2019届二轮复习　求数列的通项作业（全国通用）

2019届二轮复习　求数列的通项作业（全国通用）

第 2 节 求数列的通项 一、选择题 1.设数列{an}的前 n 项和 Sn=n2,则 a8 的值为( A ) (A)15 (B)16 (C)49 (D)64 解析:a8=S8-S7=64-49=15,选 A. 2.已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=- ,则{an}的前10项和等于( C ) (A)-6(1-3-10) (B) (1-310) (C)3(1-3-10) (D)3(1+3-10) 3.已知数列{an}中,a1=1,且 an+1= (n∈N*),则 a10 等于( D ) (A)28 (B)33 (C) (D) 4.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-4n+2,则|a1|+|a2|+…+|a10|等于 ( A ) (A)66 (B)65 (C)61 (D)56 5.已知数列{an},{bn}满足 a1=1,且 an,an+1 是函数 f(x)=x2-bnx+2n 的两个 零点,则 b10 等于( D ) (A)24 (B)32 (C)48 (D)64 解析:由 anan+1=2n, 所以 an+1an+2=2n+1, 两式相除得 =2, 所以 a1,a3,a5,…成等比数列,a2,a4,a6,…也成等比数列,而 a1=1,a2=2, 所以 a10=2×24=32, a11=1×25=32, 又因为 an+an+1=bn, 所以 b10=a10+a11=64. 6. 各 项 均 为 正 数 的 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn, 且 3Sn=anan+1, 则 a2+a4+a6+…+a2n 等于( B ) (A) (B) (C) (D) 解析:当 n=1 时,3S1=a1a2, 即 3a1=a1a2, 所以 a2=3, 当 n≥2 时,由 3Sn=anan+1,可得 3Sn-1=an-1an, 两式相减得 3an=anan+1-an-1an, 3an=an(an+1-an-1). 因为 an≠0, 所以 an+1-an-1=3, 所以{a2n}为一个以 3 为首项,3 为公差的等差数列, 所以 a2+a4+a6+…+a2n=3n+ ×3= ,选 B. 二、填空题 7. 设 Sn 是 数 列 {an} 的 前 n 项 和 , 已 知 a1=1,2an=-SnSn-1(n ≥ 2), 则 Sn= . 答案: 8.设数列{an}满足 a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数列{ }前10项的和 为 . 解析:因为 a1=1,an+1-an=n+1, 所以 a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n(n≥2), 将以上 n-1 个式子相加得 an-a1=2+3+…+n= ,即 an= , 令 bn= , 故 bn= =2( - ), 故 S10=b1+b2+…+b10=2(1- + - +…+ - )= . 答案: 9. 设 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn. 若 S2=4,an+1=2Sn+1,n ∈ N*, 则 a1= ,S5= . 解析:a1+a2=4,a2=2a1+1, 所以 a1=1,a2=3, 由 an+1=2Sn+1, an=2Sn-1+1(n≥2)相减可得 an+1-an=2an,an+1=3an(n≥2), 又 a2=3a1, 所以{an}为等比数列, S5= =121. 答案:1 121 10. 已 知 数 列 {an} 的 首 项 a1=1, 其 前 n 项 和 Sn=n2·an(n ∈ N*), 则 a9= . 解析:当 n≥2 时,Sn=n2·an,Sn-1=(n-1)2an-1, 得 an=n2·an-(n-1)2an-1, (n2-1)an=(n-1)2an-1, 即 = , 因为 · · … · · = · · … · · , 即 = ,an= , 所以 a9= . 答案: 11.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=4an+2n,则数列{an}的通项公式 an= . 解析:由题 = + ·( )n, 由 - = ·( )n-1, - = ·( )n-2, … - = ·( )1, 得 - = , 即 an=22n-1-2n-1. 答案:22n-1-2n-1 12. 设 Sn 为 数 列 {an} 的 前 n 项 和 ,Sn=(-1)nan- ,n ∈ N*, 则 (1)a3= ; (2)S1+S2+…+S100= . 解析:(1)当 n=1 时,S1=(-1)a1- ,得 a1=- . 当 n≥2 时,Sn=(-1)n(Sn-Sn-1)- . 当 n 为偶数时,Sn-1=- , 当 n 为奇数时,Sn= Sn-1- , 从而 S1=- ,S3=- , 又由 S3=-a3- 得 a3=- . (2)由(1)得 S1+S3+S5+…+S99=- - - -…- ,S101=- , 又 S2+S4+S6+…+S100=2S3+ +2S5+ +2S7+ +…+2S101+ =0, 故 S1+S2+…+S100= ( -1). 答案:(1)- (2) ( -1) 三、解答题 13.数列{an}中,a1= ,an+1= ,求数列{an}的通项公式. 解:由 an+1= 可得, (n+1)an+1= ,两边取倒数得, = =1+ , 两边同时加上 1,得 +1=2+ =2( +1). 所以数列{ +1}是以 +1=3 为首项,以 2 为公比的等比数列. 所以 +1=3×2n-1,化简得 an= . 14.若数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(an,Sn)在 y= - x 的图象上(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 C1=0,且对任意正整数 n 都有 Cn+1-Cn=lo an. 求证:对任意正整数 k≥2,总有 ≤ + + +…+ < . (1)解:因为 Sn= - an, 所以当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= an-1- an, 所以 an= an-1, 又因为 S1= - a1, 所以 a1= , 所以 an= ·( )n-1=( )2n+1. (2)证明:由 Cn+1-Cn=lo an=2n+1 得 当 n≥2 时,Cn=C1+(C2-C1)+(C3-C2)+…+(Cn-Cn-1) =0+3+5+…+(2n-1) =n2-1 =(n+1)(n-1), 所以 + +…+ = + +…+ = ×[(1- )+( - )+…+( - )] = [(1+ )-( + )]= - ( + ) < . 又因为 + +…+ ≥ = . 所以原式得证. 15.在数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan= an+1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项 an; (2)若存在 n∈N*,使得 an≤(n+1)λ成立,求实数λ的最小值. 解:(1)当 n≥2 时, 由题可得 a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1= an.① a1+2a2+3a3+…+nan= an+1,② ②-①得 nan= an+1- an, 即(n+1)an+1=3nan, =3, 所以{nan}是以 2a2=2 为首项, 3 为公比的等比数列(n≥2),所以 nan=2·3n-2, 所以 an= ·3n-2(n≥2), 因为 a1=1,不满足上式, 所以 an= (2)an≤(n+1)λ⇔λ≥ , 由(1)可知当 n≥2 时, = , 设 f(n)= (n≥2,n∈N*), 则 f(n+1)-f(n)= <0, 所以 > (n≥2), 又 =3,可得λ≥ × = , 所以所求实数λ的最小值为 .