【数学】2020届一轮复习（文理合用）第8章 解析几何（理）作业
对应学生用书[考案8理]
第八章 综合过关规范限时检测(理)
(时间：120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．过点P(1,2)的直线与圆x2＋y2＝1相切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a的值为( C )
A．0 B．－
C．0或 D．
[解析] 与直线ax＋y－1＝0垂直的直线方程为x－ay＋c＝0，将点P(1,2)代入得，c＝2a－1，则直线x－ay＋2a－1＝0与圆x2＋y2＝1相切，∴＝1，解得a＝或0.
2．(2019·安徽模拟)抛物线y＝x2的焦点到双曲线y2－＝1的渐近线的距离为( B )
A． B．
C．1 D．
[解析] 抛物线y＝x2的焦点为(0,1)，双曲线y2－＝1的渐近线方程为x±y＝0，则焦点到双曲线渐近线的距离为＝，故选B．
3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为( A )
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
[解析] 由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，
又e＝＝，所以c＝1，则b2＝2，
故C的方程为＋＝1.故选A．
4．(2019·广东模拟)双曲线E的中心在原点，离心率等于2，若它的一个顶点恰好是抛物线y2＝8x的焦点，则双曲线E的虚轴长等于( D )
A．4 B．
C．2 D．4
[解析] 因为y2＝8x的焦点坐标是(2,0)，所以双曲线E的一个顶点为(2,0)，即a＝2.又因为离心率e＝＝＝2，所以c＝4.因此b＝＝2，虚轴长等于2b＝4，故选D．
5．过双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左焦点(－，0)作圆(x－)2＋y2＝4的切线，切点在双曲线E上，则E的离心率等于( B )
A．2 B．
C． D．
[解析] 记切点为M，左焦点为F1，右焦点为F2，则F2(，0)为题中的圆的圆心，连接MF2，则MF2⊥MF1，|MF2|＝2，所以|MF1|＝＝4，因此双曲线E的离心率等于＝＝＝，选B．
6．若过抛物线y＝2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝( D )
A．－2 B．－
C．－4 D．－
[解析] 由y＝2x2，得x2＝y.其焦点坐标为F(0，)，取直线y＝，则其与y＝2x2交于A(－，)，B(，)，∴x1x2＝(－)·()＝－，选D．
7．已知圆O：x2＋y2＝4经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴顶点和两个焦点，则椭圆C的标准方程为( B )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
[解析] 易知圆O：x2＋y2＝4的半径为2，因为圆O：x2＋y2＝4经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴顶点和两个焦点，所以b＝c＝2，所以a2＝b2＋c2＝8，所以椭圆C的标准方程为＋＝1，故选B．
8．(2019·山东师大附中模拟)过双曲线x2－＝1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，则满足|AB|＝6的直线l有( B )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
[解析] 当直线l的倾斜角为90°时，|AB|＝6；当直线l的倾斜角为0°时，|AB
|＝2<6.故当直线l适当倾斜时，还可作出两条直线使得|AB|＝6，故选B．
9．(2019·福建模拟)已知椭圆：＋＝1(0
0)，即x2＋(y－1)2＝1(x≥0)，如图，圆心(0,1)到直线x－y－2＝0的距离为＝，结合图形可知曲线上的点到直线的距离的最小值为－1，最大值为点(0,2)到直线x－y－2＝0的距离＝2，因此a＝2，b＝－1，a－b＝＋1.
11．(2018·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( C )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
[解析] ∵双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，
∴e2＝1＋，∴＝3，即b2＝3a2，
∴c2＝a2＋b2＝4a2，
由题意可设A(2a,3a)，B(2a，－3a)，
∵＝3，∴渐近线方程为y＝±x，
则点A与点B到直线x－y＝0的距离分别为d1＝＝a，
d2＝＝a，
又∵d1＋d2＝6，∴a＋a＝6，
解得a＝，∴b2＝9.
∴双曲线的方程为－＝1，故选C．
12．(2018·课标Ⅱ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意易知直线AP的方程为y＝(x＋a)，①
直线PF2的方程为y＝(x－c)．②
联立①②得y＝(a＋c)，
如图，过P向x轴引垂线，垂足为H，则PH＝(a＋c)．
因为∠PF2H＝60°，PF2＝F1F2＝2c，PH＝(a＋c)
所以sin60°＝＝＝，即a＝4c，
所以e＝＝.故选D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．(2019·陕西质检)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是_____.
[解析] 设O为坐标原点，连接OM，则OM⊥PF，又M为FP的中点，所以△POF为等腰直角三角形，即∠PFO＝45°，则不妨令切线FM的方程为x＋y＝c，由圆心到切线的距离等于半径得＝a，所以e＝＝.
14．(2019·济南模拟)已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半径为2.椭圆C：＋＝1的左焦点为F(－c,0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为__2___.
[解析] 圆M的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2(m<0)，则由题意得m2＋3＝4，即m2＝1，∴m＝－1，则圆心M的坐标为(1,0)．由题意知直线l的方程为x＝－c.又∵直线l与圆M相切，∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2.
15．(2019·温州模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，P是抛物线C上的点，且PF⊥x轴，若以AF为直径的圆截直线AP所得的弦长为2，则实数p的值为__2___.
[解析] 由题可知，△APF为直角三角形，设直线AP与以AF为直径的圆的另一个交点为B，则BF⊥AB，因为AF＝PF＝p，所以BF＝，易知AF2＝AB×AP，所以AP＝，又AP×BF＝AF×PF，即×＝p2，解得p＝2.
16．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点M，N，F分别为椭圆C的左顶点、上顶点、左焦点，若∠MFN＝∠NMF＋90°，则椭圆C的离心率是_____.
[解析] 如图，tan∠NMF＝，tan∠NFO＝，∵∠MFN＝∠NMF＋90°，∴∠NFO＝180°－∠MFN＝90°－∠NMF，即tan∠NFO＝，∴＝，则b2＝a2－c2＝ac，∴e2＋e－1＝0，又0b>0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．
[解析] (1)由题意得解得a＝2，b＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．
设P(x0，y0)，则x＋4y＝4.
当x0≠0时，直线PA的方程为y＝(x－2)．
令x＝0，得yM＝－，
从而|BM|＝|1－yM|＝|1＋|.
直线PB的方程为y＝x＋1.
令y＝0，得xN＝－，
从而|AN|＝|2－xN|＝|2＋|.
所以|AN|·|BM|＝|2＋|·|1＋|
＝||
＝||
＝4.
当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，
所以|AN|·|BM|＝4.
综上，|AN|·|BM|为定值．
18．(本题满分15分)(2019·海宁模拟)已知圆x2＋y2＝12与抛物线x2＝2py(p>0)相交于A，B两点，点B的横坐标为2，F为抛物线的焦点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若过点F且斜率为1的直线l与抛物线和圆相交于四个不同的点，从左至右依次为P1，P2，P3，P4，求|P1P2|－|P3P4|的值．
[解析] (1)设B(2，y0)，
由题意得
解得所以抛物线的方程为x2＝4y.
(2)设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，P4(x4，y4)，由题意知P1，P3在圆上，P2，P4在抛物线上，因为直线l过点F(0,1)且斜率为1，所以直线l的方程为y＝x＋1.
联立，得，消去y，
得2x2＋2x－11＝0，所以x1＋x3＝－1，x1x3＝－，
|P1P3|＝·
＝·＝.
联立，得消去y，得x2－4x－4＝0，
所以x2＋x4＝4，x2x4＝－4，
|P2P4|＝·
＝·＝8.
由题意，易知|P1P2|＝|P1P3|－|P2P3|，①
|P3P4|＝|P2P4|－|P2P3|，②
①－②得|P1P2|－|P3P4|＝|P1P3|－|P2P4|，
所以|P1P2|－|P3P4|＝－8.
19．(本题满分15分)(2019·绵阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线xsinθ＋ycosθ－1＝0相切(θ为常数)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l与椭圆交于M，N两点，求·的取值范围．
[解析] (1)由题意，得⇒
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)由(1)得F1(－1,0)，F2(1,0)．
①若直线l的斜率不存在，则直线l⊥x轴，直线l的方程为x＝1，不妨记M(1，)，N(1，－)，
∴＝(2，)，＝(2，－)，故·＝.
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
由消去y得，(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.
＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)，
则·＝(x1＋1)(x2＋1)＋y2y2
＝(x1＋1)(x2＋1)＋k(x1－1)·k(x2－1)
＝(1＋k2)x1x2＋(1－k2)(x1＋x2)＋1＋k2
＝＋＋1＋k2
＝
＝－，
由k2≥0可得·∈[－1，)．
综上，·∈[－1，]．
20．(本题满分15分)(2019·大连模拟)已知直线y＝2x与抛物线Γ：y2＝2px(p>0)交于O和E两点，且|OE|＝.
(1)求抛物线Γ的方程；
(2)过点Q(2,0)的直线交抛物线Γ于A，B两点，P为直线x＝－2上一点，PA，PB分别与x轴相交于M，N两点，问M，N两点的横坐标的乘积xM·xN是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由．
[解析] (1)由y2＝2px与y＝2x，解得交点O(0,0)，E(，p)，∴|OE|＝＝，得p＝2，
∴抛物线Γ的方程为y2＝4x.
(2)设直线AB的方程为x＝ty＋2，代入y2＝4x中，
则y2－4ty－8＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴
设P(－2，y0)，则直线PA的方程为y－y0＝(x＋2)，
令y＝0，得(y0－y1)xM＝y0x1＋2y1，③
同理可得(y0－y2)xN＝y0x2＋2y2，④
由③×④得(y0－y1)(y0－y2)xM·xN＝(y0x1＋2y1)(y0x2＋2y2)，
即[y－(y1＋y2)y0＋y1y2]xM·xN＝yx1x2＋2y0(y1x2＋y2x1)＋4y1y2＝y×＋2y0(y1×＋y2×)＋4y1y2＝y×yy＋y0y1y2×＋4y1y2，
由①②可得(y－4ty0－8)xM·xN＝4(y－4ty0－8)，
当点P不在直线AB上时，y－4ty0－8≠0，∴xM·xN＝4；
当点P在直线AB上时，xM＝xN＝xQ＝2，∴xM·xN＝4.综上，xM·xN为定值，且定值为4.
21．(本题满分15分)(2019·银川模拟)如图，曲线C由左半椭圆M：＋＝1(a>b>0，x≤0)和圆N：(x－2)2＋y2＝5在y轴右侧的部分连接而成，A，B是M与N的公共点，点P，Q(均异于点A，B)分别是M，N上的动点．
(1)若|PQ|的最大值为4＋，求半椭圆M的方程；
(2)若直线PQ过点A，且＝－2，⊥，求半椭圆M的离心率．
[解析] (1)令x＝0，由(x－2)2＋y2＝5得y＝±1，
∴A(0,1)，B(0，－1)，∴b＝1.
由题意可知当P，Q均在x轴上时，|PQ|取得最大值，
∴a＋2＋＝4＋，∴a＝2，
∴半椭圆M的方程为＋y2＝1(x≤0)．
(2)由(1)得A(0,1)，B(0，－1)，∴b＝1.
依题意得直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋1，
设P(x1，y1)，由，得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，
∴x1＝－，
设Q(x2，y2)，由，得(1＋k2)x2＋2(k－2)x＝0，
∴x2＝，
∵＝－2，∴x1＝－x2，
∵⊥，∴·＝0，
又＝(x1，y1＋1)，＝(x2，y2＋1)，
y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1，
∴(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝0，
∴(1＋k2)x－2kx2－8＝0，
将x2＝代入上式得k＝，
∴x1＝－，x2＝3，∴－＝－，解得a2＝3，
由b＝1，得c2＝2，∴e＝.
22．(本题满分15分)(2017·山东平阳模拟)已知椭圆C与双曲线y2－x2＝1有共同焦点，且离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)设A为椭圆C的下顶点，M，N为椭圆上异于A的不同两点，且直线AM与AN的斜率之积为－3.
①试问M，N所在直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
②若P为椭圆C上异于M，N的一点，且|MP|＝|NP|，求△MNP的面积的最小值．
[解析] (1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c，则c＝，又＝，
∴a＝，∴b2＝a2－c2＝1，
∴椭圆C的标准方程为＋x2＝1.
(2)①由题意得A(0，－)．
若直线MN的斜率不存在，设M(x1，y1)，N(x1，－y1)，
则kAM·kAN＝·＝＝3，不满足题意．
∴直线MN的斜率存在．
设MN所在直线方程为y＝kx＋m.
联立消去y，
得(k2＋3)x2＋2kmx＋m2－3＝0，①
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.
kAM＝，kAN＝，
kAM·kAN＝＝
＝＝
＝－3.
整理得m＝0.
∴直线MN的方程为y＝kx，直线MN过定点(0,0)．
②由①知x＝m，y＝，
而|MP|＝|NP|，∴OP⊥MN.
当k≠0时，设OP所在直线方程为y＝－x，
则x＝，y＝.
当k＝0时，亦符合上式．
∴S△MNP＝|OM|·|OP|＝·
＝·＝3.
令k2＋1＝t(t≥1)，k2＝t－1，
S△MNP＝3＝3.
∵t≥1，∴0<≤1，
当＝，即t＝2时，－＋＋3取得最大值4，
∴当k2＝1，即k＝±1时，△MNP的面积最小，最小值为.
