四川省泸县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题

四川省泸县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题

2020 年春四川省泸县第一中学高二期中考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．设集合 ， ，则 A． B． C． D． 2．若复数 满足 （其中 是虚数单位），则 A．2 B．4 C． D． 3．设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数 f(x)的图象,且 f(x)=φμ,σ(x)=,则这个正态总体的平 均数与标准差分别是 A．10 与 8 B．10 与 2 C．8 与 10 D．2 与 10 4．在边长为 2 的菱形 中， ， 是 的中点，则 A． B． C． D． { }2| ,M y y x x R= = − ∈ { }| 1 3N x x= − < ≤ M N = ( ]1,3− [ ]0,3 ( ]1,0− ( )1,0− z 2(2 ) 4 (1 )i z i+ = − + i | |z = 5 2 5 ABCD 60BAD °∠ = E BC AC AE⋅ =  3 3 3 + 9 2 3 9 5．已知 ，则“ ”是“ 是第三象限角”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在等差数列{푎푛}中，已知푎1 = 2，푎2 + 푎3 = 16，则푎4 + 푎5 + 푎6等于 A．50 B．52 C．54 D．56 7．在 2018 年合肥市高中生研究性学习课题展示活动中，甲、乙、丙代表队中只有一个队获 得一等奖，经询问，丙队代表说：“甲代表队没得—等奖”；乙队代表说：“我们队得了一等 奖”；甲队代表说：“丙队代表说的是真话”。事实证明，在这三个代表的说法中，只有一个说 的是假话，那么获得一等奖的代表队是 A．甲代表队 B．乙代表队 C．丙代表队 D．无法判断 8． 的展开式中的常数项为 A．12 B． C． D． 9．有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就坐，规定前排中间的 3 个座 位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的排法种数是 A．234 B．346 C．350 D．363 10．已知函数 f（x）= 是奇函数，若 f（2m-1）+f（m-2）≥0，则 m 的取值范围为 A． B． C． D． 11．在四面体 中， 与 均是边长为 的等边三角形，二面角 的大小为 ，则四面体 外接球的表面积为 A． B． C． D． ( )5 3 12 1 xx  + −   12− 8− 18− 4 2 x x a+ 1m > 1m ≥ 1m < 1m ≤ ABCD BCD∆ ACD∆ 4 A CD B− − 60 ABCD 208 9 π 52 9 π 64 3 π 52 3 π 12．已知函数 ， ，若对任意 ，都存在 ， 使得不等式 成立，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 第 II 卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．设随机变量 ， ，若 ，则 的值为 __________． 14．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1，S2，体积分别为 V1，V2，若它们的侧面积相等， 且 ＝ ，则 的值是________． 15．若函数 为偶函数，则 __________． 16．若函数 在区间 上有极值,则实数 a 的取值范围为_________. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。 17． （12 分）山东省《体育高考方案》于 2012 年 2 月份公布，方案要求以学校为单位进行 体育测试，某校对高三 1 班同学按照高考测试项目按百分制进行了预备测试，并对 50 分以上 的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若 90~100 分数段的人数为 2 人. （Ⅰ）请估计一下这组数据的平均数 M； （Ⅱ）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、 第五组）中任意选出两人，形成一个小组.若选出的两人成绩差大于 20，则称这两人为“帮扶 ( ) 2lnxf x e x= − 2( ) 4g x x x m= − + 1 [1, ]x e∈ 2 [1, ]x e∈ 1 2( ) ( )f x g x> m ( , 3)e−∞ + ( , 4)e−∞ + 2( ,5 )e e−∞ − ( , 2)ee−∞ + ~ (2, )B pξ ~ (4, )B pη 5( 1) 9p ξ ≥ = ( 2)p η ≥ 1 2 S S 9 4 1 2 V V ( )( ) ln 1xf x e ax= + + 1 1e x dxx a  − =  ∫ ( ) x x af x e −= ( )0,2 组”，试求选出的两人为“帮扶组”的概率. 18．（12 分）已知函数 ，其中 . （Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）当 时，若函数 在区间 上的最小值为 ，求 的取值范围. 19．（12 分）某市为创建全国文明城市，推出“行人闯红灯系统建设项目”，将针对闯红灯行为 进行曝光.交警部门根据某十字路口以往的监测数据，从穿越该路口的行人中随机抽查了 人，得到如图示的列联表： 闯红灯 不闯红灯 合计 年龄不超过 岁 年龄超过 岁 合计 （Ⅰ）能否有 的把握认为闯红灯行为与年龄有关？ （Ⅱ）下图是某路口监控设备抓拍的 个月内市民闯红灯人数的统计图.请建立 与 的回归 方程 ，并估计该路口 月份闯红灯人数. ( ) ( )2 6 3lnf x ax a x x= − + + a R∈ 1a = ( )y f x= ( )( )1, 1f 0a > ( )f x [ ]1,3e 6− a 200 45 6 74 80 45 24 96 120 30 170 200 97.5% 5 y x ˆˆ ˆy bx a= + 6 附： ， 参考数据： ， 20．（12 分）如图，四边形 为矩形，平面 平面 ， ， ， ， ，点 在线段 上. （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）若二面角 的余弦值为 ，求 的长度. 21．（12 分）已知 ， . ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 1 22 1 ˆ n i i i n i i x y nxy b x nx = = − = − ∑ ∑ ˆˆa y bx= − ( )2P K k≥ 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 5 2 1 685i i y = =∑ 5 1 1966i i i x y = =∑ ABCD ABEF ⊥ ABCD / /EF AB 90BAF∠ = ° 2AD = 1AB AF= = P DF AF ⊥ ABCD D AP C− − 6 3 PF ( ) 2 2ln 1 2 xf x x x a −= − − + 0a > （Ⅰ）当 时，求函数 图象在 处的切线方程； （Ⅱ）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围； （III）若 存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求 的取值范围. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）在平面直角坐标系中，以原点为极点， 轴的非 负半轴为极轴建立极坐标系，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的极坐 标方程为 . （Ⅰ）若 的参数方程中的 时，得到 点，求 的极坐标和曲线 直角坐标方程； （Ⅱ）若点 ， 和曲线 交于 两点，求 . 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 2a = ( )f x 1x = [ )1,x∈ +∞ ( ) 0f x ≥ a ( )f x a x l 2 2 22 2 x t y t  =  = + t C 4ρ = l 2t = − M M C (0,2)P l C ,A B 1 1 PA PB + 若函数 的最小值为 2． （Ⅰ）求实数 的值； （Ⅱ）若 ，且 ，证明： ． 2020 年春四川省泸县第一中学高二期中考试 理科数学参考答案 1-5:CABDB 6-10:CCCBB 11-12:AB 13． 14． 15． 16． 17．解：(Ⅰ)由频率分布直方图可知:50~60 分的频率为 0.1, 60~70 分的频率为 0.25, 70~80 分的 频率为 0.45, 80~90 分的频率为 0.15, 90~100 分的频率为 0.05； ……………2 分 ∴这组数据的平均数 M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73(分)…4 分 ( ) 1 2 ( 0)f x x x a a= − + − > a , ,u v w R+∈ u v w a+ + = 2 2 2 2u v w a+ + ≥ 11 27 3 2 2e ( )1,1− (Ⅱ)∵90~100 分数段的人数为 2 人，频率为 0.05； ∴参加测试的总人数为 =40 人，……………………………………5 分 ∴50~60 分数段的人数为 40×0.1=4 人， …………………………6 分 设第一组 50~60 分数段的同学为 A1，A2，A3，A4；第五组 90~100 分数段的同学为 B1，B2 则从中选出两人的选法有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2， A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4， B2），（B1，B2），共 15 种；其中两人成绩差大于 20 的选法有：（A1，B1），（A1，B2），（A2， B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2）共 8 种 …………………………11 分 则选出的两人为“帮扶组”的概率为 18．（1）当 a＝1 时，f（x）＝x2﹣7x+3lnx（x＞0）， ∴ ，∴f（1）＝﹣6，f'（1）＝﹣2． ∴切线方程为 y+6＝﹣2（x﹣1），即 2x+y+4＝0． （2）函数 f（x）＝ax2﹣（a+6）x+3lnx 的定义域为（0，+∞）， 当 a＞0 时， ， 令 f'（x）＝0 得 或 ， ①当 ，即 a≥3 时，f（x）在[1，3e]上递增， ∴f（x）在[1，3e]上的最小值为 f（1）＝﹣6，符合题意； ②当 ，即 时，f（x）在 上递减，在 上递增， 2 0.05 8 15P= ( ) 3' 2 7f x x x = − + ( ) ( ) ( ) ( )( )22 6 3 2 1 33' 2 6 ax a x x axf x ax a x x x − + + − −= − + + = = 1 2x = 3x a = 30 1a ≤＜ 31 3ea ＜ ＜ 1 3ae ＜ ＜ 31 a     ， 3 3ea     ， ∴f（x）在[1，3e]上的最小值为 ，不合题意； ③当 ，即 时，f（x）在[1，3e]上递减， ∴f（x）在[1，3e]上的最小值为 f（3e）＜f（1）＝﹣6，不合题意．综上，a 的取值范围是 [3，+∞）． 19．（1）由列联表计算 , 所以有 的把握认为闯红灯行为与年龄有关. （2）由题意得， ， 当 时， 所以估计该路口 月份闯红灯人数为 （ 也可） 20．（1）证明：∵ ，∴ ， 又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 . （2）以 为原点，以 ， ， 为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， ∴ ， ， ( )3 1 6f fa   = −  ＜ 3 3ea ≥ 10 a e ≤＜ ( )2 2 200 6 96 74 24 30 170 80 120K × − ×= × × × 5.882 5.024≈ > 97.5% ( )1 1 2 3 4 5 35x = + + + + = ( )1 158 143 134 130 120 1375y = + + + + = 5 1 5 22 1 5 5 i i i i i x y xy b x x = = − ∴ = = − ∑ ∑ $ 1966 5 3 137 8.955 5 9 − × × = −− × 137a y bx∴ = − =$ $ ( )8.9 3 163.7− − × = 8.9 163.7y x∴ = − +$ 6x = 8.9 6 163.7 110.3y = − × + =$ 6 110 111 90BAF∠ = ° AB AF⊥ ABEF ⊥ ABCD ABEF  ABCD AB= AF ⊂ ABEF AF ⊥ ABCD A AB AD AF x y z ( )0,0,0A ( )1,0,0B ( )1,2,0C ( )0,2,0D ( )0,0,1F ( )0,2, 1FD = − ( )1,2,0AC = ( )1,0,0AB = 由题知， 平面 ， ∴ 为平面 的一个法向量， 设 ，则 ，∴ ， 设平面 的一个法向量为 ，则 ， ∴ ，令 ，可得 ， ∴ ，得 或 （舍去）， ∴ . 21．解：（1）当 时， ， ，则 . 又因为 ，所以函数 图象在 处的切线方程为 ， 即 . （2）因为 所以 ， 且 .因为 ，所以 . ①当 时，即 ， 因为 在区间 上恒成立，所以 在 上单调递增. AB ⊥ ADF ( )1,0,0AB = ADF ( )0 1FP FDλ λ= ≤ <  ( )0,2 ,1P λ λ− ( )0,2 ,1AP λ λ= − APC ( ), ,x y z=m 0 0 m AP m AC  ⋅ =  ⋅ =   ( )2 1 0 2 0 y z x y λ λ + − =  + = 1y = 22,1, 1m λ λ  = − −  2 2 6cos , 321 4 1 1 m AB m AB m AB λ λ ⋅ = = =  ⋅ + +  −     1 3 λ = 1λ = − 5 3PF = 2a = ( ) 2 2ln 3 xf x x x −= − + ( ) ( )2 1 8' 3 f x x x = − + ( ) 1' 1 2f = ( )1 0f = ( )f x 1x = ( )1 12y x= − 2 1 0x y− − = ( ) 2 2ln 1 2 xf x x x a −= − − + ( ) ( )2 1 4' 1 2 af x x x a = − = − + ( ) 2 2 2 2 4 4 1 1 2 x x a a x x a − + − + = − + ( ) ( ) 2 2 2 1 4 4 1 2 x a a x x a − + − − + ( )1 0f = 0a > 1 2 1a− < 24 4 0a a− ≥ 1a ≥ ( )' 0f x > ( )1,+∞ ( )f x ( )1,+∞ 当 时， ，所以 满足条件. ②当 时，即 时， 由 ，得 ， 当 时， ，则 在 上单调递减， 所以 时， ，这与 时， 恒成立矛盾. 所以 不满足条件.;综上， 的取值范围为 . （3）①当 时， 因为 在区间 上恒成立，所以 在 上单调递增， 所以 不存在极值，所以 不满足条件. ②当 时， ，所以函数 的定义域为 ， 由 ，得 ， 列表如下： ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由于 在 是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意， [ )1,x∈ +∞ ( ) ( )1 0f x f≥ = 1a ≥ 24 4 0a a− < 0 1a< < ( )' 0f x = ( )2 1 1 2 0,1x a a= − − ∈ ( )2 2 1 2 1,x a a= + − ∈ +∞ ( )21,x x∈ ( )' 0f x < ( )f x ( )21, x ( )21,x x∈ ( ) ( )1 0f x f< = [ )1,x∈ +∞ ( ) 0f x ≥ 0 1a< < a [ )1,+∞ 1a ≥ ( )' 0f x ≥ ( )0,+∞ ( )f x ( )0,+∞ ( )f x 1a ≥ 1 12 a< < 1 2 0a− < ( )f x ( )0,+∞ ( )' 0f x = ( )2 1 1 2 0,1x a a= − − ∈ ( )2 2 1 2 1,x a a= + − ∈ +∞ x ( )10, x 1x ( )1 2,x x 2x ( )2 ,x +∞ ( )'f x + 0 - 0 + ( )f x ( )f x ( )1 2,x x 所以 不满足条件. ③当 时，由 ，得 . 列表如下： ↘ 极小值 ↗ 此时 仅存在极小值，不合题意，所以 不满足条件. ④当 时，函数 的定义域为 ， 且 ， . 列表如下： ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ 所以 存在极大值 和极小值 ， 此时 1 12 a< < 1 2a = ( )' 0f x = 2x = x ( )0,2 2 ( )2,+∞ ( )'f x - 0 + ( )f x ( )f x 1 2a = 10 2a< < ( )f x ( ) ( )0,1 2 1 2 ,a a− ∪ − +∞ 2 10 1 2 1 2x a a a< = − − < − 2 2 1 2 1 2x a a a= + − > − x ( )10, x 1x ( )1,1 2x a− ( )21 2 ,a x− 2x ( )2 ,x +∞ ( )'f x + 0 - - 0 + ( )f x ( )f x ( )1f x ( )2f x ( ) ( )1 2f x f x− = 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2ln ln1 2 1 2 x xx xx a x a − −− − +− + − + ,因为 ， 所以 ， ， ， ， 所以 ，即 ， 所以 满足条件.综上，所以 的取值范围为 . 22．（1）当 时,点 的直角坐标为 ,所以 的极坐标为 ，曲线 的 直角坐标方程： （2）将直线 的参数方程 代入 ,得: ,得 , 设 两点对应公的参数为 ,则 所以 . 23．（Ⅰ）解：当 时， 最小值为 ， ( ) ( )( )1 21 2 1 2 4ln 1 2 1 2 a x xx x x a x a −= − − + − + 1 20 1 2x a x< < − < 1 2 ln 0x x < 1 2 0x x− < 1 1 2 0x a− + < 2 1 2 0x a− + > ( ) ( )1 2 0f x f x− < ( ) ( )1 2f x f x< 10 2a< < a 10, 2      2t = − M ( 1,1)− M 3( 2, )4M π C 2 2 16x y+ = l 2 2 22 2 x t y t  =  = + 2 2 16x y+ = 2 22 2( ) (2 ) 162 2t t+ + = 2 2 2 12 0t t+ − = ,A B 1 2,t t 1 2 1 22 2, 12t t t t+ = − ⋅ = − 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( 2 2) 4 ( 12) | | | | ( ) 41 1 14 | | | | | | | | 12 6 t t t t t t PA PB t t t t − − ⋅ −+ + −+ = = = =⋅ 12 a ≥ ( ) 3 1 , 2 1, 1 2 3 1, 1 ax a x af x x a x x a x  − − > = − + − ≤ ≤  − + + <  12 2 a af   = −   6a = 当 时， 最小值为 ， （舍） 综上所述， . （Ⅱ）证明：∵ ∴ 12 a < ( ) 3 1 , 1 1, 12 3 1, 2 x a x af x x a x ax a x   − − > = − + ≤ ≤  − + + < 12 2 a af   = − +   2a = − 6a = 6u v w+ + = ( )( ) ( )22 2 2 2 2 21 1 1 36u v w u v w+ + + + ≥ + + = 2 2 2 12 2u v w a+ + ≥ =