2019届二轮复习（文）数列的概念与简单表示法学案（全国通用）

2019届二轮复习（文）数列的概念与简单表示法学案（全国通用）

‎ 5.1　数列的概念与简单表示法 一、 知识梳理：‎ ‎1．数列的定义 按照 排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 ．‎ ‎2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数 有穷数列 项数 ‎ 无穷数列 项数 ‎ 按项与项间的大小关系 递增数列 an＋1 an 其中n∈N ‎ 递减数列 an＋1 an 常数列 an＋1 an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 按其他标准 有界数列 存在正数M，使|an|≤M 周期数列 存在非零整数Ｔ，使an＋Ｔ＝an恒成立 ‎3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是 、 和 ．‎ ‎4．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．‎ ‎5．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝ ．‎ 二、基础自测：‎ ‎1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an等于 (　　)‎ A. 　　　B．cos　　　　C．cosπ　　　 D．cosπ ‎2.下列说法正确的是 (　　)‎ A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} B.数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列 C.数列的第k项为1＋ D.数列0,2,4,6，…可记为{2n}‎ ‎3．对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的 (　　)‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，则a5的值为 (　　)‎ A．30 B．31 C．32 D．33‎ ‎5.已知数列的前项的和，则数列的通项公式为 .‎ 三、典例分析：‎ 题型一　由数列的前几项写数列的通项公式 ‎ ‎[例1] 写出下面各数列的一个通项公式：‎ ‎（1）1,－7，13,－19，…；‎ ‎（2），1，，，…；‎ ‎（3），，－，，－，，…；‎ ‎（4）－1，，－，，－，，…；‎ ‎（5）1,3,6,10,15，…；‎ ‎（6）3,33,333,3333，…‎ ‎[变式1] 已知数列{an}的前四项分别为1,0,1,0，给出下列各式：‎ ‎①an＝；②an＝；③an＝sin2；④an＝；⑤an＝；⑥an＝＋(n－1)(n－2)．其中可以作为数列{an}的通项公式的有 (填序号)．‎ 题型二　由Sn或an与Sn的关系求通项an ‎[例2] 已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求an.‎ ‎[变式2] 设Sn为数列{an}的前n项的和，且Sn＝(an－1)(n∈N )，求an.‎ ‎[变式3] 已知数列{an}，满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，求an.‎ 题型三　由递推公式求通项公式 ‎[例3] 设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N )，求数列前10项的和．‎ ‎[变式4] 在数列{an}中，a1＝4，nan＋1＝(n＋2)an，求数列{an}的通项公式．‎ ‎[变式5] 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an.‎ ‎[变式6] 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求数列{an}的通项公式．‎ 题型四　数列性质的应用（数列的单调性与最值、周期性）‎ ‎[例4] 数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.‎ ‎(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值．‎ ‎(2)对于n∈N ，都有an＋1>an.求实数k的取值范围．‎ ‎[变式7] （教材改编：必修5习题2.1 A组4（2））‎ 在数列{an}中，，，则 ． ‎ ‎ 5.1　数列的概念与简单表示法 跟踪练习 一、 选择题 ‎1．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3 (　　)‎ A．不是数列{an}中的项 B．只是数列{an}中的第2项 C．只是数列{an}中的第6项 D．是数列{an}中的第2项和第6项 ‎2．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝ (　　)‎ A．2n B．2n－1 C．2n D．2n－1‎ ‎3．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N )，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为 (　　)‎ A．5 B. C. D. ‎4．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N )，则数列{an}的通项公式是 (　　)‎ A．2n－1 B. C．n2 D．n ‎5．在正数数列{an}中，a1＝1，(n＋2)·a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，n∈N ，则通项公式为(　　)‎ A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝n[‎ ‎6．(2018·福州八中)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N )，则a2 017等于 (　　)‎ A．1 B．0 C．2 017 D．－2 017‎ ‎7．(2018·衡水中学)若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N )，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为 (　　)‎ A．6　　 B．7 C．8　 　D．9‎ ‎8．已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是 (　　)‎ A．(－∞，6) B．(－∞，4] C．(－∞，5) D．(－∞，3]‎ ‎9．在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N ，都有am＋n＝am·an.若a6＝64，则a9等于A．256 B．510 C．512 D．1024 (　　)‎ ‎10．设曲线f(x)＝xn+1(n∈N )在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则 x1·x2·x3·x4…x2 017等于 (　　)‎ A. B. C. D. 二、填空题 ‎11．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝ .‎ ‎12．数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·n，则此数列的最大项是第 项．‎ ‎13．(2018·大连模拟)已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为 ．‎ ‎14．设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，则an＝ .‎ ‎ ‎ ‎15.(2018·郑州模拟)意大利数学家 列昂纳多·斐波那契 以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:‎ ‎1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,即F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+ F(n-2)(n≥3,n∈N ),此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用,若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{bn},则b2 018= .‎ ‎ 5.1　数列的概念与简单表示法 跟踪练习答题卷 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 二、填空题 ‎11、 12、 13、 14、 15、 ‎ 三、 解答题 ‎16．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，求数列{an}的通项公式．‎ ‎17．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.‎ ‎(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．‎ ‎18.(2018·银川模拟)已知函数f(x)=2x-2-x,数列{an}满足f(log2an)= -2n.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(2)证明:数列{an}是递减数列.‎ ‎19．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N .‎ ‎(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若an＋1≥an，n∈N ，求a的取值范围．‎ ‎ 5.1　数列的概念与简单表示法 答案 一、 知识梳理： 1．一定顺序 项 2．有限 无限 > < = 3．列表法、图象法、解析法 4．序号n 5．an＝ 二、 基础自测：‎ ‎1．[答案]　D　[解析]　令n＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．‎ ‎2．C． 3．[答案]　B [解析]　当an＋1>|an|(n＝1,2，…)时，∵|an|≥an，∴an＋1>an，∴{an}为递增数列．当{an}为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a2>|a1|不成立，即知：an＋1>|an|(n＝1,2，…)不一定成立．故综上知，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件． 4.B 5. ‎ 三、 典例分析：‎ ‎[例1] 解：（1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）an＝(－1)n·.也可写为 ‎（5） ； （6）；‎ ‎[变式1] ①③④‎ ‎[例2] 【答案】an=4n－5【解析】(1)a1＝S1＝2－3＝－1，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，‎ 由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.‎ ‎[变式2] 【答案】an＝3n 【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，整理，得an＝3an－1，即＝3，又a1＝3，∴数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴an＝3n.‎ ‎[变式3] 【答案】an＝ ‎[例3] 解　由题意可得，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝，则＝＝2，数列的前10项的和为＋＋…＋＝2＝.‎ ‎[变式4] ‎ N )．‎ ‎[变式5] 解　设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，解得t＝－3.故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)．‎ 令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.所以{bn}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列．所以bn＝4×2n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－3.‎ ‎[变式6]‎ ‎ ‎ ‎[例4] 解　(1)由n2－5n＋4<0，解得1an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，‎ 可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N ，所以－<，即得k>－3.‎ ‎[变式7] 5‎ 跟踪练习 1． D. 2．C. 3．B. 4．D 5．B. 6．A. 7．B.‎ ‎8．【答案】D【解析】数列{an}的通项公式是关于n(n∈N )的二次函数，若数列是递减数列，则－<，即λ<6。‎ ‎9．【答案】C【解析】在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N ，都有am＋n＝am·an.∴‎ a6＝a3·a3＝64，a3＝8.∴a9＝a6·a3＝64×8，a9＝512.故选C. ‎ ‎10．[答案]　B[解析]　由f(x)＝xn＋1得f′(x)＝(n＋1)xn，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得xn＝，故x1·x2·x3·x4·…·x2 017＝××…×＝.‎ 二、填空题 ‎11．【答案】【解析】当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，‎ 所以an＝ ‎12．[答案]　9、10 [解析]　(1)∵an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n＝n×，‎ 当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；‎ 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；‎ 当n>9时，an＋1－an<0，即an＋10)，则f′(x)＝1－，令f′(x)＝0得x＝.‎ ‎∴当0时，f′(x)>0，‎ 即f(x)在区间(0，)上递减；在区间(，＋∞)上递增．又5<<6，‎ 且f(5)＝5＋－1＝，f(6)＝6＋－1＝，‎ ‎∴f(5)>f(6)，∴当n＝6时，有最小值.‎ ‎14．【答案】【解析】因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①‎ 则当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，②‎ ‎①－②得3n－1an＝，所以an＝(n≥2)．‎ 由题意知a1＝，符合上式，所以an＝.‎ ‎15.答案:1 【解析】由题意得,引入“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,….此数列被3整除后的余数构成一个新数列为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2, 2,1,0,…构成以8为周期的周期数列,所以b2 018=b2=1.‎ ‎16．解　由题意知an＋1－an＝2n，‎ an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.‎ ‎17．解　(1)由n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4.‎ ‎∵n∈N ，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a2，a3.‎ ‎(2)∵an＝n2－5n＋4＝2－.又n∈N ，∴n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.‎ ‎18.【解析】(1)因为f(x)=2x-,f(log2an)=-2n,所以an-=-2n,‎ 所以an2+2nan-1=0,解得an=-n±,因为an>0,所以an=-n,n∈N .‎ ‎(2)=<1,‎ 因为an>0,所以an+1a1.‎ 综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．‎