专题21+三角函数的性质（检测）-2019年高考数学（文）名师揭秘之一轮总复习

专题21+三角函数的性质（检测）-2019年高考数学（文）名师揭秘之一轮总复习

‎《2019年高考数学名师揭秘》之一轮总复习（文科）‎ 专题21三角函数的性质 本专题特别注意：‎ ‎1.图象的平移（把系数提到括号的前边后左加右减）‎ ‎2. 图象平移要注意未知数的系数为负的情况 ‎3. 图象的横坐标伸缩变换要注意是加倍还是变为几分之几 ‎4.五点作图法的步骤 ‎ ‎5.利用图象求周期 ‎6.已知图象求解析式 ‎【学习目标】‎ ‎1．理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性．‎ ‎2．会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期．‎ ‎3．理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题．‎ ‎【方法总结】‎ ‎1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致：‎ ‎(1)首先看定义域是否关于原点对称；‎ ‎(2)在满足(1)后，再看f(－x)与f(x)的关系.‎ 另外三角函数中的奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atanωx，偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式.‎ ‎2.三角函数的单调性 ‎(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的确定，其基本思想是把ωx＋φ看作一个整体，比如：由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间.‎ 若函数y＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＜0，可用诱导公式将函数变为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间.‎ 对函数y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)等单调性的讨论同上.‎ ‎(2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：①先判断正负；②利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；③再利用单调性比较.‎ ‎3.求三角函数的最值常见类型：‎ ‎(1)y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Atan(ωx＋φ)＋B，‎ ‎(2)y＝A(sin x－a)2＋B，‎ ‎(3)y＝a(sin x±cos x)＋bsin xcos x(其中A，B，a，b∈R，A≠0，a≠0).‎ 高考模拟：‎ 一、单选题 ‎1．关于函数，下列判断正确的是（ ）‎ A. 有最大值和最小值 B. 的图象的对称中心为（）‎ C. 在上存在单调递减区间 D. 的图象可由的图象向左平移个单位而得 ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用三角函数公式化简函数表达式，结合函数的图象与性质即可判断.‎ 详解：函数==‎ ‎=2sin（2x+）且sin（2x+）≠0，‎ 对于A：f（x）=2sin（2x+）存在最大值和不存在最小值．A不对；‎ 对于B：令2x+=kπ，可得x=，‎ ‎∴f（x）的图象的对称中心为（k∈Z），B对．‎ 对于C：令2x+，可得，‎ ‎∴f（x）在上不存在单调递减区间．‎ 对于D：y=2sin2x的图象向左平移个单位，可得2sin2（x）=2sin（2x+），‎ 但sin（2x+）≠0，‎ 故选：B．‎ 点睛：：函数的性质 ‎(1) .‎ ‎(2)周期 ‎(3)由 求对称轴 ‎(4)由求增区间;由求减区间.‎ ‎2．已知，下列结论中错误的是（ ）‎ A. 既是偶函数又是周期函数 B. 的最大值是1‎ C. 的图像关于点对称 D. 的图像关于直线对称 ‎【答案】B 对于选项B，∵|cosx|⩽1，|sin2x|⩽1，且等号不能同时成立，‎ ‎∴无论x取什么值，f(x)=cosxsin2x均取不到值1，故B不正确．‎ 对于选项C，∵f(x)+f(π−x)=cosxsin2x+cos(π−x)sin2(π−x)=cosxsin2x−cosxsin2x=0，‎ ‎∴f(x)的图象关于点对称．故C正确．‎ 对于选项D，∵f(2π−x)=cos(2π−x)sin2(2π−x)=cosxsin2x=f(x)，‎ ‎∴f(x)的图象关于直线x=π对称，故D正确．‎ 综上可得错误的结论是B．‎ 故选B．‎ 点睛：（1）‎ 本题考查三角函数性质的综合运用，解题时要根据题目的要求并结合相关性质进行推理、判断．‎ ‎（2）解题时注意函数的对称性、奇偶性、周期性的表示，如函数f(x)的图象关于直线对称等．‎ ‎3．如图，已知函数（）的部分图像与轴的一个交点为，与轴的一个交点为，那么（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由特殊点的坐标求出φ，再根据五点法作图求出ω，可得函数的解析式；再根据定积分的意义，以及定积分的计算公式，求出弧线AB与两坐标所围成图形的面积．‎ 详解：‎ 点睛：已知函数的图象求解析式:(1)；(2)由函数的周期求；(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.‎ ‎4．函数满足，且则的一个可能值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题设可得函数的图象关于对称，也关于对称，由此求出函数的周期的值，从而得出的可能取值.‎ 详解：函数，满足，‎ 函数的图象关于对称，‎ 又，‎ 函数的图象关于对称，‎ 为正整数，‎ ‎，即，‎ 解得为正整数，‎ 当时，，的一个可能取值是，故选B 点睛：本题考查了函数的图象与性质的应用问题，属于中档题.求三角函数的周期时，注意运用对称轴与对称中心的“距离”是四分之一周期的整数倍.‎ ‎5．已知函数的图象与轴相切，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由函数的图象与轴相切，可得的最大值为，求出，得出的解析式，再计算.‎ 详解：，且的图象与轴相切，‎ 所以最大值，‎ ‎，即，‎ ‎，‎ ‎，故选B.‎ 点睛：本题主要考查由三角函数的性质求解析式，以及特殊角的三角函数，属于简单题.‎ ‎6．函数的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，则可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 点睛：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律和对称问题，同时对三角函数的图像的熟悉是本题关键，属于基础题．‎ ‎7．函数在下列区间单调递增的为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据条件利用降幂公式和诱导公式化简函数的解析式，结合三角函数单调性的性质进行求解即可．‎ 详解：f（x）=cos2（π﹣x）﹣==cos（﹣2x）=﹣sin2x，‎ 由2kπ+≤2x≤2kπ+，k∈Z，‎ 得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，‎ 即函数单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，‎ 当k=0时，函数的单调递增区间为[，]，‎ ‎∵（，）⊆[，]，‎ ‎∴（，）是函数的一个单调递增区间，‎ 故答案为：D 点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，考查复合函数的单调性，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合的思想方法.（2）本题是一个易错题，‎ 分解函数为根据复合函数的单调性原理，要求f(x)的单调性，就是求正弦函数的减区间，所以2kπ+≤2x≤2kπ+，k∈Z,这里不是求正弦函数的增区间.‎ ‎8．设函数.若,且，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：采用取特殊值的方法求解，画出函数的图象，根据图象找到使得且的的值，并由此得到所求的范围．‎ 详解：（特殊值法）画出的图象如图所示．‎ 结合图象可得，当时，；当时， ，满足．‎ 由此可得当,且时，．‎ 故选B．‎ 点睛：本题考查三角函数图象的画法和图象的应用，考查学生运用数形结合解决问题的能力，有一定难度．解题的关键值确定满足条件的临界位置，并在此基础上得到满足条件的最小值，然后将此结论推广可得所求的范围．‎ ‎9．如图所示的是函数（，）在区间上的图象，将该函数图象各点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移（‎ ‎）个单位长度后，所得到的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由周期求出ω，由五点法作图求出的值，可得函数的f（x）的解析式．再根据函数g(x)的对称轴求出m的最小值，可得结论．‎ 故把f（x）=sin（2x+）的图象各点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移m（m＞0）个单位长度后，得到g（x）=sin（4x﹣4m+）的图象，‎ ‎∵所得图象关于直线对称，‎ ‎∴4×﹣4m+=+kπ，解得：m=﹣kπ，k∈Z，‎ ‎∴由m＞0，可得当k=1时，m的最小值为．‎ 故答案为：C 点睛：(1)本题主要考查三角函数图像的变换和三角函数的图像性质，意在考查学生掌握这些基础知识的能力和数形结合的能力.(2)正弦函数y=sinx的对称轴方程为，‎ 注意这里不是要结合三角函数图像理解，不要死记硬背.‎ ‎10．已知函数，若对任意的，关于的方程（）总有两个不同的实数根，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：把方程在内有两个不同的实数根，等价于函数与的图象有两个不同的交点，即可借助三角函数的图象与性质，即可求解．‎ 点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，及函数与方程，其中把方程的解转化为两个函数的图象的交点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ ‎11．已知函数，若，则上具有单调性，那么的取值共有（ ）‎ A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 ‎【答案】D ‎【解析】分析：由，得到，因为在上具有单调性，得到，则，即可得到的个数.‎ 详解：因为，所以，‎ 所以，因为在上具有单调性，‎ 所以，所以，所以，所以，‎ 因此，所以的取值共有9个，故选D.‎ 点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，熟记三角函数的图象与性质及整体代换的方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.‎ ‎12．已知函数（，），满足，且对任意，都有．当取最小值时，函数的单调递减区间为 A. ，Z B. ，Z C. ，Z D. ，Z ‎【答案】A ‎【解析】分析：由，可得关于对称，对任意，可得时，取得最小值，即可求解解析式，从而利用正弦函数的单调性列不等式，求解函数的单调递减区间.‎ 详解：由，化为，‎ 可得图象关于点对称，‎ 对任意，‎ 所以时，取得最小值，当取最小值时，‎ 即周期最大，可得，可得，‎ 那么，函数，‎ 当时，取得最小值，‎ ‎，，‎ 即函数，‎ 令，‎ 得，‎ 所以，函数的单调递减区间为：‎ ‎，,故选A.‎ 点睛：的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由 求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.‎ ‎13．函数的图象大致为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先利用函数为奇函数排除选项C、D，再利用特殊函数值的符号排除选项B．‎ 详解：易知的定义域为，‎ 且 ‎，‎ 即函数是奇函数，图象关于原点对称，‎ 故排除选项C、D；‎ 又，‎ 故排除选项B，故选A．‎ 点睛：在已知函数的解析式判定函数的图象时，常采用排除法，往往从以下几方面进行验证：‎ 定义域（函数的定义域优先原则）、最值、周期性、函数的奇偶性（奇函数的图象关于原点对称、偶函数的图象关于轴对称）或对称性、单调性（基本函数的单调性、导数法）、特殊点对应的函数值等．‎ ‎14．若函数 满足 且的最小值为，则函数的单调递增区间为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：首先根据诱导公式和辅助角公式化简函数解析式，之后应用题的条件求得函数的最小正周期，求得的值，从而求得函数解析式，之后利用整体思维，借助于正弦型函数的解题思路，求得函数的单调增区间.‎ 详解： ，‎ 根据题中条件满足 且的最小值为，‎ 所以有，所以，从而有，‎ 令，整理得，‎ 从而求得函数的单调递增区间为，故选D.‎ 点睛：‎ 该题考查的是有关三角函数的综合问题，涉及到的知识点有诱导公式、辅助角公式、函数的周期以及正弦型函数的单调区间的求法，在结题的过程中，需要对各个知识点要熟记，解题方法要明确.‎ ‎15．已知为正常数，,若存在，满足，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先根据题意分析出函数f(x)关于直线x=a对称，再利用对称性求出a的表达式，再求的范围.‎ 详解：设则其关于直线x=a对称的曲线为 ‎ 所以函数f(x)的图像关于直线 对称，且在上为增函数．‎ 所以 ．‎ 因为 ，．‎ 所以．‎ 故答案为：D.‎ 点睛：本题解题的关键是发现函数f(x)的对称性，其图像关系直线x=a对称,要证明函数的图像关于直线x=a对称，只要证明即可.否则本题解答比较复杂.对于函数的问题，我们要善于从发现已知中的隐含信息，研究函数的奇偶性、对称性、单调性、周期性等,再利用图像的性质帮助我们解题.‎ ‎16．已知函数，那么下列说法正确的是（ ）‎ A. 函数在是增函数，且最小正周期是 ‎ B. 函数在是增函数，且最小正周期是 C. 函数在是减函数，且最小正周期是 D. 函数在是减函数，且最小正周期是 ‎【答案】B 点睛：此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围，难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等．‎ ‎17．若函数的部分图象如图所示，则的一条对称轴为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意可得函数的图象的一个对称中心为（，0），再根据（，0）是图象上和（，0）相邻的一个对称中心，从而求得它的一条对称轴．‎ 详解：根据函数=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈（0，π））的部分图象，‎ 可得函数的图象的一个对称中心为（，0），‎ 再根据（﹣，0）是图象上和（，0）相邻的一个对称中心，‎ 故它的一条对称轴为x=，故答案为：C 点睛：本题主要考查正弦函数的图像和性质，意在考查正弦函数的图像性质等基础知识的掌握能力.‎ ‎18．函数在区间上的零点个数为（ ）‎ A. 5 B. 4 C. 3 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：令函数值为0，构建方程，即可求出在区间上的解，从而可得函数在区间上的零点个数.‎ 详解：由题意可知或，又，所以，当时，，在相应的范围内，k只有-1,0,1三个值可取，所以总共有4个零点，故选B.‎ 点睛：该题属于确定函数零点个数的问题，在解题的过程中，首先令函数值为0，构建方程，尤其需要注意的是在上解的个数，不要漏解.‎ ‎19．已知函数，实常数使得对任意的实数恒成立，则的值为（ ）‎ A. -1009 B. 0 C. 1009 D. 2018‎ ‎【答案】B 点睛：本题涉及恒成立问题，我们知道两个多项式恒等，则两边的对应项系数应相等，而本题中函数是三角函数，它的恒成立与多项式类似，如对恒成立的充要条件是，结合三角函数的周期性，对恒成立的条件是或．‎ ‎20．设函数的图象在点处切线的斜率为，则函数的图象一部分可以是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为 ，所以，由知 函数为奇函数，所以排除B,D选项，当从右边时，，所以，故选A.‎ ‎21．已知函数，将其图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数为奇函数，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 二、填空题 ‎22．设函数，其中，， ，若对一切恒成立，则函数的单调递增区间是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知函数的周期为，一个最小值点为，由图像可以得递增区间．‎ 故答案为： ‎ ‎23．函数 的部分图象如图所示,则__________；函数在区间上的零点为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由图得,即最小正周期又因为,且,解得，由图得时, ，又因为,所以， 的零点即的图象与轴交点的横坐标，则,解得，因为,得到，所以零点为，故答案为.‎ ‎24．如图，点在轴的非负半轴上运动，点在轴的非负半轴上运动.且，，.设点位于轴上方，且点到轴的距离为，则下列叙述正确的个数是__________．‎ ‎①随着的增大而减小；‎ ‎②的最小值为，此时；‎ ‎③的最大值为，此时；‎ ‎④的取值范围是.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设∠BAM=，则，‎ 当增大时，减小，先增大后减小，‎ 当时，取到最大值，此时.‎ 当时，取到最小值，此时.‎ ‎∴②③正确 故答案为：2‎ ‎25．已知函数，若，，且，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由于函数为奇函数，其在区间上为增函数，而，结合可知.所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性与单调性，考查角变换之后的取值范围，考查特殊角的三角函数值.首先观察函数，由于其构成为一个三次方的函数和一个正弦函数，故它为奇函数，并且在区间上为增函数，而，要两个函数值相等，则它们必相等.‎ ‎26．已知函数的部分图象如图所示， ______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】依题意，因为函数的图像关于原点对称对称，故，因为，所以，故，结合图像可知的周期为2‎ ‎，所以，所以，故.‎ 故答案为：2.‎ ‎27．函数的最小正周期为________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】 ‎ 故函数的最小正周期 ‎ 即答案为 ‎28．已知（， 为常数， ）的展开式中不含字母的项的系数和为243，则函数， 的最小值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由题意结合二项式定理知（1+b）n=243‎ 又b∈N*，探究知，仅有当b=2时，35=243，由此得n=5.‎ ‎，令，则，即，显然其在上单调递增，∴最小值为2.‎ 故答案为：2‎ ‎29．已知函数（， ）的图象如图所示，其中， ，则函数__________．‎ ‎【答案】‎ ‎30．在中，角的对边分别为，且满足，则函数的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知， ，即，即，‎ 则，∴，即， ‎ ‎，即时， 取得最大值．‎ ‎31．已知函数,下列结论中正确的是______.（把所有正确序号都填上）‎ ‎①是函数的一个周期; ②存在正数 使得对任意 有;‎ ‎③的对称轴为 ;④函数在内是增函数.‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】‎ ‎① 故正确；‎ ‎ ，故②正确；‎ ‎ ‎ ‎ 即函数为偶函数，由函数为周期函数可知的对称轴为 ;故③正确；‎ ‎ 故④不正确.‎ 即答案为①②③.‎ 三、解答题 ‎32．已知函数 ，满足，且当时，在取得最大值为.‎ ‎（1）求函数在的单调递增区间；‎ ‎（2）在锐角的三个角，，所对的边分别为，，，且，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1），.‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】分析：‎ ‎（1）由可得，又，再根据在取得最大值得到．然后再结合可得 和，从而得到函数的解析式．将作为一个整体可得单调增区间．（2）由条件可得，根据余弦定理得到 ，再由正弦定理得 ，于是可得所求范围为．‎ 详解：（1）由题意得，‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎∵在取得最大值，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 由题意得，解得，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴,‎ ‎∴当或，即或时函数单调递增，‎ ‎∴函数在的单调递增区间为，．‎ ‎（2）由（1）及条件得，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 由余弦定理可得，‎ ‎∴ ，‎ 由正弦定理可得 ‎ ‎∵是锐角三角形，‎ ‎∵，解得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∴的取值范围为.‎ 点睛：解答本题注意以下几点：‎ ‎（1）研究三角函数的性质时，首先应将函数解析式化为的形式，然后再将看作一个整体并结合正弦函数的相关性质求解．‎ ‎（2）求的取值范围时，容易忽视“锐角三角形”这一条件，从而得到扩大的的范围，导致得到错误的结果．‎ ‎33．已知向量，，，设函数.‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求函数的单调递减区间；‎ ‎（3）求在上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）（2），.（3）最大值是1，最小值是.‎ ‎【解析】分析：（1）先化简，再求函数的最小正周期.(2)利用复合函数的单调性原理求函数的单调递减区间.(3)利用三角函数的图像和性质求函数在上的最大值和最小值.‎ ‎（1）的最小正周期为，即函数的最小正周期为.‎ ‎（2）函数单调递减区间：‎ ‎，，‎ 得：，，‎ ‎∴所以单调递减区间是，.‎ ‎（3）∵，‎ ‎∴.‎ 由正弦函数的性质，‎ 当，即时，取得最大值1.‎ 当，即时，，‎ 当，即时，，‎ ‎∴的最小值为.‎ 因此，在上的最大值是1，最小值是.‎ 点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)求三角函数在区间上的最值，一般利用三角函数的图像和性质解答，先求的范围，再利用三角函数的图像和性质求的最值.‎ ‎34．设函数图像中相邻的最高点和最低点分别为．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数的图像向左平移个单位长度后关于点对称，求的最小值．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】分析：（1）由题意，得出函数的解析式，再由正弦型函数的图象与性质，即可求解函数的单调递减区间；‎ ‎（2）函数的图象向左平移个单位长度后，得，再根据图象关于点，列出方程，即可求解的最小值.‎ 详解：（1）由题，，周期，∴，‎ 再由，即，‎ 得：，又，∴，，‎ 由，得的单减区间为．‎ ‎（注：亦可结合周期及最高点、最低点的坐标获得函数的单调递减区间．）‎ 点睛：本题考查了三角函数的图象变换及三角函数的图象与性质的应用，求最小正周期时可先把所给三角函数式化为或的形式，即可研究三角函数的图象与性质，着重考查了转化与化归的思想方法，以及推理与运算能力.‎ ‎35．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为，已知，‎ 且.‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）设函数，求函数的最大值 ‎【答案】（1）（2）2‎ ‎【解析】分析：（1）由余弦定理易得，，由正弦定理可得，进而得，即可得A；‎ ‎（2）化简，当，.‎ 详解：（1）在△ABC中，因为，所以. ‎ 在△ABC中，因为，由正弦定理可得，‎ 所以，，，故 ‎ 点睛：本题主要考查了三角形正余弦定理的应用及三角函数的最值，属于基础题.‎ ‎36．已知函数 ‎（1）求函数的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x的取值集合；‎ ‎（2）已知中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】(1)2, .‎ ‎(2) a∈[1,2).‎ ‎【解析】分析：（1）由三角恒等变换的公式，化简得,利用三角函数的图象与性质，即可得到结果．‎ ‎ (2)由，求得，再由余弦定理和基本不等式，即可求解边的取值范围．‎ 详解：（1）,‎ ‎，可得f(x)递增区间为,‎ 函数f(x)最大值为2，当且仅当，即，‎ 即取到∴.‎ ‎(2)由，化简得,‎ ‎ ,‎ 在△ABC中，根据余弦定理，得a2=b2+c2-bc=(b+1)2-3bc,‎ 由b+c=2，知bc≤1,即a2≥1,∴当b=c=1时，取等号,‎ 又由b+c>a得a<2,所以a∈[1,2).‎ 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.‎ ‎37．在中，，是边上的一点.‎ ‎（1）若，求的长；‎ ‎（2）若，求周长的取值范围.‎ ‎【答案】 （1） （2）‎ ‎【解析】分析：（1）先化简得到cos∠DAC＝再利用余弦定理求出CD得解.(2)先利用正弦定理求出AB+BC的表达式，再求其范围.‎ 详解：（Ⅰ）在△ADC中，AD＝1，，‎ 所以＝cos∠DAC＝1×2×cos∠DAC＝3, ‎ 所以cos∠DAC＝.‎ 由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos∠DAC＝12＋1－2×2×1×＝7，‎ 所以CD＝. ‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中由正弦定理得 ‎ ‎ ‎.‎ 的周长为 . ‎ 点睛：（1）本题主要考查数量积，考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和函数的思想及分析推理能力. (2)本题求周长的取值范围运用了函数的思想，先求，再求函数的定义域,再利用三角函数的图像性质求其范围.函数的思想是高中数学的重要思想，大家要理解掌握并灵活运用.‎ ‎38．如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段和以为直径的半圆弧组成，其中为2百米，为．若在半圆弧，线段，线段上各建一个观赏亭，再修两条栈道，使. 记．‎ ‎（1）试用表示的长；‎ ‎（2）试确定点的位置，使两条栈道长度之和最大.‎ ‎【答案】（1）；（2）与重合.‎ ‎【解析】分析：（1）解直角三角形BDC用表示的长.(2)先利用正弦定理求出DF＝4cosθsin(＋θ)， 再求出DE＝AF=4－4，再利用三角函数求DE＋DF的最大值.‎ 详解：（1）连结DC．‎ 在△ABC中，AC为2百米，AC⊥BC，∠A为，‎ 所以∠CBA＝，AB＝4，BC＝． ‎ 因为BC为直径，所以∠BDC＝，‎ 所以BD＝BC cosθ＝cosθ． ‎ ‎（2）在△BDF中，∠DBF＝θ＋，∠BFD＝，BD＝cosθ，‎ 所以， ‎ 所以DF＝4cosθsin(＋θ)， ‎ 且BF＝4，所以DE＝AF=4－4， ‎ 所以DE＋DF＝4－4＋4 sin(＋θ)= sin2θ－cos2θ＋3‎ ‎＝2 sin(2θ－)＋3． ‎ 因为≤θ＜，所以≤2θ－＜，‎ 所以当2θ－＝，即θ＝时，DE＋DF有最大值5，此时E与C重合．‎ 答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大．‎ 点睛：（1）本题主要考查解三角形和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力、计算能力,意在考查学生函数思想方法. (2)本题的关键是想到函数的思想方法，先求出DE＋DF sin2θ－cos2θ＋3＝2 sin(2θ－)＋3，再根据≤θ＜，利用三角函数的图像性质求函数的最大值.‎ ‎39．已知 ， ， ，函数 ，直线 是函数 图像的一条对称轴.‎ ‎（1）求函数的解析式及单调递增区间；‎ ‎（2）在 中，已知 ， ， ，求 边长.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)4.‎ ‎【解析】分析：(1)利用平面向量数量积公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式将函数化为，由用是函数 图象的一条对称轴，可得，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间；（2）可得 ‎ ，结合 ， ，利用余弦定理列方程可得的值.‎ 详解：（1） ‎ 是函数图像的一条对称轴 ‎ ‎ ‎，的增区间为：‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ 在中，由余弦定理：‎ ‎ ‎ 点睛：以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.‎ ‎40．已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求函数图象的对称轴方程；‎ ‎(Ⅱ)将函数图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为.当时，求函数的值域.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】分析：(Ⅰ)利用二倍角的正弦公式、诱导公式以及两角差的正弦公式将函数化为，利用，可解得函数图象的对称轴方程；(Ⅱ)将函数图象向右平移个单位，可得，因为，∴，利用正弦函数的性质结合正弦函数的图象可得函数的值域.‎ 详解： (Ⅰ) .‎ 令，解得.‎ ‎∴函数图象的对称轴方程为. ‎ ‎(Ⅱ)易知.‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴，‎ 即当时，函数的值域为. ‎ 点睛：对三角函数考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解.‎ ‎41．已知函数 .‎ ‎（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；‎ ‎（2）在中，三内角，，的对边分别为，，，已知，若，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）最小正周期：，单调递增区间为：；（2）.‎ 试题解析：（1） .‎ ‎∴最小正周期：， ‎ 由可解得：.‎ ‎∴的单调递增区间为：;‎ ‎（2）由可得：.‎ ‎∵‎ ‎∴ ‎ 又∵， ‎ ‎∵‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎42．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的曲线上运动.‎ ‎(I)若点在射线上,且,求点的轨迹的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)设,求面积的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.‎ ‎(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（Ⅰ）设，则，由题意得，从而，故，化为直角坐标方程可得．(Ⅱ) 设，则运用极坐标求解可得，可得最大值为．本题也可用直角坐标方程求解．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设，则，‎ 又,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎，‎ ‎．‎ 将代入上式可得点的直角坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ）设，则 ‎，‎ 的面积 ‎，‎ 当且仅当，即时等号成立.‎ 面积的最大值为．‎ ‎（用直角坐标方程求解，参照给分）‎ ‎43．已知，，设函数，.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若的内角，，所对的边分别为，，，且，，，求的面积.‎ ‎【答案】（I） ；（II）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由向量的数量积坐标运算得，令 ，可得增区间；‎ ‎（Ⅱ）由（I）知，可得，由余弦定理可得，从而可得面积.‎ ‎（II）由（I）知，即，‎ 而，知，所以，即．‎ 由，有 解得.‎ ‎ ．‎ 故所求面积为．‎