2020届高三数学（理）“大题精练”8

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高中数学资料共享群 284110736 2020 届高三数学（理）“大题精练”8 17．在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 2cos , 2sin x y      （ [0,2 ),   为参数）， 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 ' 2 , ' x x y y    得到曲线 1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（  为极径， 为极角）． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线 1C 的极坐标方程； （Ⅱ）若射线  : 0OA     与曲线 1C 交于点 A ，射线  : 02OB      与曲线 1C 交于点 B ，求 2 2 1 1 OA OB  的值． 18．已知函数   2 3f x sinx cosx 3cos x 2      ． ( Ⅰ ) 求函数  f x 的单调递增区间； ( Ⅱ ) 若  0 3f x 5  ， 0 πx 0, 2      ，求 0cos2x 的值． 高中数学资料共享群 284110736 19．已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，满足 2 2n nS n a  。 (1)证明：数列 2na ＋ }是等比数列。并求数列 na 的通项公式 na 。 (2)若数列 nb 满足  2log 2n nb a  ，设 nT 是数列 2 n n b a      的前 n 项和。求证： 3 2nT  。 20．如图，平面四边形 ABCD 中， 4CD  , 2AB AD  , 60BAD   , 30BCD   ， 将三角形 ABD 沿 BD 翻折到三角形 PBD 的位置，平面 PBD  平面 BCD ，E 为 PD 中点. （Ⅰ）求证： PD CE ； （Ⅱ）求直线 BE 与平面 PCD所成角的正弦值. 高中数学资料共享群 284110736 21．甲、乙两品牌计划入驻某商场，该商场批准两个品牌先进场试销 5 天。两品牌提供的返 利方案如下：甲品牌无固定返利，卖出10件以内（含10件）的产品，每件产品返利 5 元， 超出10件的部分每件返利 7 元；乙品牌每天固定返利 20 元，且每卖出一件产品再返利 3 元。 经统计，两家品牌在试销期间的销售件数的茎叶图如下： （Ⅰ）现从乙品牌试销的 5 天中随机抽取 3 天，求这 3 天的销售量中至少有一天低于10的概 率. （Ⅱ）若将频率视作概率，回答以下问题： ①记甲品牌的日返利额为 X （单位：元），求 X 的分布列和数学期望； ②商场拟在甲、乙两品牌中选择一个长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学 的统计学知识为商场作出选择，并说明理由. 22．已知 ( ) sin ( )f x a x a R  , ( ) xg x e . (1)若 0 1a  ,判断函数 ( ) (1 ) lnG x f x x   在 0,1 上的单调性； (2)设 2( ) ( ) 2( 1) ,( )F x g x mx x k k R      ,对 0, 0x m   ,有 ( ) 0F x  恒成立,求 k 的最小值 高中数学资料共享群 284110736 2020 届高三数学（理）“大题精练”8（答案解析） 17．在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 2cos , 2sin x y      （ [0,2 ),   为参数）， 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 ' 2 , ' x x y y    得到曲线 1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（  为极径， 为极角）． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线 1C 的极坐标方程； （Ⅱ）若射线  : 0OA     与曲线 1C 交于点 A ，射线  : 02OB      与曲线 1C 交于点 B ，求 2 2 1 1 OA OB  的值． 【解】（Ⅰ）由曲线 C 的参数方程为 2 2 x cos y sin      (  0,2 ,a a 为参数)， 得 2 2 4x y  ，所以曲线C 的直角方程为 2 2 4x y  ； 曲线C 经过伸缩变换得到 1C 的参数方程为 4 2 x cos y sin        ，得 2 24 16x y   ， 所以曲线C 的极坐标方程为 2 2 2 24 16cos sin     . （Ⅱ）将  0    代入 2 2 2 24 16cos sin     得 2 2 2 1 cos sin 16 4      ，即 2 2 2 1 cos sin 16 4OA    ， 同理 2 2 2 2 2 cos sin1 sin cos2 2 16 4 16 4OB                    ， 所以 2 2 1 1 1 1 5 16 4 16OA OB     . 18．已知函数   2 3f x sinx cosx 3cos x 2      ． 高中数学资料共享群 284110736 ( Ⅰ ) 求函数  f x 的单调递增区间； ( Ⅱ ) 若  0 3f x 5  ， 0 πx 0, 2      ，求 0cos2x 的值． 【解】：(1)  f x  2sin 2 3x     函数  f x 的单调递增区间为：  7 ,12 12k k k Z        （2）  0 0 2 3sin 2 3 5f x x       , 0 0, 2x      ， 0 2 4cos 2 3 5x        ， 0 0 2 2 4 1 3 3 4 3 3cos2 cos 2 3 3 5 2 5 2 10x x                                19．已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，满足 2 2n nS n a  。 (1)证明：数列 2na ＋ }是等比数列。并求数列 na 的通项公式 na 。 (2)若数列 nb 满足  2log 2n nb a  ，设 nT 是数列 2 n n b a      的前 n 项和。求证： 3 2nT  。 【解】：(1)由 2 2n nS n a  得 2 2n nS a n  ， 当 *n N 时， 2 2n nS a n  ，① 当 1n  时， 1 12 2S a  ，则 1 2a  ， 则当 2n  ， *n N 时，  1 12 2 1n nS a n    。② ①－②，得 12 2 2n n na a a    ， 即 12 2n na a   ， 所以  12 2 2n na a    ，所以 1 2 22 n n a a    ， 所以 2na  是以 1 2a  为首项，以 2 为公比的等比数列。 所以 12 4 n na n    ，所以 12 2n na   。 (2)由   2 1 2 2log 2 log 2 1n nb a n     ， 高中数学资料共享群 284110736 得 2 n n b a  1 1 2 2 n n n b n a   ， 则 2 3 1 2 3 1 2 2 2n n nT     ， ③ 3 1 2 1 2 1 2 2 2 2n n n n nT      1 2 ，④ ③－④，得 2 3 4 1 2 2 1 111 2 1 1 1 1 1 14 2 12 2 2 2 2 2 4 21 2 n n n n n n nT                 1 2 2 1 1 1 1 3 3 4 2 2 2 4 2n n n n n           . 所以 1 3 3 3 2 2 2n n nT     20．如图，平面四边形 ABCD 中， 4CD  , 2AB AD  , 60BAD   , 30BCD   ， 将三角形 ABD 沿 BD 翻折到三角形 PBD 的位置，平面 PBD  平面 BCD ，E 为 PD 中点. （Ⅰ）求证： PD CE ； （Ⅱ）求直线 BE 与平面 PCD所成角的正弦值. 【解】（Ⅰ）由题意 ABD 为等边三角形，则 2BD  ， 在三角形 BCD中， 4CD  , 30BCD   ，由余弦定理可求得 2 3BC  ， 2 2 2CD BD BC   ，即 BC BD 又平面 PBD  平面 BCD，平面 PBD  平面 BCD BD ， BC 平面 BCD BC 平面 PBD BC PD  等边三角形 PBD 中， E 为 PD 中点，则 BE PD ，且 BC BE B  PD  平面 BCE ， PD CE  （Ⅱ）以 B 为坐标原点， ,BC BD 分别为 x 轴， y 轴建立空间直角坐标系， 高中数学资料共享群 284110736 则  0,0,0B ，  2 3,0,0C ，  0,2,0D ，  0,1, 3P ， 3 30, ,2 2E        2 3,2,0CD   ，  0,1, 3PD   设  , ,m x y z  是平面 PCD的法向量，则 0m CD  ， 0m PD  2 3 2 0 3 0 x y y z      取  1, 3,1m  3 3 3 2 52 2cos , 55 3 m BEm BE m BE       所以直线 BE 与平面 PCD所成角的正弦值为 2 5 5 . 21．甲、乙两品牌计划入驻某商场，该商场批准两个品牌先进场试销 5 天。两品牌提供的返 利方案如下：甲品牌无固定返利，卖出10件以内（含10件）的产品，每件产品返利 5 元， 超出10件的部分每件返利 7 元；乙品牌每天固定返利 20 元，且每卖出一件产品再返利 3 元。 经统计，两家品牌在试销期间的销售件数的茎叶图如下： （Ⅰ）现从乙品牌试销的 5 天中随机抽取 3 天，求这 3 天的销售量中至少有一天低于10的概 率. （Ⅱ）若将频率视作概率，回答以下问题： ①记甲品牌的日返利额为 X （单位：元），求 X 的分布列和数学期望； ②商场拟在甲、乙两品牌中选择一个长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学 的统计学知识为商场作出选择，并说明理由. 【解】（Ⅰ）设 A 为从乙品牌试销售的5 天中抽取 3 天，这3 天的销售量中至少有一天低于 10件的事件，则   1 2 2 1 2 3 2 3 3 5 C C C C 9 C 10P A   . 高中数学资料共享群 284110736 另法：设 A 为从乙品牌试销售的 5 天中抽取 3 天，这3 天的销售量中至少有一天低于10件 的事件，则 A 为从乙品牌试销售的5 天中抽取 3 天，这3 天的销售量都不低于10件的事件， 则     3 3 3 5 C 1 91 1 1C 10 10P A P A       . （Ⅱ）①设甲品牌的日销售量为随机变量 ，则甲品牌的日返利额 X （单位：元）与 的 关系为：   5 ,0 10 50 7 10 , 11X           .当 6  时， 30X  ；当 7  时， 35X  ；当 10  时， 50X  ；当 12  时， 64X  ； 故 X 的分布列为 X 30 35 50 64 P 2 5 1 5 1 5 1 5   2 1 1 130 35 50 64 41.85 5 5 5E X          （元） ②设乙品牌的日销售量为随机变量 ，乙品牌的日返利额Y （单位：元）与 的关系为： 20 3Y   ，且 的分布列为  6 9 12 13 P 1 5 1 5 2 5 1 5 则   1 1 2 16 9 12 13 10.45 5 5 5E           （件） 则      3 20 3 20 3 10.4 20 51.2E Y E E         （元） 因为乙品牌的日平均返利额大于甲品牌的日平均返利额，所以如果仅从日返利额的角度考 虑，商场应选择乙品牌长期销售. 高中数学资料共享群 284110736 ②另法：乙品牌的日返利额Y （单位：元）的取值集合为 38,47,56,59 ，分布列为 Y 38 47 56 59 P 1 5 1 5 2 5 1 5 则   1 1 2 138 47 56 59 51.25 5 5 5E Y          （元） 22．已知 ( ) sin ( )f x a x a R  , ( ) xg x e . (1)若 0 1a  ,判断函数 ( ) (1 ) lnG x f x x   在 0,1 上的单调性； (2)设 2( ) ( ) 2( 1) ,( )F x g x mx x k k R      ,对 0, 0x m   ,有 ( ) 0F x  恒成立,求 k 的最小值 【解】（1）    1G x asin x lnx   .     1' 1G x acos x x      1 1acos xx    又  0,1x ，因此 1 1x  ，而  cos 1 1a x  ，所以  ' 0G x  ，故  G x 在 0,1 单调递 增. （2）由题意知，    2 2 1xF x e mx x k      ' 2 2xF x e mx   ，设   2 2xt x e mx   ，则  ' 2xt x e m  ， 由于 0m  ，故  ' 0t x  ，  0,x  时，  t x 单调递增，又  0 1t   ，  2 2 2 0t ln mln   ， 因此  t x 在 0, 2ln 存在唯一零点 0x ，使  0 0t x  ，即 0 02 2 0xe mx   ， 且当  00,x x ，   0t x  ，  ' 0F x  ，  F x 单调递减；  0,x x   ，   0t x  ，  ' 0F x  ，  F x 单调递增； 故      0 2 0 0 02 1 0x minF x F x e mx x k       ， 高中数学资料共享群 284110736 故  0 0 02 0 0 0 0 0 2 2 1 1 22 2 x x xxek e x x e xx               ， 设   1 22 xxZ x e x       ,  0,ln 2x   1' 12 x xZ x e      ，又设    1 1 02 2 x xx xk x e k x e          故  k x 在 0, 2ln 上单调递增，因此     10 02k x k   ，即  ' 0Z x  ，  Z x 在 0, 2ln 单调递增，    1,2ln2Z x  ，又1 2 2 4 2ln ln   ，所以 2k  ， 故所求 k 的最小值为 2 .