数学卷·2018届安徽省淮南二中高二下学期第一次月考数学试卷（理科）（创新班） （解析版）

数学卷·2018届安徽省淮南二中高二下学期第一次月考数学试卷（理科）（创新班） （解析版）

‎2016-2017学年安徽省淮南二中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）（创新班）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.）‎ ‎1．已知复数z满足（z﹣i）i=2+3i，则|z|=（　　）‎ A． B．3 C．10 D．18‎ ‎2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（　　）‎ A．∅ B．[0，1] C．[0，3] D．[﹣1，+∞）‎ ‎3．等差数列{an}的前n项为Sn，若公差d=﹣2，S3=21，则当Sn取得最大值时，n的值为（　　）‎ A．10 B．9 C．6 D．5‎ ‎4．已知sin（x+）=，则cosx+cos（﹣x）的值为（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎5．在如图所示的程序框图中，若函数f（x）=，则输出的结果是（　　）‎ A．﹣2 B．0.0625 C．0.25 D．4‎ ‎6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）‎ A．2π﹣ B．2π﹣ C． D．2π﹣2‎ ‎7．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），过其点F的直线l交抛物线C于点A，B，若|AF|：|BF|=3：1，则直线l的斜率等于（　　）‎ A．± B．±1 C．± D．±‎ ‎8．四位男生和两位女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是（　　）‎ A．72 B．96 C．144 D．240‎ ‎9．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（　　）‎ A．函数f（x）的最小正周期为2π B．函数f（x）的图象关于点（，0）d对称 C．函数f（x）的图象关于直线x=﹣对称 D．函数f（x）在[，π]上单调递增 ‎10．平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2， •=4，点P在边CD上，则•的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，8] B．[﹣1，+∞） C．[0，8] D．[﹣1，0]‎ ‎11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2‎ 分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知实数a，b满足2a2﹣5lna﹣b=0，c∈R，则的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13．若实数x，y满足，则z=﹣x+y的最小值为　　．‎ ‎14．已知函数f（x）=有两个零点，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎15．已知a=（sint+cost）dt，则的展开式中的常数项为　　．‎ ‎16．已知an=，删除数列{an}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{bn}，则b51=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.）‎ ‎17．已知正项数列n的前n项和为Sn，且a1=1，an+12=Sn+1+Sn．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎18．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为 ‎，且各件产品是否为优质品相互独立．‎ ‎（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；‎ ‎（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．‎ ‎19．如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A1沿CC1折起如图2所示，连接B1C，B1A，B1A1．‎ ‎（1）求证：AB1⊥CC1；‎ ‎（2）若AB1=，求二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值．‎ ‎20．以椭圆M： +y2=1（a＞1）的四个顶点为顶点的四边形的四条边与⊙O：x2+y2=1共有6个交点，且这6个点恰好把圆周六等分．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆M的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l与⊙O相切，且与椭圆M相交于P，Q两点，求|PQ|的最大值．‎ ‎21．已知函数f（x）=lnx+﹣1，a∈R．‎ ‎（1）若函数f（x）的最小值为0，求a的值．‎ ‎（2）证明：ex+（lnx﹣1）sinx＞0．‎ ‎　‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎22．已知函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≥|x+1|+1的解集；‎ ‎（Ⅱ）若不等式f（x）+3x≤0的解集包含{x|x≤﹣1}，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年安徽省淮南二中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）（创新班）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.）‎ ‎1．已知复数z满足（z﹣i）i=2+3i，则|z|=（　　）‎ A． B．3 C．10 D．18‎ ‎【考点】复数求模．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（z﹣i）i=2+3i，‎ ‎∴﹣i•（z﹣i）i=﹣i（2+3i），‎ ‎∴z﹣i=3﹣2i，‎ ‎∴z=3﹣i．‎ 则|z|==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（　　）‎ A．∅ B．[0，1] C．[0，3] D．[﹣1，+∞）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可．‎ ‎【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，‎ 解得：﹣1≤x≤3，即A=[﹣1，3]，‎ 由B中y=x2≥0，得到B=[0，+∞），‎ 则A∩B=[0，3]，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．等差数列{an}的前n项为Sn，若公差d=﹣2，S3=21，则当Sn取得最大值时，n的值为（　　）‎ A．10 B．9 C．6 D．5‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由题意求出等差数列的首项，得到等差数列的通项公式，再由通项大于等于0求得n值．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，‎ 由d=﹣2，S3=21，得3a1+3d=21，∴a1+d=7．‎ ‎∴a1=7﹣d=9．‎ 则an=9﹣2（n﹣1）=11﹣2n．‎ 由an=11﹣2n≥0，得，‎ ‎∵n∈N*，∴n≤5．‎ 即数列{an}的前5项大于0，自第6项起小于0．‎ ‎∴当Sn取得最大值时，n的值为5．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．已知sin（x+）=，则cosx+cos（﹣x）的值为（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎【考点】两角和与差的余弦函数．‎ ‎【分析】根据两角和差的余弦公式和正弦公式计算即可．‎ ‎【解答】解：cosx+cos（﹣x）=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx=sin（x+）=，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．在如图所示的程序框图中，若函数f（x）=，则输出的结果是（　　）‎ A．﹣2 B．0.0625 C．0.25 D．4‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】框图在输入a=﹣4后，对循环变量a与b的大小进行判断，直至满足条件b＜0算法结束．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序框图，可得 a=﹣4≤0，‎ b=2﹣4=＞0，‎ a==4，‎ 不满足条件b＜0，继续循环，b==﹣2，a=2﹣2=，‎ 满足条件b＜0，退出循环，输出a的值为0.25．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）‎ A．2π﹣ B．2π﹣ C． D．2π﹣2‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】几何体为圆柱中挖去一个正四棱锥．‎ ‎【解答】解：由三视图可知该几何体为圆柱挖去一个四棱锥得到的，圆柱的底面半径为1，高为2，棱锥的底面为正方形，边长为，棱锥的高为1，‎ ‎∴几何体的体积V=π×12×2﹣=2π﹣．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），过其点F的直线l交抛物线C于点A，B，若|AF|：|BF|=3：1，则直线l的斜率等于（　　）‎ A．± B．±1 C．± D．±‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），A在第一、三象限，利用|AF|：|BF|=3：1，求出A的坐标，即可求出直线l的斜率．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），A在第一象限，‎ ‎∵|AF|：|BF|=3：1，‎ 故y1=﹣3y2，x1﹣=3（﹣x2），‎ ‎∴x1=p，y1=p，‎ ‎∴直线l的斜率等于=．‎ 同理A在第三象限，直线l的斜率等于﹣．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．四位男生和两位女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是（　　）‎ A．72 B．96 C．144 D．240‎ ‎【考点】计数原理的应用．‎ ‎【分析】先从4位男生中选2位捆绑在一起，和剩下的2位男生，插入到2位女生所形成的3个空中，根据分步计数原理可得．‎ ‎【解答】解：先从4位男生中选2位捆绑在一起，和剩下的2位男生，插入到2位女生所形成的3个空中，故有A42A22A33=144种，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（　　）‎ A．函数f（x）的最小正周期为2π B．函数f（x）的图象关于点（，0）d对称 C．函数f（x）的图象关于直线x=﹣对称 D．函数f（x）在[，π]上单调递增 ‎【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．‎ ‎【分析】由题意可求f（x）的周期T，利用周期公式可求ω，函数f（x+）是偶函数，可得+φ=kπ+，k∈Z，又|φ|＜，解得φ，可得解析式f（x）=sin（2x+），利用正弦函数的图象和性质即可判断求解．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，‎ ‎∴函数f（x）的周期T=π，故A错误；‎ ‎∵ω＞0‎ ‎∴ω=2，‎ ‎∴函数f（x+）的解析式为：f（x）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），‎ ‎∵函数f（x+）是偶函数，‎ ‎∴+φ=kπ+，k∈Z，又|φ|＜，解得：φ=．‎ ‎∴f（x）=sin（2x+）．‎ ‎∴由2x+=kπ，k∈Z，解得对称中心为：（﹣，0），k∈Z，故B错误；‎ 由2x+=kπ+，k∈Z，解得对称轴是：x=，k∈Z，故C错误；‎ 由2kπ≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得单调递增区间为：[kπ，kπ]，k∈Z，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2， •=4，点P在边CD上，则•的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，8] B．[﹣1，+∞） C．[0，8] D．[﹣1，0]‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】先根据向量的数量积的运算，求出A=60°，再建立坐标系，得到•=x（x﹣4）+3=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，构造函数f（x），利用函数的单调性求出函数的值域m，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：∵AB=4，AD=2， •=4，‎ ‎∴||•||cosA=4，‎ ‎∴cosA=，‎ ‎∴A=60°，‎ 以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，‎ ‎∴A（0，0），B（4，0），D（1，），‎ 设P（x，），则1≤x≤5，‎ ‎∴=（﹣x，﹣），=（4﹣x，﹣），‎ ‎∴•=x（x﹣4）+3=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，‎ 设f（x）=（x﹣2）2﹣1，‎ ‎∴f（x）在[1，2）上单调递减，在[2，5]上单调递增，‎ ‎∴f（x）min=f（2）=﹣1，f（x）max=f（5）=8，‎ ‎∴•的取值范围是[﹣1，8]，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由∠MF2N=60°，可得∠F1PF2=60°，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos60°，即可求出双曲线C的离心率．‎ ‎【解答】解：由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|=2a，‎ ‎∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，‎ ‎∵∠MF2N=60°，∴∠F1PF2=60°，‎ 由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos60°，‎ ‎∴c=a，‎ ‎∴e==．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．已知实数a，b满足2a2﹣5lna﹣b=0，c∈R，则的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】x代换a，y代换b，则x，y满足：2x2﹣5lnx﹣y=0，即y=2x2﹣5lnx（x＞0），以x代换c，可得点（x，﹣x），满足y+x=0．因此求的最小值即为求曲线y=2x2﹣5lnx上的点到直线y+x=0的距离的最小值．利用导数的几何意义，研究曲线与直线y+x=0平行的切线性质即可得出．‎ ‎【解答】解：x代换a，y代换b，则x，y满足：2x2﹣5lnx﹣y=0，即y=2x2﹣5lnx（x＞0），‎ 以x代换c，可得点（x，﹣x），满足y+x=0．‎ 因此求的最小值即为求曲线y=2x2﹣5lnx上的点到直线y+x=0的距离的最小值．‎ 设直线y+x+m=0与曲线y=2x2﹣5lnx=f（x）相切于点P（x0，y0），‎ f′（x）=4x﹣，则f′（x0）==﹣1，解得x0=1，∴切点为P（1，2）．‎ ‎∴点P到直线y+x=0的距离d==．‎ ‎∴则的最小值为．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13．若实数x，y满足，则z=﹣x+y的最小值为　﹣1　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由z=﹣x+y得y=x+z，‎ 平移直线y=x+z，由图象知，当直线y=x+z经过点A时，‎ 直线的距离最小，此时z最小，‎ 由得，即A（，﹣），‎ 此时z=﹣×﹣=﹣﹣=﹣1，‎ 故答案为：﹣1‎ ‎　‎ ‎14．已知函数f（x）=有两个零点，则实数a的取值范围是　[1，+∞）　．‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】令ln（1﹣x）=0解得x=0，即f（x）在（﹣∞，1）上有1个零点，所以f（x）在[1，+∞）上有1个零点，即﹣a=0在[1，+∞）上有一解，即a的范围为的值域．‎ ‎【解答】解：当x＜1时，令ln（1﹣x）=0解得x=0，故f（x）在（﹣∞，1）上有1个零点，‎ ‎∴f（x）在[1，+∞）上有1个零点．‎ 当x≥1时，令=0得a=≥1．‎ ‎∴实数a的取值范围是[1，+∞）．‎ 故答案为[1，+∞）．‎ ‎　‎ ‎15．已知a=（sint+cost）dt，则的展开式中的常数项为　﹣　．‎ ‎【考点】二项式系数的性质；定积分．‎ ‎【分析】利用微积分基本定理求出a，利用二项式展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项．‎ ‎【解答】解：∵a=∫π0（sint+cost）dt=2‎ ‎∴=‎ ‎∵的二项展开式的通项为=‎ 令6﹣2r=0解得r=3‎ ‎∴展开式中的常数项为 故答案为 ‎　‎ ‎16．已知an=，删除数列{an}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{bn}，则b51=　5151　．‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】求出数列{an}的前8项，由不能被2整除，剩下的数从小到大排成数列{bn}，则b51=a101，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵an=，∴，， =6，，‎ ‎，，，，‎ ‎…‎ ‎∵an=，删除数列{an}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{bn}，‎ ‎∴b51=a101==5151．‎ 故答案为：5151．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.）‎ ‎17．已知正项数列n的前n项和为Sn，且a1=1，an+12=Sn+1+Sn．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）运用数列的递推式：n=1时，a1=S1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，将n换为n﹣1，相减，再结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；‎ ‎（2）求得数列{bn}的通项，运用错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．‎ ‎【解答】解：（1）正项数列n的前n项和为Sn，且a1=1，an+12=Sn+1+Sn，①‎ 当n≥2时，an2=Sn+Sn﹣1②‎ ‎①﹣②可得an+12﹣an2=（an+1﹣an）（an+1+an）=an+1+an，‎ 可得an+1﹣an=1，‎ 则数列{an}是从第二项起，公差为1的等差数列，‎ a22=S2+S1=a1+a2+a1=2+a2，‎ 解得a2=2（﹣1舍去），‎ 当n≥2时，an=a2+（n﹣2）d=2+n﹣2=n；‎ 上式对n=1也成立．‎ 则数列{an}的通项公式an=n（n∈N*）；‎ ‎（2）由（1）得 ‎，③‎ ‎，④‎ ‎③﹣④得，，‎ 所以，‎ 故．‎ ‎　‎ ‎18．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．‎ ‎（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；‎ ‎（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；‎ ‎（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，‎ 第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，‎ 这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，‎ 所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）‎ ‎==‎ ‎（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，‎ P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：‎ X ‎ ‎400 ‎ ‎500 ‎ ‎800 ‎ ‎ P 故EX=400×+500×+800×=506.25‎ ‎　‎ ‎19．如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A1沿CC1折起如图2所示，连接B1C，B1A，B1A1．‎ ‎（1）求证：AB1⊥CC1；‎ ‎（2）若AB1=，求二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，证明C1C⊥平面OAB1；‎ ‎（2）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角C﹣AB1﹣A1B的余弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，‎ ‎∵在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，‎ ‎∴△ACC1，△B1CC1，为正三角形，‎ 则AO⊥CC1，OB1⊥C1C，又∵AO∩OB1=O，‎ ‎∴C1C⊥平面OAB1，‎ ‎∵AB1⊂平面OAB1‎ ‎∴AB1⊥CC1；‎ ‎（2）∵∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，‎ ‎∴AC=2，OA=，OB1=，‎ 若AB1=，‎ 则OA2+OB12=AB12，‎ 则三角形AOB1为直角三角形，‎ 则AO⊥OB1，‎ 以O为原点，以0C，0B1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，‎ 则C（1，0，0），B1（0，，0），C1（﹣1，0，0），A（0，0，），‎ 则=（﹣2，0，0），‎ 则==（﹣2，0，0），=（0，，﹣），=（﹣1，0，﹣），‎ 设平面AB1C的法向量为=（x，y，z），‎ 则，‎ 令z=1，则y=1，x=﹣，‎ 则=（﹣，1，1），‎ 设平面A1B1A的法向量为=（x，y，z），则，‎ 令z=1，则x=0，y=1，即=（0，1，1），‎ 则cos＜，＞===‎ 由于二面角C﹣AB1﹣A1是钝二面角，‎ ‎∴二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值是﹣．‎ ‎　‎ ‎20．以椭圆M： +y2=1（a＞1）的四个顶点为顶点的四边形的四条边与⊙O：x2+y2=1共有6个交点，且这6个点恰好把圆周六等分．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆M的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l与⊙O相切，且与椭圆M相交于P，Q两点，求|PQ|的最大值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）依题意，A（0，1），B（a，0），∠OAB=60°，从而得到a=，由此能求出椭圆方程．‎ ‎（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=±1，此时|PQ|=，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，由直线l与⊙O相切，得m2=1+k2，由，得（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣1）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出|PQ|的最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）如图，依题意，A（0，1），B（a，0），∠OAB=60°，‎ ‎∵tan∠OAB=，∴，∴a=，‎ ‎∴椭圆方程为．‎ ‎（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=±1，‎ 代入，得y=，此时|PQ|=，‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，‎ ‎∵直线l与⊙O相切，∴=1，即m2=1+k2，‎ 由，消去y，整理，得（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣1）=0，‎ ‎△=36k2m2﹣12（1+3k2）（m2﹣1）=12（13k2﹣m2）=24k2，‎ 由△＞0，得k≠0，‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣，，‎ ‎∴|x1﹣x2|==．‎ ‎∴|PQ|==|x1﹣x2|‎ ‎=|x1﹣x2|‎ ‎=•‎ ‎=•‎ ‎≤2•=．‎ ‎∴当且仅当1+k2=2k2，即k=±1时，|PQ|取得最大值．‎ 综上所述，|PQ|的最大值为．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=lnx+﹣1，a∈R．‎ ‎（1）若函数f（x）的最小值为0，求a的值．‎ ‎（2）证明：ex+（lnx﹣1）sinx＞0．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）f（x）的最大值问题，需要借助导数，对比极值与端点值确定，而由最值也可确定出未知量a ‎（2）借助第一问，将问题转化为经常见的形式：‎ ‎【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞）‎ f′（x）=﹣=‎ ‎∵f（x）有最小值，而f（x）无端点值，‎ ‎∴f（x）必定在x=a处取得极小值，也是最小值 ‎∴f（a）=lna+1﹣1=0‎ ‎∴a=1‎ ‎（2）定义域为（0，+∞）‎ 第一问知：a=1时，f（x）有最小值0‎ ‎∴f（x）=lnx+﹣1≥0‎ 即lnx﹣1≥﹣‎ ‎∴ex+（lnx﹣1）sinx≥ex﹣‎ 当x＞0时，sinx＜x，即＜1＜ex 即ex﹣＞0‎ ‎∴ex+（lnx﹣1）sinx＞0‎ ‎　‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎22．已知函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≥|x+1|+1的解集；‎ ‎（Ⅱ）若不等式f（x）+3x≤0的解集包含{x|x≤﹣1}，求a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）当a=1时，不等式即|x﹣1|﹣|x+1|≥1，利用绝对值的意义求得它的解集．‎ ‎（Ⅱ）不等式即|x﹣a|≤﹣3x，分类讨论求得它的解集，再根据的解集包含{x|x≤﹣1}，求得a的范围，综合可得结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）≥|x+1|+1，即|x﹣1|≥|x+1|+1，即|x﹣1|﹣|x+1|≥1．‎ 由于|x﹣1|+|x+1|表示数轴上的x对应点到1对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离，‎ 而0.5对应点到1对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离正好等于1，‎ 故不等式f（x）≥|x+1|+1的解集为{x|x＞0.5}．‎ ‎（Ⅱ）若不等式f（x）+3x≤0，即|x﹣a|≤﹣3x，即，‎ 当a=0时，求得x≤0，显然满足条件；‎ 当a＜0时，求得x≤，由于它包含{x|x≤﹣1}，故有≥﹣1，求得﹣4≤a＜0；‎ 当a＞0时，求得x≤﹣，由于它包含{x|x≤﹣1}，故有﹣≥﹣1，求得0＜a≤2．‎ 综上可得，要求的a的取值范围为[﹣4，2]．‎