高考数学 17-18版 第9章 第44课 课时分层训练44
课时分层训练(四十四)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、填空题
1．已知点A(1，－2)，B(m,2)且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是________．
3 [因为线段AB的中点在直线x＋2y－2＝0上，代入解得m＝3.]
2．(2016·北京高考改编)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为________．
[圆心坐标为(－1,0)，所以圆心到直线y＝x＋3即x－y＋3＝0的距离为＝＝.]
3．若直线(a＋1)x＋2y＝0与直线x－ay＝1互相垂直，则实数a的值等于________．
1 [由×＝－1，得a＋1＝2a，故a＝1.]
4．(2017·苏州模拟)已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos的值为________．
[依题设，直线l的斜率k＝2，
∴tan α＝2，且α∈[0，π)，
则sin α＝，cos α＝，
则cos＝cos＝sin 2α
＝2sin αcos α＝.]
5．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________. 【导学号：62172242】
2 [∵＝≠，∴m＝8，
直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，
∴两平行线之间的距离d＝＝2.]
6．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点________．
(0,2) [直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2)．]
7．当0
0，
即x<0，y>0，从而两直线的交点在第二象限．]
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则直线xsin A＋ay＋c＝0与直线bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是________. 【导学号：62172243】
垂直 [在△ABC中，由正弦定理＝，得·＝1.
又xsin A＋ay＋c＝0的斜率k1＝－，
bx－ysin B＋sin C＝0的斜率k2＝，
因此k1·k2＝·＝－1，两条直线垂直．]
9．经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为________．
5x＋3y－1＝0 [由方程组得l1，l2的交点坐标为(－1,2)．
∵l3的斜率为，∴l的斜率为－，则直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.]
10．l1，l2是分别经过点A(1,1)，B(0，－1)的两条平行直线，当l1与l2
间的距离最大时，直线l1的方程是________．
x＋2y－3＝0 [当AB⊥l1时，两直线l1与l2间的距离最大，由kAB＝＝2，知l1的斜率k＝－，
∴直线l1的方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.]
二、解答题
11．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程.
【导学号：62172244】
[解] 依题意知：kAC＝－2，A(5,1)，
∴lAC为2x＋y－11＝0，
联立lAC、lCM得
∴C(4,3)．
设B(x0，y0)，AB的中点M为，
代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，
∴∴B(－1，－3)，
∴kBC＝，
∴直线BC的方程为y－3＝(x－4)，
即6x－5y－9＝0.
12．已知直线l经过直线l1：2x＋y－5＝0与l2：x－2y＝0的交点．
(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．
[解] (1)易知l不可能为l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0.
∵点A(5,0)到l的距离为3，
∴＝3，
则2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或λ＝，
∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由
解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤PA(当l⊥PA时等号成立)，
∴dmax＝PA＝＝.
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是________．
4 [因为点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以4m＋3n－10＝0.
欲求m2＋n2的最小值可先求的最小值，
而表示4m＋3n－10＝0上的点(m，n)到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m＋3n－10＝0垂直时，原点到点(m，n)的距离最小为2.所以m2＋n2的最小值为4.]
2．(2017·南京模拟)已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使PM＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是________(填序号)．
①y＝x＋1；②y＝2；③y＝x；④y＝2x＋1.
②③ [设点M到所给直线的距离为d，①d＝＝3>4，故直线上不存在点P到点M的距离等于4，不是“切割型直线”；②d＝2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点P，使之到点M的距离等于4，是“切割型直线”；③d＝
＝4，所以直线上存在一点P，使之到点M的距离等于4，是“切割型直线”；④d＝＝>4，故直线上不存在点P，使之到点M的距离等于4，不是“切割型直线”．故填②③.]
3．已知两直线l1：x＋ysin α－1＝0和l2：2x·sin α＋y＋1＝0，求α的值，使得：
(1)l1∥l2；
(2)l1⊥l2.
[解] (1)法一：当sin α＝0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.
当sin α≠0时，k1＝－，k2＝－2sin α.
要使l1∥l2，需－＝－2sin α，
即sin α＝±.
所以α＝kπ±，k∈Z，此时两直线的斜率相等．
故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.
法二：由A1B2－A2B1＝0，
得2sin2α－1＝0，所以sin α＝±.
所以α＝kπ±，k∈Z.
又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1.
故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.
(2)因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，
所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝kπ，k∈Z.
故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.
4．已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3,4)．
(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；
(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．
[解] (1)证明：直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，
由得
∴直线l恒过定点(－2,3)．
(2)设直线l恒过定点A(－2,3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．
又直线PA的斜率kPA＝＝，
∴直线l的斜率kl＝－5.
故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，即5x＋y＋7＝0.
