安徽省马鞍山市第二中学2019-2020学年高二上学期开学考试数学试题

安徽省马鞍山市第二中学2019-2020学年高二上学期开学考试数学试题

‎2018级高二上学期开学考试 数学试卷 考生注意：‎ ‎1.本卷共3页，22小题，满分100分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间90分钟.‎ ‎2.请在答题卡指定位置上答题，在本试题卷上答题无效.‎ 第Ⅰ卷（选择题，共36分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.以下五个关系：，，，，，其中正确的个数是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 是集合，是元素，注意集合与集合、元素的关系表示符号.‎ ‎【详解】是相等的集合，具有子集关系，故正确；与是集合与集合的关系，不能使用符号，故错误；与是元素与集合的关系，但是中不包含元素，故错误；表示集合中包含的元素也是集合，且是，而表示集合中包含的是元素是数字，两者之间没有关系，故错误；根据空集是任何非空集合的真子集，故正确.正确的有个.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查元素与集合、集合与集合的关系判断，难度较易.注意空集是任何非空集合的真子集.‎ ‎2.设集合，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析每个集合中表示元素的范围，然后求交集.‎ ‎【详解】因为，所以；因为，所以；‎ 则.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】注意与中的表示元素不同，表示的取值范围，表示图象上点的坐标.‎ ‎3.在五个数，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过列举法得到取三个数的总的可能数，然后看其中满足剩余两个数字都是奇数的种数，利用古典概型概率计算公式求解.‎ ‎【详解】以表示可能出现的情况：‎ 共种；满足条件的有：共种，所以，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型的概率计算，难度较易.列举的时候注意不要遗漏.‎ ‎4.一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（　　）‎ A. 81.2，4.4 B. 78.8，4.4 C. 81.2，84.4 D. 78.8，75.6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平均数和方差的公式性质求解，原数据的平均数为1.2加80，方差不变，可得答案.‎ ‎【详解】解：设这组数据为，平均数为，方差为；‎ 则新数据为 它的平均数是 ‎，‎ ‎；‎ 方差为 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考察平均数与方差的计算，关键是要掌握平均数与方差的性质和计算公式.‎ ‎5.设，定点到动直线的距离最大值是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意作出示意图，给定倾斜角，利用倾斜角表示距离，再计算最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎，考虑到过原点直线的对称性，取，所以，此时的直线方程为：，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查点到直线的距离的最值，难度较易.处理点到直线距离最值的问题，可采用图示法也可以采用公式直接计算.‎ ‎6.若函数是偶函数，且在上是增函数，则实数可能是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数得到的表达式，再根据单调性确定的可能取值.‎ ‎【详解】因为函数是偶函数，所以，排除A，C；当时，函数在上是减函数，故排除B，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】已知三角函数的奇偶性，求解函数中参数时，可借助诱导公式的“奇变偶不变”的原则去判断.‎ ‎7.已知等比数列的前项和为，，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的前项和性质可知：成等比数列，再根据计算出结果.‎ ‎【详解】因为成等比数列，‎ 所以 代入数值所以，则.‎ ‎【点睛】（1）形如的式子，可表示为；‎ ‎（2）等比数列中前项和为，则有成等比数列，其中公比或时且不为偶数.‎ ‎8.若，，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数和幂函数的单调性判断数值大小.‎ ‎【详解】因为在上单调递减，所以，则；‎ 又因为在上单调递增，所以，所以；则，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】指对数比较大小常用的方法：（1）利用单调性比较；（2）借助中间值比较（比如中间值‘’）.‎ ‎9.在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．‎ ‎【详解】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，‎ ‎ ‎ ‎（）‎ ‎，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎10.已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得到函数的周期是8，然后利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进行判断大小.‎ ‎【详解】因为满足，所以，‎ 所以函数是以8为周期的周期函数，‎ 则.‎ 由是定义在上的奇函数，‎ 且满足，得.‎ 因为在区间上是增函数，是定义在上的奇函数，‎ 所以在区间上是增函数，‎ 所以，即.‎ ‎【点睛】在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．‎ ‎11.函数在上是减函数，则的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据复合函数的单调性以及的单调性判断出的基本范围，然后再根据真数大于零计算出的最终范围.‎ ‎【详解】因为，所以在上是减函数，又因为在上是减函数，所以是增函数，所以；又因为对数的真数大于零，则，所以；则.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】复合函数单调性的判断依据：“同増异减”，即内外层函数单调性相同时，整个函数为增函数，内外层函数单调性相反时，整个函数为减函数.‎ ‎12.若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为 A. -1 B. 1 C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 由，可求得交点坐标为，‎ 要使直线上存在点满足约束条件，‎ 如图所示，可得，所以最大值为1，故选B.‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共64分）‎ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，满分20分，请把答案填在答题卡相应位置.‎ ‎13.已知函数为奇函数，则__________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据求解出的值.‎ ‎【详解】因为，则，且，所以.‎ ‎【点睛】已知函数为奇函数，可通过定义法：来求解其中参数的值.这里不能直接使用，因为定义域未知.‎ ‎14.已知函数的定义域是，则函数的定义域是__________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由的定义域求解的定义域，的定义域相当于的值域.‎ ‎【详解】因为的定义域是，所以，则中，即的定义域是.‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数的定义域问题，难度较易.注意由的定义域求解的定义域、由的定义域求解的定义域，两者的区别.‎ ‎15.在中，角所对的边分别为，若其面积，则=__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形的面积公式与已知条件相等，结合余弦定理可得，即等于1，根据的范围利用特殊角的三角函数值即可得到 的度数．‎ ‎【详解】由已知得：变形为：，‎ 结合余弦定理可得，即，‎ 又，‎ 则，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查学生灵活运用三角形的面积公式及余弦定理化简求值，是一道基础题．‎ ‎16.已知，，，则，的夹角是__________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据模长得到三角函数关系式，再利用数量积公式计算夹角.‎ ‎【详解】因为，所以，所以，又，所以.‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积公式坐标表示的运用，难度一般.对于向量加法或者减法形式的模长，可以通过平方的方法将其转变为数量积的表示形式.‎ ‎17.已知数列中，，，，……，，……构成为首项，为公比的等比数列，则数列的通项公式为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列得到：的递推公式，然后再计算的通项公式.‎ 详解】由题意知：，所以，则，当时，符合.‎ 则.‎ ‎【点睛】本题考查利用数列递推公式求解数列通项公式，难度一般.利用累加法求解数列通项公式的时候，要注意由求解出数列通项公式后，一定要验证是否符合，若不符合则写成分段数列的形式.‎ 三、解答题：本大题共5个小题，满分44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18.（1）计算；‎ ‎（2）已知，求的值；‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用对数运算法则直接化简计算；（2）将表示成形式表示出来再计算.‎ ‎【详解】（1）；‎ ‎（2）因为，所以，‎ 又.‎ 点睛】（1）巧用对数换底公式：；‎ ‎（2）同角的三角函数中“齐次”问题的解法：（分子分母同除）；（分子分母同除）.‎ ‎19.已知为坐标原点，，，（，，是常数），若，当时，的最大值为，‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）中，角，，所对的边分别为，，，已知，，边长，，成等比，试求的外接圆半径长；‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据化简表达式，再根据最大值求解的值；（2）根据求解，再利用余弦定理求解的值，再根据正弦定理求解外接圆半径.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎，又，‎ 所以，则且此时 ，则.‎ ‎（2）因为，，所以且，则，‎ 由且，可得：；‎ 又，所以.‎ ‎【点睛】正弦定理与外接圆的半径之间的关系：.这是求解三角形外接圆的半径或面积的有效方法.‎ ‎20.已知是定义在上的奇函数，且，如果曲线在定义域区间上任意两点连线的斜率均大于零.‎ ‎（1）判断在上的单调性，并证明它；‎ ‎（2）解不等式；‎ ‎（3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）单调递增，证明见解析（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用定义法证明单调性；（2）根据单调性将函数值之间的关系转变为自变量之间的关系；（3）将恒成立问题转变为一次函数在给定区间大于等于，从而求解参数范围.‎ ‎【详解】（1）任取且，据题意有：，因为，所以，则在上单调递增；‎ ‎（2）因为在上单调递增，根据可得：解得：；‎ ‎（3）因为对所有的恒成立，所以，因为，所以对所有的恒成立，‎ 则： ，解得：.‎ ‎【点睛】（）定义法判断函数单调性的变形：可判断是单调增（减）函数；可判断是单调增（减）函数；‎ ‎（2）的恒成立问题，只要：即可.‎ ‎21.已知数列中，，‎ ‎（1）求通项公式；‎ ‎（2）设，求的前项和；‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据递推公式构造等比数列求通项公式；（2）利用错位相减法对数列求和.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，则数列是首项为公比为2的等比数列，则：即；‎ ‎（2），记的前项和为，则：‎ ‎，则，‎ 两式相减：.‎ 则的前项和为：.‎ ‎【点睛】（1）形如的递推公式，可采用构造等比数列的方法求解数列通项公式；‎ ‎（2）错位相减法一般适用于：等差乘以等比形式的数列求和.‎ ‎22.已知函数为偶函数，曲线与轴交于两点，，，与轴交于点，‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）过曲线上任意一点作与直线夹角为的直线，交于点，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先分析得出是二次函数，然后根据已知条件求解函数解析式；（2）数形结合进行分析，找到最小值对应的位置，然后计算.‎ ‎【详解】（1）由条件可知为二次函数，故设且，则，又由为偶函数可知对称轴，又因为，所以图象过，则解得，所以；‎ ‎（2）‎ 作出与的图象，表示到直线的距离，根据条件可知：，故有最小值时，有最小值.将直线平移至与相切，此时切点到直线的距离最小，即最小，此时有最小值.设切线方程为：，联立可得：，，，则与的距离 ，‎ 则.‎ ‎【点睛】直线与曲线相离时，求曲线上一点到直线的最小距离，可将直线平移至与曲线相切，此时的切点到直线的距离即为曲线上点的到直线的最短距离（平移至相切）.‎ ‎ ‎