2017-2018学年湖北省荆州中学高二上学期第一次月考数学文试题 解析版

2017-2018学年湖北省荆州中学高二上学期第一次月考数学文试题 解析版

‎2017-2018学年湖北省荆州中学高二上学期第一次月考数学文试题 解析版 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 一、选择题 ‎1．直线的倾斜角是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】直线的斜率为，∴.‎ 故选：B ‎2．已知函数，则 ( )‎ A. 是偶函数，且在R上是增函数 B. 是奇函数，且在R上是增函数 C. 是偶函数，且在R上是减函数 D. 是奇函数，且在R上是减函数 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析： ，所以该函数是奇函数，并且是增函数， 是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选B.‎ ‎【名师点睛】本题属于基础题型，根据与的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性.‎ ‎3．将圆平分的直线方程是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】将圆平分的直线必过圆心，带入显然适合.‎ 故选：A ‎4．方程表示的直线必经过点（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】方程，化为（x﹣2y+2）+k（4x+2y﹣14）=0‎ 解，得，∴直线必经过点 故选C．‎ 点睛：过定点的直线系A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）=0表示通过两直线l1∶A1x＋B1y＋C1=0与l2∶A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系，而这交点即为直线系所通过的定点。‎ ‎5．过点的直线与圆相交于A，B两点，则线段AB长的最小值为 A. 2 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，易得： 的圆心O（0，0），半径r=2，‎ ‎∴点（0，1）到圆心O（0，0）的距离d=1，‎ ‎∴点（0，1）在圆x2+y2=4的内部，‎ 如图，|AB|最小时，弦心距最大为1，‎ ‎∴|AB|min=2=．‎ 故选：C．‎ 点睛：涉及圆的弦长问题往往转化为勾股问题，即弦长，由此不难发现，弦长的大小取决于ｄ的大小，ｄ越大，弦长越短；ｄ越小，弦长越大．‎ ‎6．已知平面内两点到直线的距离分别，则满足条件的直线的条数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】A（1，2）到直线l的距离是，直线是以A为圆心， 为半径的圆的切线，‎ 同理B（3，1）到直线l的距离，直线是以B为圆心， ‎ 为半径的圆的切线，‎ ‎∴满足条件的直线l为以A为圆心， 为半径的圆和以B为圆心， 为半径的圆的公切线，‎ ‎∵|AB|==，‎ 两个半径分别为和，‎ ‎∴两圆内切，∴两圆公切线有1条 故满足条件的直线l有1条．‎ 故选：A．‎ ‎7．设A，B为轴上的两点，点P的横坐标为2且,若直线PA的方程为，则直线PB的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于直线PA的倾斜角为，且|PA|=|PB|，‎ 故直线PB的倾斜角为，‎ 又当x=2时，y=3，即P（2，3），‎ ‎∴直线PB的方程为y﹣3=﹣（x﹣2），即x+y﹣5=0．‎ 故选：D ‎8．设，若直线与圆相切，则的取值范围是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得，‎ 所以，当时，；当时，；选D.‎ 点睛：与圆有关的最值或值域问题的常见类型及解题策略 ‎(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．‎ ‎(2)与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．‎ ‎9．设分别是中所对边的边长，则直线与位置关系是（ ）‎ A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 相交但不垂直 ‎【答案】C ‎【解析】分别是中所对边的边长，‎ 则直线斜率为： ，‎ 的斜率为： ，‎ ‎∵=﹣1，∴两条直线垂直．‎ 故选：C．‎ ‎10．下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图可知：该几何体为四棱锥，其体积为 故选：B 点睛：三视图问题的常见类型及解题策略 ‎(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．‎ ‎(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．‎ ‎(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．‎ ‎11．过点作圆的两条切线为切点，则（ ）‎ A. 6 B. -6 C. 10 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图，连接.由图可知，‎ 则.‎ ‎.‎ 故选A.‎ 点睛：平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.‎ ‎12．若直线通过点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意可得，点在单位圆上，所以直线与单位圆有交点，则圆心即原点到直线的距离，即，故选D 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 ‎13．已知函数若，则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时， ，解得： ，适合题意；‎ 当时， ，解得： ，不适合题意；‎ 所以 故答案为： ‎ ‎14．已知第一象限内的动点P在直线上，则 的最小值为__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵第一象限内的动点P在直线上，∴， ‎ 故答案为：2‎ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 ‎15．已知圆，直线．设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为，则＝________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由圆标准的方程得到圆心O（0，0），半径r=2，‎ ‎∵圆心O到直线l的距离d==1＜2，且r﹣d=2﹣1=1，‎ ‎∴圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为3，即=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎16．在平面直角坐标系中，动点P到两条直线与的距离之和等于2，则点P到坐标原点的距离的最小值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵3x﹣y=0与x+3y=0的互相垂直，且交点为原点，‎ ‎∴设点P到两条直线的距离分别为a，b，则a≥0，b≥0，‎ 则a+b=2，即b=2﹣a≥0，‎ 得0≤a≤2，‎ 由勾股定理可知===，‎ ‎∵0≤a≤2，‎ ‎∴当a=1时， 的距离，‎ 故答案为： ．‎ 三、解答题 ‎17．已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．‎ ‎（1）求f（x）的最大值，以及该函数取最大值时x的取值集合；‎ ‎（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，且，求角C．‎ ‎【答案】(1) f（x）的最大值为2，该函数取最大值时x的取值集合为{x|x=kπ+，k∈Z};‎ ‎(2) C=或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用二倍角及两角和与差正弦公式化简函数f（x），再利用三角函数的有界性得到函数的最值；（2）由可确定为锐角，利用，解得，再利用正余弦定理即可求出角C．‎ 试题解析：‎ ‎（1）f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2．当=1，即2x+=+2kπ，解得x=kπ+，k∈Z时取等号． ‎ ‎∴f（x）的最大值为2，该函数取最大值时x的取值集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．‎ ‎（2）f（A）=2，∴2sin=2，解得A=kπ+，k∈Z．‎ ‎∵a＜b，∴A为锐角， ∴A=. ‎ 由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，解得或 ‎ 由正弦定理可得：，‎ 可得sinC==或；‎ ‎∴C=或． ‎ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果.‎ ‎18．已知等差数列的前项和为， . ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前100项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式和前项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的通项公式；（2），由此利用裂项求和法能求出数列的前项和.‎ 试题解析相消：（1）由及得，,‎ 解得，‎ 所以．‎ ‎（2），‎ 从而有：．‎ 故数列的前100项和为．‎ ‎【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①‎ ‎；②‎ ‎；③；‎ ‎④ ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ ‎19．已知定点，点圆上的动点。‎ ‎（1）求的中点的轨迹方程；‎ ‎（2）若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 直线的方程为或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用相关点法求动点的轨迹方程；（2）当直线的斜率不存在时，直接写出直线的方程；当直线斜率存在时，利用勾股关系求出斜率k的值，进而得到直线方程.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设，由题意知：‎ ‎，化简得，‎ 故的轨迹方程为。‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，满足条件； ‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 因为半径， ，故圆心到直线的距离，‎ 由点到直线的距离公式得，解得，‎ 直线的方程为， ‎ 故直线的方程为或。‎ ‎20．如图，已知在棱柱的面底是菱形，且面ABCD， ‎ 为棱的中点，M为线段的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）因为底面是菱形，所以AC⊥面BDD1B，又MF∥AC，所以MF⊥面BDD1B，即平面平面；（2）过点B作BH⊥AD于H，可证出BH⊥平面ADD1A1，从而BH是三棱锥B﹣DD1F的高，求出△DD1F的面积，计算出三棱锥D1﹣BDF的体积．‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：∵底面是菱形，‎ ‎∴AC⊥BD；‎ 又∵B1B⊥面ABCD，AC⊂面ABCD ‎∴AC⊥B1B，BD∩B1B=B，‎ ‎∴AC⊥面BDD1B1‎ 又∵MF∥AC，‎ ‎∴MF⊥面BDD1B1；‎ 又∵MF⊂平面D1FB，‎ ‎∴平面D1FB⊥平面BDD1B1；‎ ‎（2）如图，过点B作BH⊥AD，垂足为H，‎ ‎∵AA1⊥平面ABCD，BH⊆平面ABCD，‎ ‎∴BH⊥AA1，‎ ‎∵AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线，‎ ‎∴BH⊥平面ADD1A1，‎ 在Rt△ABH中，∠DAB=60°，AB=AD=1，‎ ‎∴BH=ABsin60°=，‎ ‎∴三棱锥D1﹣BDF的体积为 ‎ V==×S△DD1F•BH=××1×1×=．‎ 点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎21．已知且，直线: ，圆: ．‎ ‎（Ⅰ）若，请判断直线与圆的位置关系；‎ ‎（Ⅱ）求直线倾斜角的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？‎ ‎【答案】(1) 直线与圆相交;(2) ；（3）直线不能将圆分割成弧长的比值为的两段弧.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）若，求出圆心C（4，﹣2）到直线l的距离，与半径的关系，即可判断直线l与圆C的位置关系；‎ ‎（Ⅱ）直线，可得： ，利用均值不等式，即可得到直线倾斜角的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）判断 ．若直线l能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧，则圆心C到直线l的距离，即可得出结论．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）圆的圆心为,半径． ‎ 若，直线： ，即，‎ 则圆心到直线的距离，‎ 所以直线与圆相交． ‎ ‎（Ⅱ）直线的方程可化为， ‎ 直线的斜率，所以，当且仅当时等号成立．‎ 所以斜率的取值范围是． ‎ 所以的范围为 ‎ ‎（Ⅲ）能．由（Ⅰ）知直线恒过点，‎ 设直线的方程为,其中． ‎ 圆心到直线的距离．‎ 由得，又即． ‎ 若直线能将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧，则圆心到直线的距离，‎ 因为，所以直线不能将圆分割成弧长的比值为的两段弧．‎ ‎22．求过两直线和的交点，且满足下列条件的直线的方程.‎ ‎（Ⅰ）和直线垂直；‎ ‎（Ⅱ）在轴的截距是在轴上的截距的2倍.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)为 ‎【解析】试题分析：（I）先求出两直线的交点坐标，根据垂直求出直线斜率，再由点斜式写出直线方程； （II）分类思想：当直线过原点时，可设直线的方程为 ；直线不过原点时，可设方程为，分别代入点可得答案．‎ 试题解析：（Ⅰ）解：由可得两直线的交点为 ‎∵直线与直线垂直，∴直线的斜率为3‎ 则直线的方程为 ‎（Ⅱ）当直线过原点时，直线的方程为 当直线不过原点时，令的方程为 ‎∵直线过，∴‎ 则直线的方程为 ‎【点睛】本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与直线垂直等关系的合理运用．‎