【数学】2018届一轮复习人教A版专题11　函数y=Asin（ωxφ）学案

【数学】2018届一轮复习人教A版专题11　函数y=Asin（ωxφ）学案

专题11　函数y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要把ωx＋φ看成一个整体，要找五个特征点：‎ X ‎－ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ ‎2.图象变换 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象可以看作由下面的方法得到的：先把正弦曲线上的所有的点向左(φ>0)或向右平移(φ<0)|φ|个单位长度，得到y＝sin(ωx＋φ)的图象，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝sin(ωx＋φ)的图象，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变，这时的曲线就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．‎ ‎3．振幅、周期、频率、相位 当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈(0，＋∞))表示一个振动时，A叫做振幅，T＝叫做振动的周期，f＝＝叫做振动的频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．‎ 例1　已知函数y＝2sin(2x＋)，‎ ‎(1)求它的振幅、周期、初相；‎ ‎(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；‎ ‎(3)说明y＝2sin(2x＋)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．‎ 变式训练1　已知函数y＝2sin(x＋)(x∈R)．‎ ‎(1)利用“五点法”画出该函数在一个周期上的简图；‎ ‎(2)说明该函数的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到．‎ 例2　如图，为y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一段，求其解析式．‎ 变式训练2　如图，为y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一段，求其解析式．‎ 例3　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0，0<φ<)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上的一个最低点为M.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)当x∈[，]时，求f(x)的值域．‎ 变式训练3　已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象过点P，图象上与点P最近的一个最高点是Q.‎ ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2)求函数f(x)的递增区间．‎ A级 ‎1．为得到函数y＝cos(x＋)的图象，只需将函数y＝sin x的图象(　　)‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎2．y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)‎ A．2，，－ B．2，，－ C．2，，－ D．2，，－ ‎3．下列函数中周期为π，且图象关于直线x＝对称的函数是(　　)‎ A．y＝2sin(＋) B．y＝2sin(2x－)‎ C．y＝2sin(2x＋) D．y＝2sin(－)‎ ‎4．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)‎ A. B. C．0 D．－ ‎5．将正弦曲线y＝sin x上各点向左平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象解析式为________________．‎ ‎6．已知ω>0，函数y＝3sin(ωπx＋)的周期比振幅小1，则ω＝________．‎ ‎7．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象，其部分图象如图所示，则f(0)＝________．‎ B级 ‎8．若将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)‎ A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin ‎9．函 数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图 所示，则(　　)‎ A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin ‎10．已知函数y＝sin(ωx＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________．‎ ‎11．设ω>0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω 的最小值是________．‎ ‎12．若函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)在区间[0，2]上恰有一个最高点和一个最低点，则ω的取值范围是________．‎ ‎13．已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．‎ ‎14．设函数f(x)＝3sin(ωx＋)，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．‎ ‎(1)求f(0)；‎ ‎(2)求f(x)的解析式；‎ ‎(3)已知f(＋)＝，求sin α的值．‎ 专题11　函数y＝Asin(ωx＋φ)‎ 典型例题 例1　解　(1)y＝2sin(2x＋)的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相为φ＝.‎ ‎(2)令X＝2x＋，则y＝2sin(2x＋)＝2sin X，‎ 列表、并描点画出图象 x ‎－ X ‎0‎ π ‎2π y＝sin X ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎0‎ y＝2sin(2x＋)‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎－2‎ ‎0‎ ‎(3)由y＝sin x的图象向左移个单位长度，得到y＝sin(x＋)，然后横坐标变为原来的倍，得到y＝sin(2x＋)，然后纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2sin(2x＋)．‎ 变式训练1　解　(1)列表：‎ x＋ ‎0‎ π ‎2π x y ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎－2‎ ‎0‎ 作图：‎ ‎(2)由y＝sin x(x∈R)的图象向左平移单位长度，得到y＝sin(x＋)，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y＝sin(x＋)，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数y＝2sin(x＋)．‎ 例2　解　由图象可知A＝－，T＝2(－)＝π，‎ 所以ω＝2，此时的解析式为y＝－sin(2x＋φ)，‎ 将点N带入到上式中，得－×2＋φ＝0，∴φ＝，‎ ‎∴所求的解析式为y＝－sin.‎ 变式训练2　解　由函数的最大值为2，可得A＝2.‎ 再根据函数的周期为＝＋＝2π，可得ω＝1.‎ 再由五点法作图可得1×(－)＋φ＝0，∴φ＝.‎ 故函数的解析式为y＝2sin(x＋)．‎ 例3　解　(1)由最低点为M，得A＝2；‎ 由x轴上相邻的两个交点之间的距离为，得＝，‎ 即T＝π，所以ω＝＝＝2；‎ 由点M在图象上，得2sin(2×＋φ)＝－2，‎ 即sin(＋φ)＝－1.故＋φ＝2kπ－，k∈Z，‎ 所以φ＝2kπ－(k∈Z)．又φ∈，所以φ＝；‎ 故f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋)．‎ ‎(2)因为x∈[，]，所以2x＋∈[，]．‎ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；‎ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1.‎ 故函数f(x)的值域为[－1，2]．‎ 变式训练3　解　(1)依题意得：A＝5，周期T＝4＝π，‎ ‎∴ω＝＝2.故y＝5sin(2x＋φ)．又图象过点P，∴5sin(＋φ)＝0，由已知可得＋φ＝0，∴φ＝－.∴y＝5sin(2x－)．‎ ‎(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得：－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ 故函数f(x)的递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．‎ 强化提高 ‎1．C　[∵函数y＝cos(x＋)＝sin[＋(x＋)]＝sin(x＋)，‎ ‎∴为得到函数y＝cos(x＋)的图象，只需将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度．]‎ ‎2．A ‎3．B　[对于B，ω＝2，∴T＝π，将x＝代入B中函数关系式得y＝2，取最大值，故x＝是其对称轴．]‎ ‎4．B　[把函数y＝sin(2x＋φ)沿x轴向左平移个单位后得到函数y＝sin 2＝sin为偶函数，则φ的一个可能取值是.]‎ ‎5．y＝sin(＋)‎ 解析　由y＝sin x向左平移得y＝sin(x＋)，再把横坐标伸长到原来的2倍，得y＝sin(＋)．‎ ‎6．1‎ 解析　∵已知ω>0，函数y＝3sin(ωπx＋)的周期比振幅小1，‎ ‎∴＋1＝3，解得ω＝1.‎ ‎7．－ 解析　由图象可知T＝－＝3π，所以T＝2π，所以T＝2π＝，所以ω＝1，即函数为f(x)＝2sin(x＋φ)，‎ 由五点对应法可知，当x＝时，有＋φ＝0，所以φ＝－，‎ 所以f(x)＝2sin(x－)，所以f(0)＝2sin(－)＝－.‎ ‎8．D　[函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位，所得函数为y＝2sin＝2sin，故选D.]‎ ‎9．A　[由图可知，T＝2＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×＋φ＝，所以φ＝－，所以函数的解析式为y＝2sin，故选A.]‎ ‎10. 解析　由图象知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为 ‎2＝，∴＝，∴ω＝.‎ ‎∵当x＝时，y有最小值－1，‎ ‎∴×＋φ＝2kπ－ (k∈Z)．∵－π≤φ<π，∴φ＝.‎ ‎11. 解析　由函数向右平移个单位后与原图象重合，‎ 得是此函数周期的整数倍．‎ ‎∴·k＝，∴ω＝k(k∈Z)，‎ 又ω>0，∴ωmin＝.‎ ‎12．[π，π)‎ 解析　f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)在区间[0，2]上恰有一个最高点和一个最低点，由于x＝0时，f(0)＝，且ω>0，‎ 故x＝0在增区间上，故x＝2时，保证函数只有一个最小值即可；‎ ‎∴≤2ω＋<，解得π≤ω<π.‎ ‎13．解　(1)由已知，有f(x)＝－ ‎＝－cos 2x ‎＝sin 2x－cos 2x＝sin.‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，且f＝－，‎ f＝－，f＝，‎ 所以f(x)在区间上的最大值为，‎ 最小值为－.‎ ‎14．解　(1)f(0)＝3sin ＝；‎ ‎(2)∵f(x)＝3sin(ωx＋)，且T＝，∴＝，∴ω＝4.‎ ‎∴f(x)＝3sin(4x＋)．‎ ‎(3)∵f(x)＝3sin(4x＋)，‎ ‎∴f(＋)＝3sin(α＋＋)＝3cos α.‎ 又∵f(＋)＝，即3cos α＝，‎ ‎∴cos α＝，∴sin α＝±.‎