)由已知得 sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C, 故由正弦定理得 b2+c2-a2=bc. 由余弦定理得 cos A=b2+c2-a2 2bc =1 2. 因为 0°<A<180°,所以 A=60°. (2)由(1)知 B=120°-C, 由题设及正弦定理得 2sin A+sin(120°-C)=2sin C, 即 6 2 + 3 2 cos C+1 2sin C=2sin C, 整理得 cos(C+60°)=- 2 2 . 因为 0°<C<120°,所以 sin(C+60°)= 2 2 , 故 sin C=sin(C+60°-60°) =sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)sin 60° = 6+ 2 4 . 本题考查正弦定理、余弦定理、两角和的余弦公式、两角差的正弦公式,综 合性较强.综合应用正、余弦定理解三角形一直是高考的热点内容之一,着重考查 直观想象、数学运算等学科素养. [素养提升练] △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 asin A-bsin B=4csin C,cos A=-1 4 ,则b c =(  ) A.6 B.5 C.4 D.3 A [∵asin A-bsin B=4csin C, ∴由正弦定理得 a2-b2=4c2,即 a2=4c2+b2. 由余弦定理得 cos A=b2+c2-a2 2bc =b2+c2-(4c2+b2) 2bc =-3c2 2bc =-1 4 ,∴b c =6.]
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