黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三第三次模拟数学（理）试题

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三第三次模拟数学（理）试题

‎2020年高三学年模拟考试 数学试卷（理工类）‎ 本试卷共23题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 注意事项: ‎ ‎1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．‎ ‎2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．‎ ‎3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．‎ ‎4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．‎ ‎5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1． 设集合，集合，则 A． B． C． D． ‎ ‎2． 在复平面内，复数对应点位于 A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D．第四象限 ‎3． 下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是 A． B． C． D．‎ ‎4． 数列是等差数列，且，，那么 A． B． C． D．‎ ‎5． 有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法正确的是 ‎•‎ ‎•‎ ‎•‎ ‎•‎ ‎•‎ A(1,3)‎ B(2,4)‎ C(4,5)‎ D(3,10)‎ E(10,12)‎ y x O A．残差平方和变小 ‎ B．相关系数变小 C．相关指数变小 ‎ D．解释变量与预报变量的相关性变弱 ‎6． 函数在处的切线方程是 A． B． C． D． ‎ ‎7．“克拉茨猜想” 又称“ 猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后， 最终都能够得到1，得到1即终止运算，己知正整数经过5次运算后得到1，则的值为 A．32或5 B．16或2 C．16 D． 32或5或4‎ ‎8． 小李和小王相约本周六在14：00到15：00进入腾讯会议室线上交流，假设两人在这段时间内的每个时刻进入会议室是等可能的，先到者等候另一人10分钟，过时即离去．则两人能在会议室相遇的概率为 是 否 开始 结束 输出n A ． B． C． D．‎ ‎9． 某程序框图如图所示，若输入的、分别为5、3，则输出的 ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知分别是双曲线的左右焦点，为 ‎ 轴上一点， 为左支上一点，若，且周长 最小值为实轴长的3倍，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎11．已知数列，，则数列的前100项和为 A． B． C． D．‎ ‎12．已知中，长为2的线段为边上的高，满足：，且，则 A． B． C． D．‎ 二、 填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13． ． ‎ ‎14．直线过抛物线的焦点，交抛物线于点（点在轴上方），过点作直线的垂线，垂足为，若垂足恰好在线段的垂直平分线上，则直线的斜率为 ． ‎ ‎15．新型冠状病毒蔓延以来，世界各国都在研制疫苗，某专家认为，某种抗病毒药品对新型冠状病毒具有抗病毒、抗炎作用，假如规定每天早上7：00和晚上7：00各服药一次，每次服用该药药量700毫克具有抗病毒功效，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的70%，该药在人体内含量超过1000毫克，就将产生副作用，若人长期服用这种药，则这种药 （填“会”或者“不会”）对人体产生副作用．‎ ‎16． 在三棱锥中，，二面角、、的大小均为，设三棱锥的外接球球心为，直线交平面于点，则三棱锥的内切球半径为 ， ． ‎ 三、 解答题: 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎(一) 必考题：共60分．‎ 17． ‎ 函数的部分图象如图所示．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2） 若 ，且，求．‎ P A G F B E C 18． ‎ 如图，三棱锥中，底面是边长为2的正三角形， ‎ ‎， 底面，点分别为，的中点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在点，使得直线与 平面所成的角的 余弦值为？若存在，确定点的位置； 若不存在，请说明理由．‎ ‎19． 函数 ‎ （1） 求证：函数在上单调递增；‎ ‎ （2） 若为两个不等的正数，试比较与的大小，并证明．‎ ‎20． 已知椭圆的离心率为，且以原点为圆心，以短轴长为直径的 圆过点．‎ ‎（1） 求椭圆的标准方程；‎ ‎（2） 若过点的直线与椭圆交于不同的两点，且与圆没有公共点，设为椭圆上一点，满足（为坐标原点），求实数 的取值范围．‎ ‎21．（1）某中学理学社为了吸收更多新社员，在校团委的支持下，在高一学年组织了抽签赠书活动. 月初报名，月末抽签，最初有30名同学参加. 社团活动积极分子甲同学参加了活动.‎ ‎(ⅰ) 第一个月有18个中签名额. 甲先抽签，乙和丙紧随其后抽签. 求这三名同学同时中签的概率.‎ ‎(ⅱ) 理学社设置了第()个月中签的名额为, 并且抽中的同学退出活动，同时补充新同学，补充的同学比中签的同学少2个，如果某次抽签的同学全部中签， 则活动立刻结束. 求甲同学参加活动时间的期望.‎ ‎（2）某出版集团为了扩大影响，在全国组织了抽签赠书活动. 报名和抽签时间与(1)中某中学理学社的报名和抽签时间相同, 最初有30万人参加, 甲同学在其中. 每个月抽中的人退出活动，同时补充新人, 补充的人数与中签的人数相同. 出版集团设置了第()个月中签的概率为，活动进行了个月，甲同学很幸运，中签了，在此条件下，求证：甲同学参加活动时间的均值小于个月．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22,23题中选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22． 选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于、两点．‎ ‎（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎23． 选修4-5：不等式选讲 ‎ 已知函数和函数.‎ ‎（1） 当时，求关于的不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围． ‎2020年高三学年模拟考试 数学试卷（理工类）参考答案 一、选择题：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C B D B A A A B A C B D 二、填空题：‎ ‎13. 14. 15. 不会 16. ，‎ 三、解答题：‎ ‎17. （1）由图像可知 ……….3分 ‎ 代入点，得 ………6分 ‎（2） 由题意知 ………8分 ‎ ………12分 ‎18. （1）因为底面，底面所以， ……….2分 又因为，‎ 所以平面, …….. 4分 因为平面，所以平面 平面 ………… 5分 z y x ‎（2）因为两两垂直，所以 以为坐标原点，分别以的正方向为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 …….. 6分 ‎,‎ 设平面的法向量为,由得,不妨设,则,所以 ……..….8分 设,则,由题知 ‎ ………….10分 解得 ……...12分 ‎19. （1）‎ ‎………………………………………………………3分 ‎ ‎ 在上单调递增 ……………………………………………………….5分 ‎ ‎（2）不妨设 ‎=‎ 令，设， ……………………………….7分 由（1）知在上单调递增，，…………….10分 ‎ 又，， …………………12分 20. ‎（1）依题意： …………….2分 所以椭圆方程为 ………………..4分 （2） 由题意直线斜率不为0，设直线：‎ 得由得 ‎ 所以，设，‎ 由韦达定理 ……………6分 因为 得 …………8分 直线与圆没有公共点，则，所以 ………….10分 ‎ ………….12分 ‎21（1）‎ ‎（i）设甲乙丙中签为事件，‎ 则 ………….3分 ‎（ii）甲参加活动的时间的可能取值为 则;‎ 则甲参加活动的时间的期望为 …….. 8分 ‎（2）设甲中签为事件，则 设,甲在第个月中中签的概率为，则甲在事件A发生的条件下，第个月中中签的概率为，‎ 则甲在事件A发生的条件下，甲参加活动时间的均值为 ‎ ………10分 ‎，‎ 则 ‎ 所以 ‎ 所以 …………12分 ‎22. （1）直线的直角方程为， ……….2分 曲线的直角坐标方程 ……….4分 ‎（2）直线的参数方程可化为 ……….6分 ‎ 代入曲线可得 ……….8分 ‎ 所以 ……….10分 ‎23. （1）时， ‎ 当时，，无解； ……………1分 当时，，； ……………2分 当时，恒成立，； ……………3分 综上，的解集为. ……………5分 ‎（2）， ……………6分 ‎ ， ……………7分 ‎ 由题意知，的值域是的值域的子集，即， ……………9分 的取值范围为. ……………10 分 ‎