2018-2019学年福建省厦门外国语学校高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版

2018-2019学年福建省厦门外国语学校高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版

‎2018-2019学年福建省厦门外国语学校高二下学期期中考试理科数学试题 ‎ (考试时间：120分钟试卷总分：150分)‎ 注意事项：‎ ‎1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．‎ ‎2．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卷的相应位置上．‎ ‎3．全部答案在答题卡上完成，答在本卷上无效．‎ 第I卷（选择题 60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂．‎ ‎1. 已知为虚数单位，若，则复数的模等于（  ）‎ A.                     B.                                        C.   2                                   D. ‎ ‎2．有一段 “三段论”推理是这样的：对于可导函数，若，则是函数的极值点.因为在处的导数值，所以是的极值点.以上推理中（）‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确 ‎3.与所围成的面积为（   ）‎ A. 1                       B.          0                             C.                                    D. ‎ ‎4. 设，则三个数，， (   ) ‎ A. 都大于2           B. 至少有一个大于2             C. 至少有一个不小于2          D. 至少有一个不大于2‎ ‎5. 若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，则直线的斜率为(   ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎6. 用数学归纳法证明“”时，由不等式成立，推证时，左边应增加的项数是（    ）‎ A.                      B.                                    C.                                      D. ‎ ‎7.如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（  ）‎ A. 21                          B.                                        C. 7                                       D. ‎ ‎8.双曲线上一点到它的一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为（       ）‎ A. 3                            B. 5                                          C. 7                                          D. 9‎ ‎9. 由0，1，2，3组成无重复数字的四位数，其中0与2不相邻的四位数有（   ）‎ A. 6 个                       B. 8个                                     C. 10个                                    D. 12个 ‎10.观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第个图案中正六边形的个数是.‎ 由可推出（   ）‎ A. 71          B. 72                     C. 73               D. 74‎ ‎11.五一劳动节期间，5名游客到三个不同景点游览，每个景点至少有一人，至多两人，则不同的游览方法共有（   ）种. ‎ A. 90                              B. 60                                       C. 150                                       D. 125‎ ‎12. 若函数在上为增函数，则的取值范围为（        ）‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷的相应位置．‎ ‎13.函数的单调递增区间是________．‎ ‎14.设曲线在原点处切线与直线垂直，则________. ‎ ‎15.已知，则 ________．‎ ‎16.设，是双曲线C：的左，右焦点，O是坐标原点过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤.‎ ‎17.函数，在处与直线相切．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求在上的最大值．‎ ‎18.如图，在三棱柱中，，，，. ‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的大小. ‎ ‎19. 已知椭圆，，为椭圆的左右焦点，过点直线与椭圆分别交于，两点，的周长为8，且椭圆离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求当面积为3时直线的方程．‎ ‎20.已知某公司为郑州园博园生产某特许商品，该公司年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该特许商品工千件并全部销售完;每千件的销售收入为万元， 且.‎ ‎  (1)写出年利润 (万元〉关于该特许商品(千件）的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该公司在该特许商品的生产中所获年利润最大? ‎ ‎21. 已知直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，若两条切线互相垂直且交于点. ‎ ‎（1）证明：直线恒过定点；‎ ‎（2）若直线的斜率为1，求点的坐标. ‎ ‎22.已知函数  ‎ ‎（1）讨论函数的极值点的个数；‎ ‎（2）若有两个极值点、，证明：．‎ 一、单选题 ‎1.【答案】 D ‎ ‎【考点】复数代数形式的混合运算，复数求模 ‎【解析】【解答】，，‎ 故答案为：D.‎ ‎【分析】利用复数的混合运算求出所求复数的代数式，再利用复数的实部和虚部结合复数求模公式求出复数的模。‎ ‎2.【答案】A ‎ ‎【解析】试题分析：∵大前提是：“对于可导函数，如果，那么是函数的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数，如果，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选A．‎ ‎3.【答案】 C ‎ ‎【考点】定积分在求面积中的应用 ‎【解析】【解答】解：∵曲线y=x3和曲线y=x的交点为A（1，1）和原点O（0，0）‎ ‎∴由定积分的几何意义，可得所求图形的面积为 S= = = = ．‎ 故选：C．‎ ‎【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数x﹣x2在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以计算，即可得到本题答案．‎ ‎4.【答案】 C ‎ ‎【考点】反证法 ‎【解析】【解答】假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又＋＋＋＋  ＋＝( ＋ )＋( ＋ )＋( ＋‎ ‎ )≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2. 故答案为:C.‎ ‎【分析】选项中都有反面语句,可用反证法,得到正确选项.‎ ‎5.【答案】 C ‎ ‎【考点】直线的斜率，抛物线的标准方程 ‎【解析】【解答】将坐标代入抛物线方程得，故焦点坐标，直线的斜率为，‎ 故答案为：C.‎ ‎【分析】将坐标代入抛物线方程可得，即可得直线的斜率 .‎ ‎6.【答案】 C ‎ ‎【考点】数学归纳法，数学归纳法的证明步骤 ‎【解析】【解答】左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；‎ 由n=k，末项为到n=k+1，末项为，‎ ‎∴应增加的项数为2k．‎ 故答案为：C．‎ ‎【分析】对比n=k,和n=k+1时,末项的区别,得到应增加的项数.‎ ‎7.【答案】A ‎ ‎【考点】二项式定理，二项式系数的性质 ‎【解析】【解答】解：令，则，解得：，‎ 由二项展开式公式可得项为：，所以系数为21.‎ 故答案为：A.‎ ‎【分析】赋值法求二项展开式系数之和，再由展开式的通项公式求得的系数。‎ ‎8.【答案】 D ‎ ‎【考点】双曲线的定义 ‎【解析】【解答】双曲线化为，‎ 可得，，‎ 设到另一个焦点的距离为，‎ 根据双曲线的定义可得，，‎ 即点到另一个焦点的距离等于，‎ 故答案为：D.‎ ‎【分析】将双曲线的方程转化为标准方程，求出a和b，结合双曲线的定义，即可求出点到另一个焦点的距离.‎ ‎9.【答案】B ‎ ‎【考点】排列、组合的实际应用 ‎【解析】【解答】解：由数字0，1，2，3组成没有重复数字的四位数有：．‎ 其中数字0，2相邻的四位数有：  ‎ 则0与2不相邻的四位数有。‎ 故答案为：B ‎【分析】先计算由数字0，1，2，3组成没有重复数字的四位数的个数，然后计算其中数字0，2相邻的四位数的个数，两者相减，即可得出答案。‎ ‎10.【答案】A ‎ ‎【考点】归纳推理 ‎【解析】【解答】由图可知，，‎ ‎  ‎ ‎…‎ ‎  ‎ 故答案为：A.‎ ‎【分析】通过f（1），f（2），f（3）归纳f（n），即可写出f（10）.‎ ‎11.【答案】 A ‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题 ‎【解析】【解答】第一步：把5名游客分为三组，其中两组是2人，一组是一人，共种; ‎ 第二步：把三组进行全排列，共有种，‎ ‎∴不同的游览方法有15×6＝90种．‎ 故答案为：A ‎【分析】先把5名游客分为三组，利用排列组合求出种数，再把三组进行全排列，利用分两步计数原理，即可求出结果.‎ ‎12.【答案】 D ‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值 ‎【解析】【解答】依题意可得对恒成立，‎ 令t=x+1 ‎ 即对恒成立.‎ 设， .‎ 当时，解得 .‎ 当时，∵ ，，∴ 对恒成立.‎ 综上，的取值范围为 .‎ 故答案为：D ‎【分析】由函数在上为增函数，可得对恒成立，可得的取值范围.‎ 二、填空题 ‎13.【答案】‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性 ‎【解析】【解答】因为，所以，‎ 令，解得，即函数的单调递增区间为 .‎ ‎ 【分析】求导数，令导数大于0，解不等式，即可求出函数的单调递增区间.‎ ‎14.【答案】1 ‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 ‎【解析】【解答】解：由得， 在原点处的切线的斜率  ， 直线的斜率， 又该切线与直线垂直， 所以， 故答案为1. 【分析】对函数求导，求出在原点处的斜率，进一步求α.‎ ‎15.【答案】‎ ‎【考点】二项式系数的性质 ‎【解析】【解答】令，得；‎ 令，得；‎ 两式相加得 ‎．‎ ‎【分析】先利用赋值法，分别令和，再把得到的两式相加，即可求出结果.‎ ‎16. 【【解析】【解答】双曲线C： 1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y x，‎ ‎∴点F2到渐近线的距离d b，即|PF2|＝b，‎ ‎∴|OP| a，cos∠PF2O ，‎ ‎∵|PF1| |OP|，‎ ‎∴|PF1| a，‎ 在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2＝|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O，‎ ‎∴6a2＝b2+4c2﹣2×b×2c 4c2﹣3b2＝4c2﹣3（c2﹣a2），‎ 即3a2＝c2，‎ 即 a＝c，‎ ‎∴e ，‎ 三、解答题 ‎17.【答案】（1）解：．由函数在处与直线相切，得，即，解得： （2）解：由（1）得：，定义域为．此时，，令，解得，令，得．所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上的极大值为．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程 ‎【解析】【分析】（1）先求导，再由已知在处与直线相切列式，即可求出a的值. （2）先由（1）得到函数，再求导，利用导数的单调性，即可求出在闭区间上的最大值.‎ ‎18.【答案】（1）证明：因为平面，所以，‎ 因为，，所以，‎ 又，所以平面 .‎ ‎ （2）解：以为原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，‎ ‎，，‎ 设平面的法向量为，则，，‎ 所以，，取，则 .‎ 又平面，取平面的法向量，‎ 所以 .‎ 由图可知，二面角为钝角，所以二面角为 .‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法 ‎【解析】【分析】（1）首先根据题意得出，，再利用线面垂直的判定即证。 （2）根据题意以为原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，进而求得平面的法向量以及平面的法向量，根据两法向量之间的夹角余弦值从而得出二面角的大小。‎ ‎19.【答案】（1）由由的周长为8可知：，，‎ 又 =3‎ 椭圆的方程为；‎ ‎（2）由题知,直线的斜率不为0,可设直线的方程为 , ，‎ 由 消得 ‎∵的面积 ‎= ‎ 即，解得m=0,‎ 当的面积为3时直线MN的方程为x=1.‎ ‎【考点】直线的一般式方程，椭圆的标准方程，椭圆的应用 ‎【解析】【分析】(1)利用椭圆的定义结合三角形的周长公式求出a 的值，再利用离心率公式求出c 的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式求出b 的值，从而求出椭圆的标准方程。 (2)利用椭圆的标准方程求出椭圆的右焦点，再利用直线过右焦点，设出直线的点斜式方程，再利用直线与椭圆相交联立二者方程求出交点坐标，即M,N 的坐标，再利用交点坐标和椭圆右焦点坐标，结合与这三个点坐标和三角形面积公式，借助三角形面积的已知条件求出直线的斜率，从而求出直线的点斜式方程，再转化为直线的一般式方程。‎ ‎20.【答案】解：（I）当时， 当时， （II）①当时，由 当 ‎   ∴当时，W取最大值，且 ②当时，W=98   当且仅当 综合①、②知时，W取最大值． 所以当年产量为9千件时，该公司在该特许商品生产中获利最大 ‎【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法，利用导数研究函数的单调性 ‎【解析】【分析】（1）根据利润计算公式，即可得出解析式。（2）对W的解析式求导，结合导函数和原函数单调性的关系，判断最值。‎ ‎ ‎ ‎21.【答案】（1）证明：易知直线的斜率存在，设直线，， . ‎ 由得，‎ 所以， .‎ 由，得，所以，‎ 所以直线的斜率为，直线的斜率为 .‎ 因为，所以，即，‎ 所以，得，‎ 所以直线，故直线恒过定点 ‎ （2）解：由（1）得直线的斜率为1时，， . ‎ 直线的方程为，即，‎ 同理直线的方程为，即，‎ 上面两式联立得，，所以点的坐标为，即 ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，直线与圆锥曲线的综合问题 ‎【解析】【分析】（1）首先假设直线，，，联立直线方程与抛物线方程，根据函数的导函数求得出切线的斜率，再利用斜率乘积转化求证直线恒过定点。 （2）根据（1）所得，得出，，进而求得出直线AM的方程以及直线BM方程，转化求解出点M的坐标。‎ ‎22.【答案】（1）解：由得，‎ ‎（ⅰ）时，  ，‎ 所以取得极小值，是的一个极小值点．‎ ‎（ⅱ）时，，令，得 显然，，所以，‎ 在取得极小值，有一个极小值点．            ‎ ‎（ⅲ）时，时，即在是减函数，无极值点．‎ 当时，，令，得 当和时，时，，所以在取得极小值，在取得极大值，所以有两个极值点．‎ 综上可知：（ⅰ）时，仅有一个极值点；‎ ‎（ⅱ）当时，无极值点；‎ ‎（ⅲ）当时，有两个极值点 ‎ （2）解：由（Ⅰ）知，当且仅当时，有极小值点和极大值点，且 是方程的两根，所以，‎ ‎  ‎ ‎，‎ 设，，‎ 所以时，是减函数，，则 所以得证 ‎【考点】利用导数研究函数的极值 ‎【解析】【分析】（1）求导数，根据导数判定函数的单调性，对实数a的取值分类讨论，即可确定函数的极值点个数； （2）求导数，结合极值存在的条件，根据一元二次方程根与系数的关系，即可证明相应的不等式.‎