海淀区2016届高三一模数学（文）试题及答案

海淀区2016届高三一模数学（文）试题及答案

海淀区高三年级第二学期期中练习 数学（文科） 2016.4‎ 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎1. 已知集合，则 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 已知向量，，若，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 某程序的框图如图所示，若输入的（其中为虚数单位）， 则输 ‎ 出的值为 A. B. C. D.‎ ‎4. 若满足 则的最大值为 ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 某三棱椎的三视图如图所示，则其体积为 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 已知点在抛物线上，且点到的准线的距离与 ‎ 点到轴的距离相等，则的值为 A. B. C. D.‎ ‎7. 已知函数 则“”是“函数是偶函数”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 一 二 三 四 五 甲 ‎15‎ ‎17‎ ‎14‎ ‎17‎ ‎15‎ 乙 ‎22‎ ‎23‎ ‎21‎ ‎20‎ ‎20‎ 丙 ‎9‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎12‎ ‎10‎ 丁 ‎7‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎9‎ ‎11‎ 戊 ‎13‎ ‎15‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎11‎ ‎8. 某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如右表所示. 若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列描述正确的是 ‎ ‎ A. 甲只能承担第四项工作 ‎ B. 乙不能承担第二项工作 ‎ C. 丙可以不承担第三项工作 ‎ D. 获得的效益值总和为78‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎9. 函数的定义域为___. ‎ ‎10. 已知数列的前项和为，且，则 ‎ ‎11. 已知为双曲线的一条渐近线,其倾斜角为，且的右焦点为，则的右顶点为__, 的方程为__.‎ ‎12. 在这三个数中，最小的数是__.‎ ‎13. 已知函数. 若，则函数的单调增区间为__. ‎ ‎14. 给定正整数，若从正方体的个顶点中任取个顶点，组成一个集合 均满足，，使得直线, 则的所有可能取值是__. ‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。‎ ‎15.（本小题满分13分）‎ ‎ 在中，，. ‎ ‎（Ⅰ）若，求的值； ‎ ‎（Ⅱ）若的面积为，求的值. ‎ ‎16.（本小题满分13分）‎ 已知数列是等比数列，其前项和为, 满足, .‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）是否存在正整数，使得？若存在，求符合条件的的最小值；若不存在，说明理由. ‎ ‎17.（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，点分别为线段上的点，且. ‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面； ‎ ‎（Ⅱ）求证：当点不与点重合时, //平面； ‎ ‎（Ⅲ）当时，求点到直线距离的最小值. ‎ ‎18.（本小题满分13分）‎ 女 男 ‎8‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎8‎ 一所学校计划举办“国学”系列讲座. 由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动. 在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩 (百分制) 的茎叶图如图所示.‎ ‎（Ⅰ）根据这10名同学的测试成绩,估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩； ‎ ‎（Ⅱ）比较这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差的大小；(只需直接写出结果) ‎ ‎（Ⅲ）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试 成绩均为优良的概率.（注：成绩大于等于75分为优良） ‎ ‎19.（本小题满分14分）‎ 已知椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点，.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程； ‎ ‎（Ⅱ）已知点是椭圆上的动点，且直线，与直线分别交于两点.‎ 是否存在点，使得以为直径的圆经过点？若存在，求出点的横坐标；若不存在，说明理由. ‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ 已知函数. ‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； ‎ ‎（Ⅱ）求函数的零点和极值； ‎ ‎（Ⅲ）若对任意，都有成立，求实数的最小值. ‎ 海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案 ‎ 数学（文科） 2016.4‎ 阅卷须知:‎ ‎1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。‎ ‎2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。‎ 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A C D C A ‎ B A B 二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，‎ 共30分）‎ ‎9． ‎ ‎ 10． ‎ ‎ 11. ‎ ‎12．‎ ‎ 13． ‎ ‎ 14．‎ 说明：1.第9题,学生写成 的不扣分 ‎ 2.第13题写成开区间 的不扣分, ‎ ‎ 没有写的,扣1分 ‎ 3. 第14题有错写的，则不给分 ‎ 只要写出7或8中之一的就给1分，两个都写出，没有其它错误的情况之下给1分 ‎ 写出5，6中之一的给2分，两个都写出，且没有错误的情况之下给4分 ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共80分)‎ ‎15.解：(Ⅰ) 方法一：‎ 在中，因为， ……………………….2分 ‎ 即 ……………………….3分 所以. ……………………….5分 ‎ ‎ 方法二：过点作线段延长线的垂线，垂足为 因为，所以 ……………………….1分 在中， ……………………….3分 在中， ……………………….5分 ‎（Ⅱ）方法一：‎ 因为. ……………………….7分 所以，解得. ……………………….9分 又因为. …………………….11分 所以,‎ 所以. …………………….13分 方法二：过点作线段延长线的垂线，垂足为 因为 , 所以. ‎ 又因为, ……………………….7分 即 ,‎ 所以. ……………………….9分 在中，. ……………………….11分 所以. …………………….13分 ‎16.解：‎ ‎(Ⅰ) 设数列的公比为，‎ 因为，所以. ……………………….1分 因为所以 ……………………….2分 又因为， ……………………….3分 所以, ……………………….4分 所以（或写成） ……………………….7分 说明：这里的 公式都单独有分，即如果结果是错的，但是通项公式或者下面的前n项和公式正确写出的，都给2分 ‎(Ⅱ)因为. ……………………….10分 令, 即，整理得. ……………………….11分 当为偶数时，原不等式无解；‎ 当为奇数时，原不等式等价于，解得， ‎ 所以满足的正整数的最小值为11. ……………………….13分 ‎17解：（Ⅰ）证明：在正方形中，. ……………………….1分 ‎ 因为平面，平面，所以. ……………………….2分 又，平面， ……………………….3分 所以平面. ……………………….4分 因为平面, 所以平面平面. ……………………….5分 ‎（Ⅱ）证明：‎ 由（Ⅰ）知, 平面，平面，所以. ……………………….6分 在中，，， 所以， ……………………….7分 又平面，平面， ……………………….9分 所以//平面. …………………….10分 ‎（Ⅲ）解：因为, 所以平面， …………………….11分 ‎ 而平面，所以， …………………….12分 ‎ 所以的长就是点到的距离， …………………….13分 而点在线段上 所以到直线距离的最小值就是到线段的距离，‎ 在中，所以到直线的最小值为. …………………….14分 ‎18.解:‎ ‎（Ⅰ）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为 .‎ 则 ……………………….2分 ‎ ……………………….4分 ‎（Ⅱ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差. ……………………….7分 ‎（Ⅲ）设“两名同学的成绩均为优良”为事件， ……………………….8分 男生按成绩由低到高依次编号为， ‎ 女生按成绩由低到高依次编号为，‎ 则从10名学生中随机选取一男一女两名同学共有24种取法 …………………….10分 ‎，，，，，，‎ ‎，，，，，，‎ ‎，，，，，，‎ ‎，，，，，， ‎ 其中两名同学均为优良的取法有12种取法 …………………….12分 ‎，，，，‎ ‎，，，，，，，，‎ 所以， ‎ 即两名同学成绩均为优良的概率为. …………………….13分 ‎19. 解：‎ ‎（Ⅰ）由已知，得知，, ……………………….1分 ‎ 又因为离心率为，所以. ……………………….2分 ‎ 因为，所以, ……………………….4分 ‎ 所以椭圆的标准方程为. ……………………….5分 ‎（Ⅱ）解法一：假设存在.‎ 设 ‎ 由已知可得，‎ 所以的直线方程为， ……………………….6分 的直线方程为，‎ ‎ 令，分别可得，， ……………………….8分 ‎ 所以， ……………………….9分 ‎ 线段 的中点， ……………………….10分 ‎ ‎ 若以为直径的圆经过点，‎ 则, ……………………….11分 ‎ 因为点在椭圆上，所以，代入化简得， ……………………….13分 ‎ 所以， 而，矛盾，‎ 所以这样的点不存在. ……………………….14分 ‎ 解法二：‎ 假设存在，记. ‎ 设 由已知可得，‎ 所以的直线方程为， ……………………….6分 的直线方程为，‎ 令，分别可得，， ……………………….8分 所以 ‎ 因为为直径，所以 ……………………….9分 所以 ‎ 所以 ……………………….11分 因为点在椭圆上，所以， ……………………….12分 代入得到 ……………………….13分 所以 ，这与 矛盾 ……………………….14分 所以不存在 法三 ：‎ 假设存在，记 , ‎ 设 由已知可得，‎ 所以的直线方程为， ……………………….6分 的直线方程为，‎ 令，分别可得，， ……………………….8分 所以 ‎ 因为, 所以 ……………………….9分 所以 ‎ 所以 ……………………….11分 因为点在椭圆上，所以， ……………………….12分 代入得到, ‎ 解得或 ……………………….13分 当时，这与 矛盾 当时，点在轴同侧，矛盾 所以不存在 ……………………….14分 ‎20.解：（Ⅰ）因为， ……………………….1分 ‎ 所以. ……………………….2分 因为，所以曲线在处的切线方程为.……………………..4分 ‎（Ⅱ）令，解得， ‎ 所以的零点为. ……………………….5分 由解得，‎ 则及的情况如下：‎ ‎2‎ ‎0‎ 极小值 ‎ ……………………….7分 所以函数在 时,取得极小值 ……………………….8分 ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅲ）法一：‎ 当时，.‎ 当时，. ……………………….9分 若，由（Ⅱ）可知的最小值为，的最大值为，…………………….10分 所以“对任意，有恒成立”等价于 即， ……………………….11分 解得. ……………………….12分 所以的最小值为1. ……………………….13分 法二：‎ 当时，.‎ 当时，. ……………………….9分 且由（Ⅱ）可知，的最小值为， ……………………….10分 若，令，则 而，不符合要求，‎ 所以. ……………………….11分 当时，,‎ 所以，即满足要求， ……………………….12分 综上，的最小值为1. ……………………….13分 法三：‎ 当时，.‎ 当时，. ……………………….9分 且由（Ⅱ）可知，的最小值为， ……………………….10分 若，即时，‎ 令则任取,‎ 有 所以对成立，‎ 所以必有成立，所以，即. ……………………….11分 而当时，,‎ 所以，即满足要求， ……………………….12分 而当时，求出的的值，显然大于1，‎ 综上，的最小值为1. ……………………….13分