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文档介绍
【数学】2019届一轮复习人教A版第8章立体几何初步第3课时直线与平面的位置学案
第3课时 直线与平面的位置 关系（2） （对应学生用书（文）111 113页、（理）113 115页） 了解直线与平面的位置关系，了解空间垂直的有关概念；熟练运用线面垂直的判定定理和性质定理. 要注意线线垂直、线面垂直的转化.可以按照要证明的目标重新整理知识点. 1. （必修2P38练习2（3）改编）已知直线l，a，b，平面α.若l∥a，a⊥α，b⊥α，则l与b的位置关系是 Ｗ. 答案：平行 解析：由线面垂直的性质可知，若a⊥α，b⊥α，则a∥b.因为l∥a，所以l∥b. 2. 已知两条异面直线平行于一平面，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是 Ｗ.（填序号） ① 平行；② 垂直；③ 斜交；④ 不能确定. 答案：② 解析：设a，b为异面直线，a∥平面α，b∥平面α，直线l⊥a，l⊥b.过a作平面β∩α＝a′，则a∥a′，∴ l⊥a′.同理过b作平面γ∩α＝b′，则l⊥b′.∵ a，b异面，∴ a′与b′相交，∴ l⊥α. 3. 设l，m表示直线，m是平面α内的任意一条直线，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的 条件.（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”） 答案：充要 解析：由线面垂直的定义知，直线垂直于平面内任意一条直线，则直线与平面垂直，说明是充分条件，反之，直线垂直于平面，则直线垂直于平面内任意一条直线，说明是必要条件，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的充要条件. 4. （必修2P42习题9改编）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上不同于A，B的任一点，则图中直角三角形的个数为 Ｗ. 答案：4 解析：因为AB是圆O的直径，所以AC⊥BC，△ACB是直角三角形；由PA⊥平面ABC可得，PA⊥AB，PA⊥AC，所以△PAB与△PAC是直角三角形；因为PA⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.又BC⊥AC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.而PC⊂平面PAC，所以BC⊥PC，△PCB是直角三角形.故直角三角形的个数为4. 5. （必修2P38练习3改编）在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB＝1，则点C到平面B1BDD1的距离为 Ｗ. 答案： 解析：连结AC，则AC⊥BD， 又BB1⊥AC，故AC⊥平面B1BDD1， 所以点C到平面B1BDD1的距离为AC＝. 1. 直线与平面垂直的定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a与平面α互相垂直，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足Ｗ. 2. 结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 3. 直线与平面垂直 判定定理 性质定理 文字 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 符号 图形 作用 线线垂直⇒线面垂直 线面垂直⇒线线平行 4. 点到平面的距离 从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 5. 直线和平面的距离 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离. 6. 直线与平面所成的角 （1） 斜线 一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段. （2） 射影 过平面α外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面内的正投影（简称射影），线段P1Q就是斜线段PQ在平面α内的射影，如图. （3） 直线和平面所成的角 平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角.特别地，如果直线和平面垂直，那么就说这条直线与平面所成的角是直角；如果直线与平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角. [备课札记] , 1 直线与平面垂直的判定) , 1) 如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是AB，BC的中点，A1C1与B1D1交于点O.若底面ABCD是菱形，且OD⊥A1E，求证：OD⊥平面A1C1FE. 证明：连结BD，因为直棱柱中DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，所以DD1⊥A1C1. 因为底面A1B1C1D1是菱形，所以A1C1⊥B1D1. 又DD1∩B1D1＝D1，所以A1C1⊥平面BB1D1D. 因为OD⊂平面BB1D1D，所以OD⊥A1C1. 又OD⊥A1E，A1C1∩A1E＝A1，A1C1⊂平面A1C1FE，A1E⊂平面A1C1FE，所以OD⊥平面A1C1FE. 变式训练 如图，在三棱锥PABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点.若AC＝BC，求证：PA⊥平面MNC. 证明：因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MN∥PB.又因为PA⊥PB，所以PA⊥MN. 因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB. 因为平面PAB⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB， 所以CM⊥平面PAB. 因为PA⊂平面PAB，所以CM⊥PA. 又因为PA⊥MN，MN⊂平面MNC，CM⊂平面MNC，MN∩CM＝M， 所以PA⊥平面MNC. , 2 直线与平面垂直性质的应用) , 2) 如图，在四棱锥PABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB. （1） 求证：CD⊥AP； （2） 若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB. 证明：（1） 因为AD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB， 所以AD⊥AP. 因为AP⊥AB，AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD， 所以AP⊥平面ABCD. 因为CD⊂平面ABCD，所以CD⊥AP. （2） 因为CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP＝P，PD⊂平面PAD，AP⊂平面PAD， 所以CD⊥平面PAD ①. 因为AD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，所以AB⊥AD. 因为AP⊥AB，AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以AB⊥平面PAD ②. 由①②得CD∥AB， 因为CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CD∥平面PAB. 变式训练 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.求证： （1） EF⊥平面AB1C； （2） EF∥BD1. 证明：（1） 在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1∥AB∥CD，且A1B1＝AB＝CD， 所以四边形A1B1CD是平行四边形，所以A1D∥B1C. 因为EF⊥A1D，所以EF⊥B1C. 又因为EF⊥AC，AC∩B1C＝C，AC⊂平面AB1C，B1C ⊂平面AB1C， 所以EF⊥平面AB1C. （2） 连结BD，则BD⊥AC. 因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， 所以DD1⊥AC. 因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1⊂平面BDD1B1，BD⊂平面BDD1B1， 所以AC⊥平面BDD1B1.又BD1⊂平面BDD1B1， 所以AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C， 又AC∩B1C＝C，AC⊂平面AB1C，B1C⊂平面AB1C， 所以BD1⊥平面AB1C. 又EF⊥平面AB1C， 所以EF∥BD1. , 3 直线与平面垂直的探索题) , 3) 在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D是BC的中点，BC＝BB1. （1） 若P是CC1上任一点，求证：AP不可能与平面BCC1B1垂直； （2） 试在棱CC1上找一点M，使MB⊥AB1. （1） 证明：（反证法）假设AP⊥平面BCC1B1， ∵ BC⊂平面BCC1B1，∴ AP⊥BC. 又正三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥BC，AP∩CC1＝P，AP⊂平面ACC1A1，CC1⊂平面ACC1A1， ∴ BC⊥平面ACC1A1.而AC⊂平面ACC1A1， ∴ BC⊥AC，这与△ABC是正三角形矛盾， 故AP不可能与平面BCC1B1垂直. （2） 解：M为CC1的中点. ∵ 在正三棱柱ABCA1B1C1中，BC＝BB1， ∴ 四边形BCC1B1是正方形. ∵ 点M为CC1的中点，点D是BC的中点， ∴ △B1BD≌△BCM， ∴ ∠BB1D＝∠CBM，∠BDB1＝∠CMB. ∵ ∠BB1D＋∠BDB1＝， ∴ ∠CBM＋∠BDB1＝，∴ BM⊥B1D. ∵ △ABC是正三角形，D是BC的中点， ∴ AD⊥BC. ∵ 平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，AD⊂平面ABC， ∴ AD⊥平面BB1C1C. ∵ BM⊂平面BB1C1C，∴ AD⊥BM. ∵ AD∩B1D＝D，∴ BM⊥平面AB1D. ∵ AB1⊂平面AB1D，∴ MB⊥AB1. 如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F. 解：如图，连结A1B，CD1，则A1B⊥AB1. ∵ 在正方体ABCDA1B1C1D1中，D1A1⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，∴ A1D1⊥AB1. 又A1D1∩A1B＝A1，A1D1，A1B⊂平面A1BCD1， ∴ AB1⊥平面A1BCD1. 又D1E⊂平面A1BCD1，∴ AB1⊥D1E. 于是使D1E⊥平面AB1F等价于使D1E⊥AF. 连结DE，易知D1D⊥AF， 若有AF⊥平面D1DE，只需证DE⊥AF. ∵ 四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点， ∴ 当且仅当点F是CD的中点时，DE⊥AF， 即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F. 1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a（a>0），PA⊥平面ABCD，且PA＝1，问BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由. 解：假设存在点Q，使得PQ⊥QD.连结AQ. ∵ PA⊥平面ABCD，且DQ⊂平面ABCD， ∴ PA⊥DQ. ∵ PQ⊥DQ，且PQ∩PA＝P，PQ⊂平面PAQ，PA⊂平面PAQ， ∴ DQ⊥平面PAQ. ∵ AQ⊂平面PAQ，∴ AQ⊥DQ. 设BQ＝x，则CQ＝a－x，AQ2＝x2＋1，DQ2＝（a－x）2＋1. ∵ AQ2＋DQ2＝AD2，∴ x2＋1＋（a－x）2＋1＝a2， 即x2－ax＋1＝0 （ ）. 方程（ ）的判别式Δ＝a2－4. ∵ a>0， ∴ 当Δ<0，即0查看更多