数学卷·2018届宁夏银川二中高二下学期第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届宁夏银川二中高二下学期第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

‎2016-2017学年宁夏银川二中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分；在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置）‎ ‎1．下面用“三段论”形式写出的演绎推理：因为指数函数y=ax（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上是增函数，y=（）x是指数函数，所以y=（）x在（0，+∞）上是增函数．该结论显然是错误的，其原因是（　　）‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．以上都可能 ‎2．下列各函数的导数：①；②（ax）′=a2lnx；③（sin2x）′=cos2x；④（）′=．其中正确的有（　　）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎3．直线y=x是曲线y=a+lnx的一条切线，则实数a的值为（　　）‎ A．﹣1 B．e C．ln2 D．1‎ ‎4．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内的极值点是（　　）‎ A．x1，x3，x5 B．x2，x3，x4 C．x1，x5 D．x2，x4‎ ‎5．函数f（x）=x•e﹣x的一个单调递增区间是（　　）‎ A．[﹣1，0] B．[2，8] C．[1，2] D．[0，2]‎ ‎6．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a等于（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎7．如图所示，图中曲线方程为y=x2‎ ‎﹣1，用定积分表达围成封闭图形（阴影部分）的面积是（　　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎8．已知三次函数f（x）=x3+ax2+7ax在 （﹣∞，+∞）是增函数，则a的取值范围是（　　）‎ A．0≤a≤21 B．a=0或a=7 C．a＜0或a＞21 D．a=0或a=21‎ ‎9．若函数f（x）=x3﹣12x在区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（　　）‎ A．k≤﹣3或﹣1≤k≤1或k≥3 B．﹣3＜k＜﹣1或1＜k＜3‎ C．﹣2＜k＜2 D．不存在这样的实数k ‎10．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a2016﹣5=（　　）‎ A．2 018×2 014 B．2 018×2 013 C．1 011×2 015 D．1 010×2 012‎ ‎11．先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下方法：令=x，则有x=，两边同时平方，得1+x=x2，解得x=（负值已舍去）”可用类比的方法，求得1+的值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若函数f（x）在R上可导，且f（x）＞f′（x），则当a＞b时，下列不等式成立的是（　　）‎ A．eaf（a）＞ebf（b） B．ebf（a）＞eaf（b） C．ebf（b）＞eaf（a） D．eaf（b）＞ebf（a）‎ ‎　‎ 二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上）‎ ‎13．函数y=x+2cosx在区间上的最大值是　　．‎ ‎14．若（2x+）dx=3+ln2（a＞1），则a的值是　　．‎ ‎15．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=；类比这个结论可知：四面体P﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P﹣ABC的体积为V，则r=　　．‎ ‎16．直线y=a与函数f（x）=x3﹣3x的图象有三个互不相同的公共点，求a的取值范围．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、推演步骤 ‎17．已知函数f（x）=﹣x3+12x，（1）求函数的单调区间；（2）当x∈[﹣3，1]时，求函数的最大值与最小值．‎ ‎18．在数列{an}中，，‎ ‎（1）写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式；‎ ‎（2）证明这个数列的通项公式．‎ ‎19．已知a，b，c均为实数，求证：．‎ ‎20．如图直线y=kx及抛物线y=x﹣x2‎ ‎（1）当k=时，求由直线y=kx及抛物线y=x﹣x2围成的平面图形的面积；‎ ‎（2）若直线y=kx分抛物线y=x﹣x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．‎ ‎21．已知函数f（x）=ln x，g（x）=ax+b．‎ ‎（1）若曲线f（x）与曲线g（x）在它们的公共点P（1，f（1））处具有公共切线，求g（x）的表达式；‎ ‎（2）若φ（x）=﹣f（x）在[1，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围．‎ ‎22．已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若对于任意的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎（3）设函数h（x）=f（x）﹣a（x﹣1），其中a∈R，求函数h（x）在[1，e]上的最小值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年宁夏银川二中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分；在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置）‎ ‎1．下面用“三段论”形式写出的演绎推理：因为指数函数y=ax（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上是增函数，y=（）x是指数函数，所以y=（）x在（0，+∞）上是增函数．该结论显然是错误的，其原因是（　　）‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．以上都可能 ‎【考点】演绎推理的意义．‎ ‎【分析】分析该演绎推理的大前提、小前提和结论，可以得出正确的答案．‎ ‎【解答】解：该演绎推理的大前提是：指数函数y=ax（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上是增函数，‎ 小前提是：y=（）x是指数函数，‎ 结论是：y=（）x在（0，+∞）上是增函数．‎ 其中，大前提是错误的，因为0＜a＜1时，函数y=ax在（0，+∞）上是减函数，致使得出的结论错误．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．下列各函数的导数：①；②（ax）′=a2lnx；③（sin2x）′=cos2x；④（）′=．其中正确的有（　　）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据题意，依次对4个函数求导，比较即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，依次对4个函数求导：‎ 对于①、y==，其导数y′=，正确；‎ 对于②、y=ax，其导数y′=axlna，计算错误；‎ 对于③、y=sin2x，其导数y′=2cos2x，计算错误；‎ 对于④、y==（x+1）﹣1，其导数y′=﹣，计算错误；‎ 只有①的计算是正确的；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．直线y=x是曲线y=a+lnx的一条切线，则实数a的值为（　　）‎ A．﹣1 B．e C．ln2 D．1‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出曲线的导数，利用导数为1，求出切点坐标，然后求出a的值．‎ ‎【解答】解：曲线y=a+lnx的导数为：y′=，‎ 由题意直线y=x是曲线y=a+lnx的一条切线，可知=1，‎ 所以x=1，所以切点坐标为（1，1），‎ 因为切点在曲线y=a+lnx上，所以a=1．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内的极值点是（　　）‎ A．x1，x3，x5 B．x2，x3，x4 C．x1，x5 D．x2，x4‎ ‎【考点】函数在某点取得极值的条件．‎ ‎【分析】‎ 根据极值的定义，观察图象知导数值变化的个数，即为极值点的个数．‎ ‎【解答】解：因为图象是导函数的图象，所以导数值的符合代表函数单调性的变化．‎ 由图象可知在x1处，左侧导数为负右侧为正，所以在x1处函数取得极小值．‎ 在x5处，左侧导数为正右侧为负，所以在x1处函数取得极大值．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．函数f（x）=x•e﹣x的一个单调递增区间是（　　）‎ A．[﹣1，0] B．[2，8] C．[1，2] D．[0，2]‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】利用函数的求导公式求出函数的导数，根据导数大于0，求函数的单调增区间．‎ ‎【解答】解：由函数f（x）=x•e﹣x，‎ 则，‎ 从而解得x≤1，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a等于（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣3时取得极值，可以得到f′（﹣3）=0，代入求a值．‎ ‎【解答】解：对函数求导可得，f′（x）=3x2+2ax+3‎ ‎∵f（x）在x=﹣3时取得极值 ‎ ‎∴f′（﹣3）=0⇒a=5‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．如图所示，图中曲线方程为y=x2‎ ‎﹣1，用定积分表达围成封闭图形（阴影部分）的面积是（　　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】由微积分基本定理的几何意义即可得出．‎ ‎【解答】解：由微积分基本定理的几何意义可得：图中围成封闭图形（阴影部分）的面积S==．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．已知三次函数f（x）=x3+ax2+7ax在 （﹣∞，+∞）是增函数，则a的取值范围是（　　）‎ A．0≤a≤21 B．a=0或a=7 C．a＜0或a＞21 D．a=0或a=21‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】先求函数f（x）的导数，然后根据f'（x）≥0在R上恒成立，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+7a，‎ 若f（x）在R递增，则f′（x）≥0恒成立，‎ 即△=4a2﹣84a≤0，解得：0≤a≤21，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．若函数f（x）=x3﹣12x在区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（　　）‎ A．k≤﹣3或﹣1≤k≤1或k≥3 B．﹣3＜k＜﹣1或1＜k＜3‎ C．﹣2＜k＜2 D．不存在这样的实数k ‎【考点】函数的单调性与导数的关系．‎ ‎【分析】由题意得，区间（k﹣1，k+1）内必须含有函数的导数的根2或﹣2，即k﹣1＜2＜k+1或k﹣1＜﹣2＜k+1，从而求出实数k的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意得，f′（x）=3x2﹣12 在区间（k﹣1，k+1）上至少有一个实数根，‎ 而f′（x）=3x2﹣12的根为±2，区间（k﹣1，k+1）的长度为2，‎ 故区间（k﹣1，k+1）内必须含有2或﹣2．‎ ‎∴k﹣1＜2＜k+1或k﹣1＜﹣2＜k+1，‎ ‎∴1＜k＜3 或﹣3＜k＜﹣1，‎ 故选 B．‎ ‎　‎ ‎10．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a2016﹣5=（　　）‎ A．2 018×2 014 B．2 018×2 013 C．1 011×2 015 D．1 010×2 012‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】根据前面图形中，编号与图中石子的个数之间的关系，分析他们之间存在的关系，并进行归纳，用得到一般性规律，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：‎ n=1时，a1=2+3=×（2+3）×2；‎ n=2时，a2=2+3+4=×（2+4）×3；‎ ‎…‎ 由此我们可以推断：‎ an=2+3+…+（n+2）= [2+（n+2）]×（n+1）‎ ‎∴a2016﹣5=×[2+]×﹣5=1011×2015．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下方法：令=x，则有x=，两边同时平方，得1+x=x2，解得x=（负值已舍去）”可用类比的方法，求得1+的值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】类比推理．‎ ‎【分析】利用类比的方法，设1+=x，则1+=x﹣1，解方程可得结论．‎ ‎【解答】解：设1+=x，则1+=x，‎ ‎∴2x2﹣2x﹣1=0‎ ‎∴x=，‎ ‎∵x＞0，‎ ‎∴x=，‎ 故选：B ‎　‎ ‎12．若函数f（x）在R上可导，且f（x）＞f′（x），则当a＞‎ b时，下列不等式成立的是（　　）‎ A．eaf（a）＞ebf（b） B．ebf（a）＞eaf（b） C．ebf（b）＞eaf（a） D．eaf（b）＞ebf（a）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】构造函数g（x）=，求导g′（x）=；从而可判断g（x）=在R上是减函数，从而判断．‎ ‎【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=；‎ ‎∵f（x）＞f′（x），‎ ‎∴＜0，‎ ‎∴g（x）=在R上是减函数，‎ 又∵a＞b，‎ ‎∴＜；‎ 故eaf（b）＞ebf（a），‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上）‎ ‎13．函数y=x+2cosx在区间上的最大值是　　．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】对函数y=x+2cosx进行求导，研究函数在区间上的极值，本题极大值就是最大值．‎ ‎【解答】解：∵y=x+2cosx，∴y′=1﹣2sinx 令y′=0而x∈则x=，‎ 当x∈[0，]时，y′＞0．‎ 当x∈[，]时，y′＜0．‎ 所以当x=时取极大值，也是最大值；‎ 故答案为 ‎　‎ ‎14．若（2x+）dx=3+ln2（a＞1），则a的值是　2　．‎ ‎【考点】微积分基本定理．‎ ‎【分析】根据题意找出2x+的原函数，然后根据积分运算法则，两边进行计算，求出a值；‎ ‎【解答】解： =（x2+lnx） =a2+lna﹣（1+ln1）=3+ln2，a＞1，‎ ‎∴a2+lna=4+ln2=22+ln2，解得a=2，‎ 故答案为：2；‎ ‎　‎ ‎15．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=；类比这个结论可知：四面体P﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P﹣ABC的体积为V，则r=　　．‎ ‎【考点】类比推理．‎ ‎【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．‎ ‎【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，‎ 则球心O到四个面的距离都是R，‎ 所以四面体的体积等于以O为顶点，‎ 分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．‎ 则四面体的体积为（S1+S2+S3+S4）r ‎∴r=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．直线y=a与函数f（x）=x3﹣3x的图象有三个互不相同的公共点，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】首先根据函数的导数求出函数的单调区间，然后画出函数的图象，从而根据图象判断函数与直线的公共点的情况．‎ ‎【解答】解：先求函数f（x）的单调区间，‎ 由f′（x）=3x2﹣3=0，‎ 解得x=±1，‎ 当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0，‎ 当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，‎ ‎∴在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上，f（x）=x3﹣3x是增函数，‎ 在（﹣1，1）上，f（x）=x3﹣3x是减函数，‎ 由此可以作出f（x）=x3﹣3x的草图（如图）．‎ 由图可知，当且仅当﹣2＜a＜2时，‎ 直线y=a与函数f（x）=x3﹣3x的图象有三个互不相同的公共点．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、推演步骤 ‎17．已知函数f（x）=﹣x3+12x，（1）求函数的单调区间；（2）当x∈[﹣3，1]时，求函数的最大值与最小值．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）先对函数f（x）求导数f'（x），然后根据导数f'（x）的零点得出导数大于零和导数小于零的区间，导数大于零的区间是函数的增区间，而导数小于零的区间是函数的减区间；‎ ‎（2）根据（1）将区间[﹣3，1]，分成两段：在区间（﹣3，﹣2）上函数为减函数，在区间（﹣2，1）上函数为增函数．从而得到f（﹣2）是函数的最小值，而最大值是f（﹣3）和f（1）两者的较大者．‎ ‎【解答】解：（1）∵f'（x）=﹣3x2+12=﹣3（x﹣2）（x+2），‎ 由f'（x）＞0，得x∈（﹣2，2），∴x∈（﹣2，2）时，函数为增函数；‎ 同理x∈（﹣∞，﹣2）或x∈（2，+∞）时，函数为减函数．‎ 综上所述，函数的增区间为（﹣2，2）；减区间为（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）…‎ ‎（2）由（1）结合x∈[﹣3，1]，得下表：‎ x ‎﹣3‎ ‎（﹣3，﹣2）‎ ‎﹣2‎ ‎（﹣2，1）‎ ‎1‎ f'（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 端点函数值 f（﹣3）=﹣9‎ 单调 递减 极小值f（﹣2）=﹣16‎ 单调 递增 端点函数值 f（1）=11‎ 比较端点函数及极值点的函数值，得 x=﹣2时，f（x）min=f（x）极小值=f（﹣2）=﹣16，‎ x=1时，f（x）max=f（1）=11‎ 综上所述，函数的最大值为11，最小值为﹣16…‎ ‎　‎ ‎18．在数列{an}中，，‎ ‎（1）写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式；‎ ‎（2）证明这个数列的通项公式．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】（1）利用数列递推关系即可得出．‎ ‎（2）由原式两边取对数，利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）在数列{an}中，∵a1=1，an+1=（n∈N+）．‎ a1=1=，a2==，a3==，a4==，a5==，…‎ ‎∴可以猜想，这个数列的通项公式是an=．‎ ‎（2）证明：由原式得==+，‎ 所以数列{}是以1为首项，为公差的等差数列，‎ 故=1+（n﹣1）=，从而an=．‎ ‎　‎ ‎19．已知a，b，c均为实数，求证：．‎ ‎【考点】不等式的证明．‎ ‎【分析】使用分析法，两边平方寻找使不等式成立的条件，只需条件恒成立即可 ‎【解答】证明：要证a2+b2+c2≥（a+b+c）2‎ 只要证3a2+3b2+3c2≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca 即证2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca 因为a2+b2≥2ab，b2+c2≥2ab，c2+a2≥2ca，‎ 所以2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca成立，‎ 且以上各步均可逆，所以原不等式成立．‎ ‎　‎ ‎20．如图直线y=kx及抛物线y=x﹣x2‎ ‎（1）当k=时，求由直线y=kx及抛物线y=x﹣x2围成的平面图形的面积；‎ ‎（2）若直线y=kx分抛物线y=x﹣x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质；定积分在求面积中的应用．‎ ‎【分析】（1）求得交点坐标，利用定积分的几何意义，即可求得直线y=x及抛物线y=x﹣x2围成的平面图形的面积；‎ ‎（2）由题意可知求得抛物线与x轴所围图形的面积S，则抛物线y=x﹣x2与y=kx两交点的横坐标为x′1=0，x′2=1﹣k，即可求得=（x﹣x2﹣kx）dx，即可求得k的值．‎ ‎【解答】解：（1）当k=时，，解得：，‎ ‎∴由直线y=x及抛物线y=x﹣x2围成的平面图形的面积S=（x﹣x2﹣x）dx=（x2﹣x3）=，‎ 直线y=x及抛物线y=x﹣x2围成的平面图形的面积；‎ ‎（2）抛物线y=x﹣x2与x轴两交点的横坐标x1=0，x2=1，‎ ‎∴抛物线与x轴所围图形的面积S=（x﹣x2）dx=（﹣）=﹣=．‎ 由可得抛物线y=x﹣x2与y=kx两交点的横坐标为x′1=0，x′2=1﹣k，‎ 所以=（x﹣x2﹣kx）dx=（x2﹣）=（1﹣k）3．‎ 又S=，所以（1﹣k）3=．于是k=1﹣=1﹣，‎ 所以k的值为1﹣．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=ln x，g（x）=ax+b．‎ ‎（1）若曲线f（x）与曲线g（x）在它们的公共点P（1，f（1））处具有公共切线，求g（x）的表达式；‎ ‎（2）若φ（x）=﹣f（x）在[1，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求出函数f（x）的导数，得到关于a的方程，求出a的值，计算g（1）=0，求出b的值，从而求出g（x）的解析式即可；‎ ‎（2）求出函数的导数，问题转化为2m﹣2≤x+，x∈[1，+∞），根据函数的单调性求出m的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）由已知得f′（x）=，所以f′（1）=1=a，a=2．‎ 又因为g（1）=0=a+b，所以b=﹣1，所以g（x）=x﹣1．‎ ‎（2）因为φ（x）=﹣f（x）=﹣ln x在[1，+∞）上是减函数．‎ 所以φ′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立．‎ 即x2﹣（2m﹣2）x+1≥0在[1，+∞）上恒成立，‎ 则2m﹣2≤x+，x∈[1，+∞），‎ 因为x+∈[2，+∞），所以2m﹣2≤2，m≤2，‎ 故数m的取值范围是（﹣∞，2]．‎ ‎　‎ ‎22．已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若对于任意的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎（3）设函数h（x）=f（x）﹣a（x﹣1），其中a∈R，求函数h（x）在[1，e]上的最小值．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）先求出其导函数，再让其导函数大于0对应区间为增区间，小于0对应区间为减区间即可．（注意是在定义域内找单调区间）‎ ‎（2）已知条件可以转化为a≥lnx﹣x﹣恒成立，对不等式右边构造函数，利用其导函数求出函数的最大值即可求实数a的取值范围；‎ ‎（3）由已知得h′（x）=lnx+1﹣a，由h′（x）=0时，x=ea﹣1．由此利用分类讨论思想和导数性质能求出函数h（x）在[1，e]上的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）=lnx+1，‎ 令f′（x）＜0得：0＜x＜，∴f（x）的单调递减区间是（0，）‎ 令f′（x）＞0得：x＞，∴f（x）的单调递增区间是（，+∞）；‎ ‎（2）g′（x）=3x2+2ax﹣1，由题意2xlnx≤3x2+2ax+1，‎ ‎∵x＞0，‎ ‎∴a≥lnx﹣x﹣恒成立　①，‎ 设h（x）=lnx﹣x﹣，则h′（x）=﹣+=﹣，‎ 令h′（x）=0得：x=1，x=﹣（舍去）‎ 当0＜x＜1时，h′（x）＞0；‎ 当x＞1时，h'（x）＜0‎ ‎∴当x=1时，h（x）有最大值﹣2，‎ 若①恒成立，则a≥﹣2，‎ 即a的取值范围是[﹣2，+∞）．‎ ‎（3）∵f（x）=xlnx，‎ ‎∴h（x）=f（x）﹣a（x﹣1）=xlnx﹣a（x﹣1），‎ ‎∴h′（x）=lnx+1﹣a，‎ ‎∴h′（x）=0时，x=ea﹣1．‎ ‎∴①当ea﹣1＜1时，即a＜1时，‎ h（x）在[1，e]上单调递增，故在x=1处取得最小值为0；‎ ‎②当1≤e a﹣1≤e时，即1≤a≤2时，‎ h（x）在[1，e]内，当x=ea﹣1取最小值为：‎ ea﹣1（a﹣1）﹣aea﹣1+a=a﹣ea﹣1；‎ ‎③当ea﹣1＞e时，即a＞2时，‎ h（x）在[1，e]内单调递减，‎ 故在x=e处取得最小值为：e﹣a（e﹣1）=（1﹣a）e+a．‎