2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题22 几何体的表面积与体积的求解（练）（解析版）

2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题22 几何体的表面积与体积的求解（练）（解析版）

专题22 几何体的表面积与体积的求解 ‎1、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】解法一：为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，，又，分别为，的中点，，，又，平面，∴平面，，为正方体的一部分，，即．‎ 解法二：设，分别为的中点，，且，为边长为2的等边三角形，，又，，中，由余弦定理可得，作于，，为的中点，，，，，又，两两垂直，，‎ ‎，，故选D. ‎ ‎【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．‎ ‎2．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是 A．158 B．162 ‎ C．182 D．324‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为.‎ ‎【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.‎ ‎3．【2019年高考天津卷理数】已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个 底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 _．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，圆柱的底面半径为，故圆柱的体积为.‎ ‎【名师点睛】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径.注意本题中圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半.‎ ‎4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体 挖去四棱锥O—EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g. ‎ ‎【答案】118.8‎ ‎【解析】由题意得，，∵四棱锥O−EFGH的高为3cm， ∴．又长方体的体积为，所以该模型体积为，其质量为．‎ ‎【名师点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量即可.‎ ‎5．【2019年高考江苏卷】如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E−BCD的体积是 .‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】因为长方体的体积为120，所以，因为为的中点，所以，由长方体的性质知底面，所以是三棱锥的底面上的高，所以三棱锥的体积.‎ ‎【名师点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.‎ ‎6.【2018年全国卷Ⅲ理】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图所示，点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大，‎ 此时，‎ ‎，,点M为三角形ABC的重心 ‎，中，有 ‎，.‎ ‎2.练模拟 ‎1.【2020届安徽省合肥市高三质量检测】已知几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )‎ A. B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据已知的三视图可判断出该几何体是一个正四棱锥，且可得底面棱长为2，侧面高为 ，由此求出底面面积和棱锥的高，代入棱锥体积公式，可得答案．‎ 由已知可得该几何体是一个底面棱长为2,侧面高为的正四棱锥则棱锥的高,‎ ‎∴棱锥的体积.‎ ‎2.【湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2020届高三月考】如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )‎ A．57＋24π B．57＋15π C．48＋15π D．48＋24π ‎【答案】D ‎【解析】本题为圆锥与直四棱柱的组合体．注意表面积分为三部分，圆锥侧面展开图，即扇形面积；圆锥底面圆，；直四棱柱侧面积，，总面积为.‎ ‎3. 【福建省福州市2020届高三质检】“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，尺，为的中点，，寸，则圆柱底面的直径长是_________寸”．(注：l尺=10寸)‎ ‎【答案】26‎ ‎【解析】∵，，∵ 寸，‎ ‎∴ 寸，在中，∵，‎ ‎∴ ，∴ 寸，‎ ‎∴ 圆柱底面的直径长是寸．故答案为：26．‎ ‎4.【安徽省黄山市2020届高三一模】已知三棱锥，且均为等边三角形，二面角的平面角为60°，则三棱锥外接球的表面积是_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取的中点为，连接，，由于均为等边三角形，可知，则为正三角形，边长，且所求外接球球心在平面上，在线段上取点，使得，则底面三角形的外接圆圆心为，在线段上取中点，连结，过点作的垂线交于点，则外接球的球心为点，在三角形中，，则外接球的半径 ‎，三棱锥外接球的表面积是.‎ ‎5.【2020届安徽省合肥市高三质量检测】已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以，因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为因此圆锥的侧面积为 ‎3.练原创 ‎1．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A．46 B．48‎ C．50 D．52‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图知，几何体是一个四棱锥，高为3，四棱 锥的一条侧棱与底面垂直，底面是边长为4的正方形，‎ ‎∴该几何体的表面积为.‎ ‎2. 将边长为的正方形沿对角线折起，使为正三角形，则三棱锥的体积为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】取的中点，连接，，由题意，，因为为正 三角形，∴，，．选D.‎ ‎3．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”(古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率)，则该圆柱形容器能放米______斛．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,圆柱形容器体积为 ,所以此容器能装斛米． ‎ ‎4．在三棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，在等边三角形中，取的中点，设等边三角形的中心为，连接PF，CF，OP.由，得，是以为斜边的等腰角三角形，,又平面平面，平面，‎ ‎，，则为棱锥的外接球球心，外接球半径 ‎，该三棱锥外接球的表面积为，故答案为.‎ ‎5．如图，是以为直径的半圆上异于的一点，矩形所在平面垂直于该半圆所在的平面，且．‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)设平面与半圆弧的另一个交点为，，‎ 求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】(1)见解析； (2).‎ ‎【解析】(1)证明：因为矩形平面，平面且，‎ 所以平面，从而，①‎ 又因为在半圆中，为直径，所以，即，②‎ 由①②知平面，故有．‎ ‎(2)因为，所以平面．又因为平面平面，‎ 所以，在等腰梯形中，，，，‎ 所以，‎ ‎ ．‎