2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练54　双曲线

2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练54　双曲线

课时分层训练(五十四) 双曲线 (对应学生用书第 304 页) A 组 基础达标 一、选择题 1．(2017·石家庄一模)已知双曲线的离心率为 2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线 的方程为( ) A.x2 4 －y2 12 ＝1 B.x2 12 －y2 4 ＝1 C.x2 10 －y2 6 ＝1 D.x2 6 －y2 10 ＝1 A [已知双曲线的离心率为 2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则 c＝4，a＝2，b2＝ 12，双曲线方程为x2 4 －y2 12 ＝1，故选 A.] 2．(2018·合肥调研)双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线 x＋ 2y－1 ＝0 垂直，则双曲线的离心率为( ) A. 5 2 B. 5 C. 3＋1 2 D. 3＋1 B [由已知得b a ＝2，所以 e＝c a ＝ a2＋b2 a2 ＝ 5a2 a2 ＝ 5，故选 B.] 3．已知点 F1(－3,0)和 F2(3,0)，动点 P 到 F1，F2 的距离之差为 4，则点 P 的轨迹 方程为( ) A.x2 4 －y2 5 ＝1(y>0) B.x2 4 －y2 5 ＝1(x>0) C.y2 4 －x2 5 ＝1(y>0) D.y2 4 －x2 5 ＝1(x>0) B [由题设知点 P 的轨迹方程是焦点在 x 轴上的双曲线的右支，设其方程为x2 a2 －y2 b2 ＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知 c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5. 所以点 P 的轨迹方程为x2 4 －y2 5 ＝1(x>0)．] 4．(2018·济南一模)已知双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)上一点到两个焦点的距离 分别为 10 和 4，且离心率为 2，则该双曲线的虚轴长为( ) 【导学号：79140296】 A．3 B．6 C．3 3 D．6 3 D [由题意得 2a＝10－4＝6，解得 a＝3，又因为双曲线的离心率 e＝c a ＝2， 所以 c＝6，则 b＝ c2－a2＝3 3，所以该双曲线的虚轴长为 2b＝6 3，故选 D.] 5．(2017·天津高考)已知双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，点 A 在双曲 线的渐近线上，△OAF 是边长为 2 的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方 程为( ) A.x2 4 －y2 12 ＝1 B.x2 12 －y2 4 ＝1 C.x2 3 －y2＝1 D．x2－y2 3 ＝1 D [根据题意画出草图如图所示(不妨设点 A 在渐近线 y＝b ax 上)． 由△AOF 是边长为 2 的等边三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2. 又点 A 在双曲线的渐近线 y＝b ax 上，∴b a ＝tan 60°＝ 3. 又 a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝ 3， ∴双曲线的方程为 x2－y2 3 ＝1. 故选 D.] 二、填空题 6．过双曲线 x2－y2 3 ＝1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线 于 A，B 两点，则|AB|＝________. 4 3 [双曲线的右焦点为 F(2,0)，过 F 与 x 轴垂直的直线为 x＝2，渐近线方 程为 x2－y2 3 ＝0，将 x＝2 代入 x2－y2 3 ＝0，得 y2＝12，y＝±2 3，∴|AB|＝4 3.] 7．设双曲线x2 4 －y2 2 ＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线 l 交双曲线左支 于 A，B 两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为________． 10 [由双曲线的标准方程为x2 4 －y2 2 ＝1，得 a＝2，由双曲线的定义可得|AF2| －|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋ |BF1|＝|AB|，当|AB|是双曲线的通径时，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min ＋8＝2b2 a ＋8＝10.] 8．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b>0)的右顶点为 A，以 A 为 圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点．若 ∠MAN＝60°，则 C 的离心率为________. 【导学号：79140297】 2 3 3 [ 如图，由题意知点 A(a,0)，双曲线的一条渐近线 l 的方程为 y＝b ax，即 bx－ ay＝0， ∴点 A 到 l 的距离 d＝ ab a2＋b2. 又∠MAN＝60°，MA＝NA＝b， ∴△MAN 为等边三角形， ∴d＝ 3 2 MA＝ 3 2 b，即 ab a2＋b2 ＝ 3 2 b，∴a2＝3b2， ∴e＝c a ＝ a2＋b2 a2 ＝2 3 3 .] 三、解答题 9．已知椭圆 D：x2 50 ＋y2 25 ＝1 与圆 M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线 G 与椭圆 D 有相同 焦点，它的两条渐近线恰好与圆 M 相切，求双曲线 G 的方程． [解] 椭圆 D 的两个焦点为 F1(－5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦 点在 x 轴上，且 c＝5. 设双曲线 G 的方程为x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)， ∴渐近线方程为 bx±ay＝0 且 a2＋b2＝25， 又圆心 M(0,5)到两条渐近线的距离为 r＝3. ∴ |5a| b2＋a2 ＝3，得 a＝3，b＝4， ∴双曲线 G 的方程为x2 9 －y2 16 ＝1. 10．已知双曲线的中心在原点，左，右焦点 F1，F2 在坐标轴上，离心率为 2， 且过点(4，－ 10)． (1)求双曲线的方程； (2)若点 M(3，m)在双曲线上，求证：MF→ 1·MF→ 2＝0. [解] (1)∵e＝ 2，∴可设双曲线的方程为 x2－y2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，－ 10)，∴16－10＝λ，即λ＝6， ∴双曲线的方程为 x2－y2＝6. (2)法一：由(1)可知，双曲线中 a＝b＝ 6， ∴c＝2 3，∴F1(－2 3，0)，F2(2 3，0)， ∴k MF1 ＝ m 3＋2 3 ，k MF2 ＝ m 3－2 3 ， ∴k MF1 ·k MF2 ＝ m2 9－12 ＝－m2 3 . ∵点 M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3， 故 k MF1 ·k MF2 ＝－1，∴MF1⊥MF2，即 MF→ 1·MF→ 2＝0. 法二：由证法一知 MF→ 1＝(－3－2 3，－m)， MF→ 2＝(2 3－3，－m)， ∴MF→ 1·MF→ 2＝(3＋2 3)×(3－2 3)＋m2＝－3＋m2， ∵点 M 在双曲线上， ∴9－m2＝6，即 m2－3＝0， ∴MF→ 1·MF→ 2＝0.] B 组 能力提升 11．(2017·康杰中学)过双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的右焦点与对称轴垂直的直线 与渐近线交于 A，B 两点，若△OAB 的面积为 13bc 3 ，则双曲线的离心率为 ( ) A. 5 2 B. 5 3 C. 13 2 D. 13 3 D [由题意可求得|AB|＝2bc a ，所以 S△OAB＝1 2 ×2bc a ×c＝ 13bc 3 ，整理得c a ＝ 13 3 . 因此 e＝ 13 3 .] 12．(2017·山东高考)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的右 支与焦点为 F 的抛物线 x2＝2py(p>0)交于 A，B 两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|， 则该双曲线的渐近线方程为________． y＝± 2 2 x [设 A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由 x2 a2 －y2 b2 ＝1， x2＝2py， 得 a2y2－2pb2y＋a2b2＝0， ∴y1＋y2＝2pb2 a2 . 又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|， ∴y1＋p 2 ＋y2＋p 2 ＝4×p 2 ，即 y1＋y2＝p， ∴2pb2 a2 ＝p，即b2 a2 ＝1 2 ，∴b a ＝ 2 2 ， ∴双曲线的渐近线方程为 y＝± 2 2 x.] 13．(2018·湖南五市十校联考)已知离心率为4 5 的椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴 上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为 2 34. (1)求椭圆及双曲线的方程． (2)设椭圆的左、右顶点分别为 A，B，在第二象限内取双曲线上一点 P， 连接 BP 交椭圆于点 M，连接 PA 并延长交椭圆于点 N，若BM→ ＝MP→ ，求 四边形 ANBM 的面积. 【导学号：79140298】 [解] (1)设椭圆方程为x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)，则根据题意知双曲线的方程 为x2 a2 －y2 b2 ＝1 且满足 a2－b2 a ＝4 5 ， 2 a2＋b2＝2 34， 解方程组得 a2＝25， b2＝9. 所以椭圆的方程为x2 25 ＋y2 9 ＝1， 双曲线的方程为x2 25 －y2 9 ＝1. (2)由(1)得 A(－5,0)，B(5,0)， |AB|＝10， 设 M(x0，y0)，则由BM→ ＝MP→ 得 M 为 BP 的中点，所以 P 点坐标为(2x0－5, 2y0)． 将 M，P 坐标代入椭圆和双曲线方程， 得 x20 25 ＋y20 9 ＝1， 2x0－52 25 －4y20 9 ＝1， 消去 y0，得 2x20－5x0－25＝0. 解得 x0＝－5 2 或 x0＝5(舍去)． 所以 y0＝3 3 2 . 由此可得 M －5 2 ，3 3 2 ， 所以 P(－10,3 3)． 当 P 为(－10,3 3)时， 直线 PA 的方程是 y＝ 3 3 －10＋5(x＋5)， 即 y＝－3 3 5 (x＋5)，代入x2 25 ＋y2 9 ＝1，得 2x2＋15x＋25＝0. 所以 x＝－5 2 或－5(舍去)， 所以 xN＝－5 2 ，xN＝xM，MN⊥x 轴． 所以 S 四边形 ANBM＝2S△AMB＝2×1 2 ×10×3 3 2 ＝15 3.