高考数学 17-18版 第4章 热点探究训练2
热点探究训练(二)
1.设函数f(x)＝(a∈R)．
(1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围. 【导学号：62172116】
[解] (1)对f(x)求导得f′(x)＝
＝. 3分
因为f(x)在x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，即a＝0.
当a＝0时，f(x)＝，f′(x)＝，故f(1)＝，f′(1)＝，从而f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝(x－1)，化简得3x－ey＝0. 7分
(2)由(1)知f′(x)＝，
令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，
由g(x)＝0解得x1＝，x2＝. 9分
当x
0，即f′(x)>0，故f(x)为增函数；
当x>x2时，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)为减函数.11分
由f(x)在[3，＋∞)上为减函数，知x2＝≤3，解得a≥－.故a的取值范围为. 14分
2.(2017·苏州模拟)设函数f(x)＝－k(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)．
(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围．
[解] (1)函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝－k
＝－＝.
由k≤0可得ex－kx>0，
所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增．
所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞). 6分
(2)由(1)知，k≤0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减，
故f(x)在(0,2)内不存在极值点；
当k>0时，设函数g(x)＝ex－kx，x∈[0，＋∞)．
因为g′(x)＝ex－k＝ex－eln k，
当00，y＝g(x)单调递增，
故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点；
当k>1时，
得x∈(0，ln k)时，g′(x)<0，函数y＝g(x)单调递减，
x∈(ln k，＋∞)时，g′(x)>0，函数y＝g(x)单调递增．
所以函数y＝g(x)的最小值为g(ln k)＝k(1－ln k)．
函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，
当且仅当解得e0)．
当a>0时，f(x)的单调增区间为(0,1]，减区间为[1，＋∞)；
当a<0时，f(x)的单调增区间为[1，＋∞)，减区间为(0,1]；
当a＝0时，f(x)不是单调函数. 4分
(2)由f′(2)＝－＝1得a＝－2，∴f′(x)＝.
∴g(x)＝x3＋x2－2x，
∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g′(0)＝－2，
∴
由题意知：对于任意的t∈[1,2]，g′(t)<0恒成立，所以有：
∴－f(1)，即－ln x＋x－1>0，∴ln x
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